【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文 文獻(xiàn)綜述 開題報告】排隊論的綜述與應(yīng)用（可編輯）

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1、【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開題報告】排隊論的綜述與應(yīng)用 （　20　屆） 本科畢業(yè)論文 排隊論的綜述與應(yīng)用 摘要: 排隊論 ueuing theory , 或稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論, 是通過對服務(wù)對象到來及服務(wù)時間的統(tǒng)計研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時間、排隊長度、忙期長短等）的統(tǒng)計規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對象的需要，又能使機構(gòu)的費用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)它是的分支學(xué)科也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象隨機規(guī)律的學(xué)科Review and application

2、of queuing theory Abstract：Queuing theory queuing guys , or call the theory of stochastic service system is through to the service object, come and service time statistical studies, draw the statistical rules of those quantity indexes waiting time, queue length, busy period length etc. , then acc

3、ording to these improve service system structure or reorganized serviced objects, make service system can meet the service objects need, and can make the agency use the best of their money or make some indexes optimal. It is a branch of mathematical operational research, and also researches random

4、rule of queuing phenomenon in services system . This paper firstly presents the queuing system of queuing theory, the definition, structure, then describes the queue theory, queuing model, classification of common queuing models, queuing model constant, then describes various queuing models, such a

5、s single desk queuing model、many desk queuing model、general queuing service model etc. Finally, describes the queuing system optimization and the practical applications of queuing theory. Key words: Queuing theory; Queuing system; Queuing model 目 錄 1. 引言 1 1.1 研究背景 1 1.2 研究意義 1 1.3 研究目標(biāo) 1

6、 1.4 研究方法 1 1.5 研究步驟 1 2 排隊論的基本概念 2 2.1 排隊系統(tǒng)的定義 2 2.2 排隊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 2 2.2.1 輸入過程 3 2.2.2 排隊規(guī)則 3 2.2.3 服務(wù)機構(gòu) 4 3 排隊模型概述 4 3.1 排隊論常用模型分類 5 3.2 排隊模型常數(shù) 5 3.3 排隊模型的特征指標(biāo) 5 4 排隊模型 6 4.1 標(biāo)準(zhǔn)的排隊模型 6 4.2 對長有限的排隊模型 9 4.3 有限客源的模型 10 5 排隊模型 12 5.1 標(biāo)準(zhǔn)的排隊模型（，） 12 5.2 容量有限的排隊模型 14 5.3

7、 客源有限的排隊模型 15 6 一般排隊服務(wù)的模型 16 6.1 排隊模型 16 6.2 排隊模型 17 6.3 排隊模型 18 7 排隊系統(tǒng)優(yōu)化 18 7.1 模型中最優(yōu)化服務(wù)率 19 7.2 模型中最優(yōu)化服務(wù)臺數(shù) 21 8 排隊論的應(yīng)用 22 8.1． 排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理的應(yīng)用【17】 22 9.小結(jié) 26 致謝 27 參考文獻(xiàn) 28 1. 引言 研究背景 日常生活中存在大量有形和無形的排隊或擁擠現(xiàn)象，如旅客購票排隊，市內(nèi)電話占線等現(xiàn)象.排隊論的基本思想是1910年丹麥電話工程師A.K.埃爾朗在解決自動電話設(shè)計問題時開始形成的，當(dāng)

8、時稱為話務(wù)理論.他在熱力學(xué)統(tǒng)計平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的埃爾朗電話損失率公式【1】. 自20世紀(jì)初以來，電話系統(tǒng)的設(shè)計一直在應(yīng)用這個公式30年代蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家А.Я.欣欽把處于統(tǒng)計平衡的電話呼叫流稱為最簡單流數(shù)學(xué)家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義深入地分析了電話呼叫的本征特性，促進(jìn)了排隊論的研究50年代初，家關(guān)于生滅過程的研究、學(xué)家D.G.肯德爾提出嵌入理論，以及對排隊隊型的分類方法，為排隊論奠定了理論基礎(chǔ)在這以后，L.塔卡奇等人又將組合方法引進(jìn)排隊論，使它更能適應(yīng)各種類型的排隊問題70年代以來，人們開始研究排隊網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊問題

9、的漸近解等，成為研究現(xiàn)代排隊論的新趨勢排隊模型. 標(biāo)準(zhǔn)的排隊模型，對長有限的排隊模型，有限客源的排隊模型. 第五部分：排隊模型．標(biāo)準(zhǔn)排隊模型，容量有限的排隊模型，客源有限的排隊模型. 第六部分：一般排隊的服務(wù)模型.排隊模型，排隊模型，排隊模. 第七部分：排隊系統(tǒng)優(yōu)化. 模型中最優(yōu)化服務(wù)率，模型中最優(yōu)化服務(wù)臺數(shù). 第八部分：排隊論的應(yīng)用：排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理的應(yīng)用. 第九部分：小結(jié). 2 排隊論的基本概念 排隊論 ueuing theory , 或稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論, 是通過對服務(wù)對象到來及服務(wù)時間的統(tǒng)計研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時間、排隊長度、忙期長短等）的統(tǒng)計

10、規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對象的需要，又能使機構(gòu)的費用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)它是的分支學(xué)科也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象隨機規(guī)律的學(xué)科廣泛應(yīng)用于計算機網(wǎng)絡(luò), 生產(chǎn), 運輸, 庫存等各項資源共享的隨機服務(wù)系統(tǒng)排隊論研究的內(nèi)容有3個方面：統(tǒng)計推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，排隊有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題其目的是正確設(shè)計和有效運行各個服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益又稱服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)由服務(wù)機構(gòu)和服務(wù)對象（顧客）構(gòu)成服務(wù)對象到來的時刻和對他服務(wù)的時間（即占用服務(wù)系統(tǒng)的時間）都是隨機的） 式中 X為輸入流分布類型（D型、M型、型）；

11、Y為服務(wù)流分布類型（D型、M型、G型、型）； Z為服務(wù)臺并列的數(shù)目（，）. 1966年（A. M. Lee）在康道夫記號的基礎(chǔ)上又加以增補. 1971年一次關(guān)于排隊論符號標(biāo)準(zhǔn)化會議上，決定將Kandall記號擴(kuò)充成為 式中 A為系統(tǒng)容量或隊列長度（為系統(tǒng)無限，為常數(shù)為系統(tǒng)有限）； B為客源數(shù)目大小（為客源無限，為常數(shù)為客源有限）； C為服務(wù)規(guī)則（為先到先服務(wù)，為后到先服務(wù)）. 為了簡化起見，為標(biāo)準(zhǔn)型，可以只寫出；如果寫成，略去了時一定是指排隊規(guī)則為先到先服務(wù)【7】. 排隊論常用模型分類 單服務(wù)臺（S 1）排隊模型 （1）標(biāo)準(zhǔn)型排隊模型：； （2）隊長有限排

12、隊模型：； （3）客源有限排隊模型：； （4）定長服務(wù)排隊模型：； （5）服務(wù)時間為任意隨機分布排隊模型：； （6）服務(wù)時間為愛爾朗分布排隊模型：； 2.多服務(wù)臺（）排隊模型 （1）標(biāo)準(zhǔn)型排隊模型：； （2）隊長有限排隊模型：； （3）客源有限排隊模型：； 3.2 排隊模型常數(shù) 1.基本的參數(shù)有兩個：（1）顧客平均到達(dá)率（到達(dá)顧客數(shù)/單位時間）或顧客相繼到來平均的間隔時間；（2）服務(wù)臺的平均服務(wù)率（服務(wù)完成離去的顧客數(shù)/單位時間）或顧客服務(wù)平均占用時間. 2.模型平輔助參數(shù)：（1）對多服務(wù)臺排隊模型而言其服務(wù)臺數(shù)；（2）對隊長容量有限的排隊模型而言其N為常數(shù)；（3）對

13、客源大小有限的排隊模型而言其m為常數(shù). 3.3 排隊模型的特征指標(biāo) 1. ：根據(jù)表達(dá)式的不同，可以有不同的解釋.對模型而言，有以下三種解釋：（1）稱為顧客平均到達(dá)率與平均服務(wù)率之比；（2）稱為顧客服務(wù)時間與到達(dá)間隔時間之比，或稱服務(wù)強度；（3）稱為服務(wù)臺平均利用率. 2. 為服務(wù)臺空閑率、服務(wù)臺等候顧客到來的概率、顧客到來即時得到服務(wù)的概率. 3. 為系統(tǒng)內(nèi)的有（）個顧客的（狀態(tài)）概率. 4. 為系統(tǒng)內(nèi)存在顧客總數(shù)的期望值，包括排隊等候的顧客平均數(shù)加上正在服務(wù)臺接受服務(wù)的顧客平均數(shù)，簡稱平均對長或顧客逗留總數(shù). 5. 為排隊中顧客數(shù)的期望值，又稱隊列長. 6. 為顧客

14、在系統(tǒng)內(nèi)的時間的期望值，又稱逗留時間，包括排隊等待的平均時間加上接受服務(wù)的平均時間. 7. 為顧客排隊時間的期望值，又稱排隊（等待）時間. 8. 為顧客時間的損失系數(shù)，即排隊平均時間與平均服務(wù)時間之比. 9. 為服務(wù)臺機會損失概率，適用于損失制、混合制的排隊系統(tǒng)，因系統(tǒng)容量（N為常數(shù)）有限而失掉顧客的平均比率【8】. 排隊模型 模型是研究顧客到達(dá)服從以為平均到達(dá)率的泊松分布，服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布 、單臺服務(wù)、單列隊及先到先服務(wù)的排隊系統(tǒng)的特征指標(biāo)計算及應(yīng)用方法. 該模型按隊列容量和客源大小的不同，可分為標(biāo)準(zhǔn)型、容量有限型、客源有限型【9】. 模型是排隊模型中

15、最簡單的一類模型. 標(biāo)準(zhǔn)的排隊模型 標(biāo)準(zhǔn)的排隊模型適用范圍 輸入過程：客源無限（），顧客到達(dá)系統(tǒng)服從以為平均到達(dá)率的泊松分布（即M型），顧客是單個相互獨立地到來，到達(dá)過程呈平穩(wěn)狀態(tài)；、 排隊與服務(wù)規(guī)則：隊列容量無限（），形成單對，先到先服務(wù)（FCFS）； 服務(wù)機構(gòu)：單臺服務(wù)（S 1），顧客服務(wù)時間服從以為平均服務(wù)率的負(fù)指數(shù)分布（即M型）. 標(biāo)準(zhǔn)的模型參數(shù) 顧客平均到達(dá)率 窗口服務(wù)率 標(biāo)準(zhǔn)的模型特征指標(biāo) 服務(wù)強度 在系統(tǒng)中的定義域為（），如果，則，在競爭取勝的服務(wù)系統(tǒng)里，顧客將自動離去另擇服務(wù)機構(gòu)；在沒有競爭的情況下，顧客隨機到來也會形成長蛇陣. 服務(wù)臺空閑率

16、 ，（） 易看出，時，，表明，服務(wù)臺空閑概率極小，服務(wù)強度最高.這種情況在設(shè)計與建設(shè)隨機服務(wù)系統(tǒng)里是不允許出現(xiàn)的，因為，都是統(tǒng)計數(shù)據(jù)的期望值，是不能人為加以控制的，因而變大及變小一旦發(fā)生，隊列將變成無窮大. 當(dāng)是，，，這種情況對服務(wù)臺經(jīng)營極為不利.現(xiàn)實中某些服務(wù)行業(yè)（包括企業(yè)機修、電修部門）盲目貪大求洋，或?qū)驮垂烙嫴蛔?，或變成損失制經(jīng)營，其后果就是損失極大. 排隊系統(tǒng)中某時刻有個顧客（）概率： ，（，） 在系統(tǒng)中隊長期望值

17、 ，（，） 在系統(tǒng)中隊列長期望值 ，（） 在系統(tǒng)中顧客逗留的平均時間 在系統(tǒng)中顧客平均等待時間 顧客因?qū)で蠓?wù)造成的時間損失系數(shù)R 例1. 某修理店只有一個修理工人，來修理東西的顧客到達(dá)次數(shù)服從泊松分布，平均每小時4人；修理時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均6分鐘，求：（1）修理店空閑時間的概率；（2）店內(nèi)有3個顧客的概率；（3）店內(nèi)至少有1個顧客的概率；（4）在店內(nèi)顧客平均數(shù)（5）在店內(nèi)平均逗留時間；（6）等待服務(wù)的顧客平均數(shù)；（7）平均等待修理（服務(wù)）時間；（8）必須在店內(nèi)消耗15分鐘以上的效果【10】. 解：由題意知題設(shè)排隊

18、系統(tǒng)屬；模型 且（人/小時） （人/分鐘），（人/分）， （1） 1-0.4 0.6； （2） （3） （4）（人） （5）（分鐘） （6）（人/分） （7）（分/人） （8） （顧客在系統(tǒng)中逗留時間服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即：）. 4.2 隊長容量有限的排隊模型 1.適用范圍 （1）隊長容量有限（為常數(shù)）：隊列長最大容量為加上窗口數(shù)（）等于； （2）其他條件與標(biāo)準(zhǔn)的模型相同 2．容量有限模型參數(shù) （1）顧客平均到達(dá)率 （2）窗口服務(wù)率 （3）系統(tǒng)最大容量 當(dāng)N 1時，由于，對列才為，則 ；

19、 為“即時制”單服務(wù)臺模型 3.容量有限模型特征指標(biāo) （1）， （2）， （3）， （4） （5） （6） （7） （8） （9） 例1. 某單人理發(fā)店內(nèi)有4把椅子接待人們排隊等待理發(fā).當(dāng)4把椅子都坐滿顧客時，后來的顧客就不進(jìn)店而離去.顧客平均到達(dá)速度為4人/小時，理發(fā)時間平均10分鐘/人.沒到達(dá)過程為泊松流，服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布. 求：（1）顧客一到達(dá)就理發(fā)的概率； （2）系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值和排隊等待的顧客數(shù)的期望值； （3）顧客在理發(fā)店內(nèi)逗留的全部時間的期望值W； （4）在可能到達(dá)的顧客中因客滿而離開的概率； 解：依題意，屬于（；）排隊系統(tǒng). 系

20、統(tǒng)總量為可供排隊的椅子數(shù)加上供理發(fā)的椅子數(shù)，即總?cè)萘縉 4+1 5，（人/小時），（人/小時），. （1）顧客一到達(dá)就能理發(fā)的概率就是系統(tǒng)中沒有顧客的概率，這是因為只在系統(tǒng)中一個顧客都沒有的情況下，顧客一到達(dá)才能立即理發(fā). 0.365； （2） 1.423（人）； （人/小時）； 0.788（人）； （3） 0.374（小時）； （4）因客滿而離開的概率，即為理發(fā)店的損失率. 4.3 有限客源的模型 1.有限客源模型適用范圍 （1）顧客源有限，； （2）其他條件與標(biāo)準(zhǔn)模型相同. 2.有限客源模型參數(shù) （1）顧客平均到達(dá)率 （2）窗口服務(wù)率 （

21、3）顧客源大?。橛邢蕹?shù)） 3.有限客源模型特征指標(biāo) （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 例1. 某車間有5臺機器，每臺機器的連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運轉(zhuǎn)時間15分鐘，有一個修理工，每次修理時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘. 求：（1）修理工空閑的概率；（2）5臺機器都出故障的概率；（3）出故障的平均臺數(shù)；（4）等待修理的平均臺數(shù)；（5）平均停工時間；（6）平均等待修理的時間；（7）評價這些結(jié)果【11】. 解： 5，，， （1） ; （2）； （3）（臺

22、）； （4）（臺）； （5）（分鐘）； （6）（分鐘）； （7）機器停工時間過長，修理工幾乎沒有空間時間，應(yīng)當(dāng)提高服務(wù)率減少修理時間或增加修理工人. 排隊模型 模型系統(tǒng)是研究顧客到達(dá)服從泊松分布，服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，多臺服務(wù)（）的服務(wù)系統(tǒng)的特征指標(biāo)計算及其應(yīng)用方法. 排隊模型按系統(tǒng)容量N、客源大小的不同，可分為標(biāo)準(zhǔn)型、容量有限型、客源有限型等排隊模型【12】. 標(biāo)準(zhǔn)的排隊模型（，） 1.適用范圍：顧客到來服從泊松分布，服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，多臺服務(wù)（）并聯(lián)服務(wù)；客源無限（足夠大），對長無限（N足夠大），單隊等待，先到先服務(wù)（FCFS）. 2. 標(biāo)準(zhǔn)模型參數(shù)有三個

23、，即顧客平均到達(dá)率、服務(wù)臺平均服務(wù)率、多服務(wù)臺（）. 4.標(biāo)準(zhǔn)模型的特征指標(biāo) （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 例1. 三個打字員，平均打印文件的速度為件/h，文件到達(dá)率件/h,式求：（1）在等待打印的平均文件數(shù)；（2）在系統(tǒng)內(nèi)的平均文件件數(shù)；（3）文件在系統(tǒng)內(nèi)的平均停留時間；（4）文件的平均等待時間；（5）三個打字員均不空閑的概率. 解：依題意屬于；排隊模型. 已知S 3，， ，于是得： （1） 3.51（件）； （2） 6.01（件）； （3） 0.4（件）； （4） 0.234（小時）； （5）. 5.2 容量有限的排

24、隊模型 1.適用范圍：顧客到來的服從泊松分布，服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，多臺服務(wù)（）并聯(lián)服務(wù)；客源無限（足夠大），隊長容量有限（為常數(shù)），單隊等待，先到先服務(wù)（）. 2容量有限模型參數(shù)有四個：即顧客平均到達(dá)率、服務(wù)臺平均服務(wù)率、多服務(wù)臺（）、有限的系統(tǒng)容量（）. 3.容量有限模型特征指標(biāo) （1） （2） （3） （4）式中為顧客的損失的期望值 （5） （6） （7） （8） （9）愛爾朗喚損失公式 令，為即時制多臺服務(wù)臺排隊模型. 5.3 客源有限的排隊模型 1.適用范圍：顧客到來的服從泊松分布，服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，多臺服務(wù)（）并聯(lián)服務(wù)；客源有限（為常數(shù)且），

25、對長容量無限（足夠大），單隊等待，先到先服務(wù)（）. 2.客源有限的模型的參數(shù)有四個：即顧客平均到達(dá)率、服務(wù)臺平均服務(wù)率、多服務(wù)臺S（S 0）、有限的客源數(shù)（為常數(shù)）. 3. 客源有限的模型特征指標(biāo) （1） （2）顧客有效到達(dá)率 （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）無須服務(wù)（無故障）顧客數(shù)： 6 一般排隊服務(wù)的模型 6.1 排隊模型 排隊模型是研究顧客到來服從泊松分布、服務(wù)時間是確定的常數(shù)、單臺服務(wù)的特征指標(biāo)計算及其應(yīng)用方法【13】. 1. 排隊模型適用范圍：顧客到來服從泊松分布、服務(wù)時間是確定的常數(shù)、單臺服務(wù)、顧客無限，隊列無限，單隊等待，

26、先到先服務(wù). 2. 模型參數(shù)：顧客平均到達(dá)率，定長的服務(wù)時間（為定長服務(wù)率，Var（T） 0. 3. 模型特征指標(biāo)： （1）服務(wù)臺平均利用率 （2）服務(wù)臺空閑率 （3）系統(tǒng)內(nèi)有n個顧客的概率 （4）對長期望值 （5）隊列長期望值 （6）顧客平均逗留時間 （7）顧客平均等待時間 （8）顧客時間損失系數(shù) 6.2 排隊模型 排隊模型是1個服務(wù)臺的等待制服務(wù)系統(tǒng)，輸入過程是以為參數(shù)的最簡單流，各顧客的服務(wù)時間是相互獨立且具有相同分布的隨機變量，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為和.服務(wù)臺的服務(wù)強度 當(dāng)時，我們有如下的結(jié)論【14】： 同時我們還可以知道，忙期的平均長度 在忙期

27、內(nèi)被服務(wù)的顧客的平均數(shù)為. 6.3 排隊模型 在排隊模型中，顧客的服務(wù)時間V服從愛爾朗分布，此時有 ， 因此，當(dāng)時，則下列各式【15】： 7 排隊系統(tǒng)優(yōu)化 排隊現(xiàn)象普遍存在于人類生產(chǎn)和生活的各個方面，或者由于原先預(yù)見性差、設(shè)計的規(guī)模和能力偏小，或者事物的發(fā)展失去了控制，使我們許多系統(tǒng)服務(wù)質(zhì)量和水平不盡合理，給生產(chǎn)和生活帶來了不方便或造成損失.碼頭、車站、機場、交通樞紐、城市電話局、道路和供排水管道、工廠的機修車間等措施，一旦建成，起碼要服務(wù)幾十年，若先天不足，后患無窮.比如設(shè)計能力過大，會造成長期損失；若能力不足，改造起來將很困難.因此對服務(wù)機構(gòu)進(jìn)行最優(yōu)化

28、系統(tǒng)設(shè)計師非常必要的戰(zhàn)略問題.實踐證明，即使是較好的服務(wù)設(shè)施，在營運過程中會發(fā)生服務(wù)能力不適應(yīng)顧客需求的情況，這就需要對服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)分析與診斷，并采取改進(jìn)措施，使之進(jìn)一步合理化.研究排隊論的目的，就是為了對新的系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計，對已處于運行中的系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)化控制，使之到達(dá)既能比較充分地滿足顧客需要，又能使服務(wù)系統(tǒng)總的耗費最小（或收益最大）【16】. 7.1 模型中最優(yōu)化服務(wù)率 1.標(biāo)準(zhǔn)的模型 取目標(biāo)函數(shù)為單位時間服務(wù)成本與顧客在系統(tǒng)逗留費用之和的期望值 （1） 其中為當(dāng)時服務(wù)機構(gòu)單位時間的費用；為每個顧

29、客在系統(tǒng)停留單位時間的費用.將之值代入（1），得 為了求極小值，先求，然后令它為0， 解出最優(yōu)的 根號前取+號，是因為保證的緣故. 系統(tǒng)中顧客最大限制數(shù)為的情形 在這情形下，系統(tǒng)中如已有個顧客，則后來的顧客即被拒絕，于是： ：被拒絕的概率（借用電話系統(tǒng)的術(shù)語，稱為呼損率）； ：能接受服務(wù)的概率； ：單位時間實際進(jìn)入服務(wù)機構(gòu)顧客的平均數(shù).在穩(wěn)定狀態(tài)下，它等于單位時間實際內(nèi)服務(wù)完成的平均顧客數(shù). 設(shè)每服務(wù)1人能收入元，于是單位時間收入的期望值是元 純利潤 先求，然后令它為0，得 最優(yōu)的解應(yīng)合于上式.上式中、 、、都是給定的

30、，但要由上式中解出是很困難的.通常通過數(shù)值計算來求的，或?qū)⑸鲜阶蠓剑▽σ欢ǖ模┳鳛榈暮瘮?shù)作出圖形，對于給定的，根據(jù)圖形可求出. 3.顧客源為有限的情形 按照機械故障來考慮.設(shè)共有機器臺，各臺連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負(fù)指數(shù)分布.有1個修理工理，修理時間服從負(fù)指數(shù)分布.當(dāng)服務(wù)率 時的修理費用 ，單位時間每臺機器運轉(zhuǎn)可得收入元.平均運轉(zhuǎn)臺數(shù)為，所以單位時間純利潤為 式中的稱為泊松部分和，而 為了最優(yōu)服務(wù)率，先求，然后令它為0，得 上式中、 、、都是給定的，但要由上式中解出是很困難的.通常通過數(shù)值計算來求的，或?qū)⑸鲜阶蠓剑▽σ欢ǖ模┳鳛榈暮瘮?shù)作出圖形，對于給定的，根據(jù)圖形可求出. 7.2 模型中最

31、優(yōu)化服務(wù)臺數(shù) 僅討論標(biāo)準(zhǔn)的模型，且在穩(wěn)態(tài)情形下，這時單位時間全部費用（服務(wù)成本與等待費用之和）的期望值 （7.2-1） 其中是服務(wù)臺數(shù)；是沒服務(wù)臺單位時間的成本；為每個顧客在系統(tǒng)停留單位時間的費用；L是系統(tǒng)中顧客平均數(shù)或隊列中等待的顧客平均數(shù)（它們都隨C值的不同而不同）.因為和都是給定的，唯一能變動的是服務(wù)臺數(shù)，所以是的函數(shù)，現(xiàn)在是求最優(yōu)解使為最小. 因為C只取整數(shù)值，不是連續(xù)變量的函數(shù)，所以不能用經(jīng)典的微分法。我們采用邊際分析法（Marginal Analysis），根據(jù)是最小的特點，我們有 將（7.2-1）式中代入

32、，得 上式化解后，得， 依次去時L的值，并作兩相鄰的L值之差，因是已知數(shù)，根據(jù)這個數(shù)落在哪個不等式的區(qū)間里就可以定出 8 排隊論的應(yīng)用 8.1． 排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理的應(yīng)用【17】 在高速公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理中運用排隊論進(jìn)行定量分析，運用排隊論的知識對其進(jìn)行優(yōu)化和設(shè)計并建立合適的數(shù)學(xué)模型.通過對模型的優(yōu)化設(shè)計，建立高速公路收費站的服務(wù)臺與工作人員的配備模型，對避免盲目確定收費亭建設(shè)規(guī)模大小，提高收費站服務(wù)臺的服務(wù)和管理水平，降低運營成本等有著重要作用. 高速公路上的車輛陸續(xù)到達(dá)收費站，依次接受收費服務(wù)，然后離開收費站.如果到達(dá)的車輛不能及時得到服務(wù)，就產(chǎn)生了排

33、隊現(xiàn)象.高速公路收費系統(tǒng)，是一個典型的排隊系統(tǒng)。其中最具代表性的收費站系統(tǒng)即是滿足的排隊系統(tǒng)，上述符號中第一個為車輛的到達(dá)時間間隔服從負(fù)指數(shù)分布；第二個為收費服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布；為收費站有個收費亭；第一個為系統(tǒng)能容納無限個車輛，第二個為道路上的車源也是無限的；為系統(tǒng)采用先到先服務(wù)的規(guī)則.此排隊系統(tǒng)中，車輛排隊方式是多路排隊多通道各排一個隊，每個通道只為其相對應(yīng)的一隊車輛服務(wù)，車輛不能隨意換隊.此種情況相當(dāng)于個系統(tǒng)組成的排隊系統(tǒng). 計算公式： 設(shè)車輛平均到達(dá)強度為（輛/小時），系統(tǒng)服務(wù)員平均服務(wù)強度（輛/小時），交通強度，。如果，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果，系統(tǒng)的排隊長度將會無限增大，出現(xiàn)“爆炸”

34、現(xiàn)象.因此要調(diào)整平均到達(dá)強度，使?jié)M足條件是，保持穩(wěn)定狀態(tài)即確保排隊能夠消散；如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但排隊和等待時間很長，也要調(diào)整平均到達(dá)強度，使其排隊長和等待時間在我們預(yù)定的期望值內(nèi). ，（） ，（，） 在系統(tǒng)中隊長期望值 ，（，） 在系統(tǒng)中隊列長期望值 ，（） 在系統(tǒng)中車輛逗留的平均時間 在系統(tǒng)中車輛平均等待時間 應(yīng)用舉例：某高速公路出口收費站有四個出口收費通道，某時段之內(nèi)平均車輛到達(dá)率輛/h，服從

35、泊松分布；每個收費窗口負(fù)一輛汽車的平均時間為8s并且符合負(fù)指數(shù)分布. 現(xiàn)狀分析：此收費站系統(tǒng)屬于排隊系統(tǒng)，由于是多路排隊多通道服務(wù)方式，所以此收費站就等價于4個系統(tǒng)[18] [19]，我們這樣分析其中一個收費通道. 下面對收費站的各項指標(biāo)進(jìn)行分析： 收費站的平均車輛到達(dá)率為，則每一個收費通道的平均車輛到達(dá)率為； 每個收費窗口平均服務(wù)率輛/h 每個窗口服務(wù)強度 這說明系統(tǒng)是穩(wěn)定的. 每個收費窗口的平均排隊長度輛 每個收費窗口系統(tǒng)中車輛平均時間 分鐘 由于此收費站系統(tǒng)可以看出四個排隊模型，故一個窗口的排隊情況即可反映出整個收費站的排隊情況.目前我國高速公路收費站的服務(wù)水平通常采

36、用車輛的平均排隊長度指標(biāo)劃分四季服務(wù)水平.如表1： 表1 服務(wù)區(qū)等級劃分標(biāo)準(zhǔn) 服務(wù)水平 平均排隊車輛數(shù) 司機乘客感覺 一級 良好 二級 一般 三級 焦慮 四級 無法忍受 本案例求得的平均排隊長度為16輛，運大于8輛，故司機乘客的感覺是無法忍受.由得出收費站通道排有n輛車的概率，如表2： 表2 收費站通道排有n輛車的概率 0.056 0.

37、053 0.050 0.047 0.044 0.042 0.040 0.037 0.035 0.404 由表2可知排隊的車輛數(shù)大于8的概率為0.404，這說明該系統(tǒng)排長隊的概率很高，收費站勞動強度比較大，服務(wù)水平低.由于收費站的平均服務(wù)率是一定的，所以要通過控制車輛的平均到達(dá)率來提高收費站的服務(wù)水平. 結(jié)果分析：上述現(xiàn)狀分析針對此高速公路某高峰時段的交通狀態(tài)得出的相應(yīng)各項指標(biāo).根據(jù)服務(wù)區(qū)等級劃分標(biāo)準(zhǔn)，我們決定車輛的平均排隊長度為1，來確定期望值到達(dá)率 由 1，得輛/h 為了更好地體現(xiàn)區(qū)間的控制作用，我們令收費站處的期望車輛到達(dá)率輛/h 0.5.根據(jù)得出如下收費站前有n輛車等待的概率

38、，表3 表3 收費站前有n輛車等待的概率 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.0156 0.0078 0.0039 0.0020 0.00195 從表3中數(shù)據(jù)可知，排隊車輛數(shù)超過8的概率為0.00195，這與有表2得排隊的車輛數(shù)大于8的概率為0.404相比要小得多，這說明經(jīng)過對閉塞區(qū)間的設(shè)置，汽車到達(dá)收費站幾乎可以不用等待就可以服務(wù). 9.小結(jié) 由于解決實際問題的需要，人們引進(jìn)了一些排隊論的概念，并且對它們進(jìn)行研究發(fā)展，使之成為一門系統(tǒng)化、全面化的理論.排隊論，是研究系統(tǒng)隨機聚散現(xiàn)象和隨機

39、服務(wù)工作的數(shù)學(xué)理論和方法，又稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論，為運籌學(xué)的一個分支，是人類認(rèn)識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一. 并且排隊論也隨之成為解決實際問題中的一種有力工具之一，其應(yīng)用的范圍也越來越廣泛. 本文通過對大量文獻(xiàn)資料的查閱，向人們介紹排隊論的理論，主要是排隊系統(tǒng)，排隊模型，排隊論的應(yīng)用.第一部分：引言．分析研究背景、研究意義、研究目標(biāo)、研究方法和研究思路．第二部分：排隊論的基本概念．排隊系統(tǒng)的定義，排隊系統(tǒng)的機構(gòu).第三部分：排隊模型概述.排隊論常用模型分類，排隊模型常數(shù)，排隊模型特征指標(biāo).第四部分：排隊模型. 標(biāo)準(zhǔn)的排隊模型，隊長容量有限的排隊模型，有限客源的排隊模型.第

40、五部分：排隊模型．標(biāo)準(zhǔn)排隊模型，容量有限的排隊模型，客源有限的排隊模型.第六部分：一般排隊的服務(wù)模型，排隊模型，排隊模型，排隊模型第七部分：排隊系統(tǒng)優(yōu)化. 模型中最優(yōu)化服務(wù)率，模型中最優(yōu)化服務(wù)臺數(shù).第八部分：排隊論的應(yīng)用：排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理的應(yīng)用. 總之，解決排隊問題，要用系統(tǒng)觀點與系統(tǒng)方法，在滿足需要的同時，綜合考慮需要與可能、服務(wù)于經(jīng)濟(jì)利益等因素，隨機服務(wù)系統(tǒng)有適量的排隊以達(dá)到經(jīng)濟(jì)損失最小為目標(biāo)，進(jìn)行系統(tǒng)分析與綜合協(xié)調(diào)，才能滿意地解決問題，這就有依賴于排隊論的研究與應(yīng)用. 本文的目標(biāo)運用排隊論及其不同的排隊模型解決一些數(shù)學(xué)上的實際問題. 熟悉排隊論的理論，通過學(xué)習(xí)可以

41、具有分析問題，解決問題的基本能力，并且用相關(guān)的排隊論知識解決問題. 參考文獻(xiàn) [1]張蕊.服務(wù)行業(yè)排隊論分析[J].齊齊海爾濱學(xué)報,2002, 6 . [2][美] Hamdy. A. Taha. Operations Research[M]. 北京:人民郵電出版社,2007.7. [3]唐小我.排隊論基礎(chǔ)與分析技術(shù)[M]. 北京:科學(xué)出版社,2006. [4]嚴(yán)智淵.排隊論及其應(yīng)用[J].上海交通大學(xué)學(xué)報,1980. [5]盛敏.排隊論淺析及其應(yīng)用一二[J].西安電子科技大學(xué),2004. [6]牛映武.運籌學(xué)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2006.5. [7]傅家良.運籌

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43、 Methods and Applications, Fifth Edition, Mc Grew Hill Book company,1984. [15]楊超.運籌學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2004. [16]王文平.運籌學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2007. [17]湯洪波.排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理中的應(yīng)用[J].四川建筑,2009,10;29-5. [18]孫榮恒,李建.排隊論基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,2002. [19]焦永蘭.管理運籌學(xué)[M].北京:中國鐵道工業(yè)出版社,2000. 文獻(xiàn)綜述 排隊論的綜述與應(yīng)用 一、前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念

44、、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點） 1.寫作目的 本文主要在于介紹排隊論的歷史背景，不同的排隊模型，以及實際的應(yīng)用．目的在于對排隊論的歷史背景，模型等進(jìn)行綜述，并總結(jié)排隊論在生活各個領(lǐng)域的應(yīng)用. 2.基本概念 排隊現(xiàn)象是很常見的，排隊論 也稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論service system theory）,是一門研究擁擠現(xiàn)象（排隊、等待）的科學(xué)【1】， 是通過對服務(wù)對象到來及服務(wù)時間的統(tǒng)計研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時間、排隊長度、忙期長短等）的統(tǒng)計規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對象的需要，又能使機構(gòu)的費用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)

45、。它是數(shù)學(xué)運籌的分支學(xué)科。也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象隨機規(guī)律的學(xué)科。廣泛應(yīng)用于計算機網(wǎng)絡(luò), 生產(chǎn), 運輸, 庫存等各項資源共享的隨機服務(wù)系統(tǒng)。 排隊論研究的內(nèi)容有3個方面：統(tǒng)計推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，即和排隊有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題。其目的是正確設(shè)計和有效運行各個服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益。自20世紀(jì)初以來，電話系統(tǒng)的設(shè)計一直在應(yīng)用這個公式30年代蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家А.Я.欣欽把處于統(tǒng)計平衡的電話呼叫流稱為最簡單流數(shù)學(xué)家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義深入地分析了電話呼叫的本征特性，促進(jìn)了排隊論的研究50年代初，家關(guān)于生滅過程的研究、學(xué)家D.G.肯德爾提出嵌入理論，以及

46、對排隊隊型的分類方法，為排隊論奠定了理論基礎(chǔ)在這以后，L.塔卡奇等人又將組合方法引進(jìn)排隊論，使它更能適應(yīng)各種類型的排隊問題70年代以來，人們開始研究排隊網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊問題的漸近解等，成為研究現(xiàn)代排隊論的新趨勢 系統(tǒng)中的顧客總數(shù)（排隊的加上正在接受服務(wù)的） 已知系統(tǒng)中的有那n個顧客是的到達(dá)率 已知系統(tǒng)中有n個顧客時的離開率 系統(tǒng)中有n個顧客的平穩(wěn)狀態(tài)概率 廣義模型中作為和的函數(shù)，然后用這些概率來求出系統(tǒng)行為的度量指標(biāo)，如平均隊長、平均等待時間以及設(shè)備平均利用率. 概率可以用圖中的轉(zhuǎn)移率圖來的到。這個排隊系

47、統(tǒng)處在狀態(tài)n，因為這時系統(tǒng)中的顧客數(shù)為n. 根據(jù)12.3的解釋，在一個小時區(qū)間h里多于一個事件發(fā)生的概率隨著0而趨于0.這意味著，對于，狀態(tài)n只能變成兩種可能的狀態(tài)：當(dāng)按照離開率離開時變成，當(dāng)按照到達(dá)率到達(dá)時變成.狀態(tài)0按照到達(dá)率到達(dá)時只能變成狀態(tài)1.注意到假如系統(tǒng)為空時，因為沒有離開發(fā)生，沒有意義. 在平穩(wěn)的狀態(tài)條件下，對于，流入和流出狀態(tài)n的期望速率必相等。根據(jù)狀態(tài)n只能變成狀態(tài)和的事實，我們得到 流進(jìn)狀態(tài)n的期望速率 類似地 流出狀態(tài)n的期望率 讓這兩個速率相等，得到下面的平衡方程 對應(yīng)于的平衡方程為

48、 從開始遞歸求解平衡方程如下：對于n 0，有 接下來，對n 1，有 用 替換并簡化，得到（請驗證?。? 一般地，可用歸納法得到 的值可用從等式求出. 1.2單服務(wù)臺模型【8】 我們用肯德爾記號來總結(jié)每種情形下的特征.以在記法上我們用了GD（一般排隊規(guī)則）. : 利用廣義模型的記法，有 并且，，，因為所有的到達(dá)顧客都能加入到系統(tǒng). 令，則廣義模型中的表達(dá)式就簡化成 ， 為了求的值，用等式 設(shè)，幾何級數(shù)將有有限和，因此 ，其中 所有的一般公式由下面的幾何分布給出：

49、 ， 的數(shù)學(xué)推導(dǎo)將用到條件或.若，則幾何級數(shù)發(fā)散，平穩(wěn)狀態(tài)概率不存在.這個結(jié)果有著直觀意義，因為除非服務(wù)率大于到達(dá)率，否則隊列長度將會不斷增長，不可能達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài). 排隊系統(tǒng)的性能指可以按下面方式得到： 因為對于本情形，剩下的系統(tǒng)性能度量指標(biāo)用12.6.1節(jié)中的關(guān)系來計算因此有 1.3 排隊模型【9】 為泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、無限個服務(wù)臺的服務(wù)系統(tǒng). 假定參數(shù)為的最簡單流到達(dá)無限個服務(wù)臺的系統(tǒng)，則顧客一到達(dá)立即可接受空閑著的服務(wù)臺的服務(wù).服務(wù)時間與到達(dá)間隔相互獨立，服務(wù)時間是參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布.得： 其中.于是，可知系統(tǒng)中在服務(wù)的服務(wù)臺平均

50、數(shù) 1.4系統(tǒng)的容量有限制的情況（）【10】 如果系統(tǒng)的最大容量為N，對于單服務(wù)臺的情形，排隊等待的顧客最多為N-1，在某時刻一顧客到達(dá)時，如系統(tǒng)中已有N個顧客，那么這個顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng). 當(dāng)N 1時為即時制的情形；當(dāng)，為容量無限制情形. 列出狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程： 解這差方程，令得 在對容量沒有限制的情形下，我們曾設(shè)，這不僅是實際問題的需要，也是無窮級數(shù)收斂所必需的.在容量為有限數(shù)N的情形下，這個條件就沒有必要了.不過當(dāng)時，表示損失率的將是很大的. 我們可以導(dǎo)出系統(tǒng)的各種指標(biāo)： 對長（期望值） （2）隊列長（期望值）. 當(dāng)研究顧客在系統(tǒng)平均逗留時間和在對列中的平均等待時

51、間時，要注意平均到達(dá)率是在系統(tǒng)中有空時的平均到達(dá)率，當(dāng)系統(tǒng)已滿時，則到達(dá)率為0，因此需要求出有效到達(dá)率.可以驗證： 顧客逗留時間（期望值） （4） 顧客等待時間（期望值） 1.5排隊模型【11】 排隊模型是1個服務(wù)臺的等待制服務(wù)系統(tǒng)，輸入過程是以為參數(shù)的最簡單流，各顧客的服務(wù)時間是相互獨立且具有相同分布的隨機變量，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為和.服務(wù)臺的服務(wù)強度 當(dāng)時，我們有如下的結(jié)論： 同時我們還可以知道，忙期的平均長度 在忙期內(nèi)被服務(wù)的顧客的平均數(shù)為. 1.6排隊模型【12】 在排隊模型中，顧客的服務(wù)時間V服從愛爾朗分布，此時有

52、 ， 因此，當(dāng)時，則下列各式： （三）排隊論的應(yīng)用 1.排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理的應(yīng)用【13】 在高速公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理中運用排隊論進(jìn)行定量分析，運用排隊論的知識對其進(jìn)行優(yōu)化和設(shè)計并建立合適的數(shù)學(xué)模型.通過對模型的優(yōu)化設(shè)計，建立高速公路收費站的服務(wù)臺與工作人員的配備模型，對避免盲目確定收費亭建設(shè)規(guī)模大小，提高收費站服務(wù)臺的服務(wù)和管理水平，降低運營成本等有著重要作用. 2.排隊論在改進(jìn)銀行服務(wù)系統(tǒng)中應(yīng)用探索【14】 .應(yīng)用排隊論理論對銀行服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行了統(tǒng)計調(diào)查與分析，從技術(shù)的角度分析銀行應(yīng)該采取什么措施使顧客的等待時間最短；并從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度分析

53、成本和損失如何協(xié)同，來優(yōu)化系統(tǒng)，使銀行效益達(dá)到最大. 3．排隊論在高校選課系統(tǒng)服務(wù)臺模型設(shè)計中的應(yīng)用【15】 在高校網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，隨著客戶機數(shù)量和密集性任務(wù)的增加，單個Web服務(wù)器受到處理能力的限制，已經(jīng)成為網(wǎng)絡(luò)訪問的新瓶頸.若增加Web服務(wù)器緩解資源的緊張，則可能造成成本增加，設(shè)備閑置.因此，Web服務(wù)器具備可用性將成為解決這一問題的最佳方法.在綜合考慮系統(tǒng)中主要應(yīng)用的算法基礎(chǔ)上，以概率動態(tài)分布為基礎(chǔ)，綜合運籌學(xué)中的排隊論原理，建立一種應(yīng)用在高校選課系統(tǒng)中的多道等待服務(wù)臺模型.實踐結(jié)果證明，提出的模型應(yīng)用在高校選課系統(tǒng)中，減少運營成本，提高服務(wù)水平效果. 三、總結(jié)部分（將全文主題進(jìn)行扼要

54、總結(jié)，提出自己的見解并對進(jìn)一步的發(fā)展方向做出預(yù)測） 排隊論是一個前沿性研究課題. 排隊論 也稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論service system theory）,是一門研究擁擠現(xiàn)象（排隊、等待）的科學(xué)【1】， 是通過對服務(wù)對象到來及服務(wù)時間的統(tǒng)計研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時間、排隊長度、忙期長短等）的統(tǒng)計規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對象的需要，又能使機構(gòu)的費用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)。它是數(shù)學(xué)運籌的分支學(xué)科。也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象隨機規(guī)律的學(xué)科。廣泛應(yīng)用于計算機網(wǎng)絡(luò), 生產(chǎn), 運輸, 庫存等各項資源共享的隨機服務(wù)系統(tǒng)。 排隊論研究的內(nèi)

55、容有3個方面：統(tǒng)計推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，即和排隊有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題。其目的是正確設(shè)計和有效運行各個服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益。排隊模型、排隊模型、排隊模型等等）特征下的計算過程，并對提出的實際問題，建立科學(xué)的排隊模型進(jìn)行分析，從而使提出的問題達(dá)到最優(yōu)解. 四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排） [1]王文平.運籌學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2007. [2]谷源盛.運籌學(xué)[M].重慶:重慶大學(xué)出版社,2001. [3]郭志勇.客運專線橋上無縫道盆的設(shè)計[J].鐵道建筑,2007, 7 . [4]嚴(yán)智淵.排隊論及其應(yīng)用[J].上海交

56、通大學(xué)學(xué)報,1980, 3 :157-166. [5]張蕊.服務(wù)行業(yè)排隊論問題分析[J].齊齊哈爾濱大學(xué)學(xué)報,2002, 6 . [6]Hamdy A.Taha.運籌學(xué)（英文版）[M].北京:人民郵電出版社,2007. [7][美] Hamdy. A. Taha. Operations Research An Introduction[M].北京:人民郵電出版社,2007. [8]江天學(xué),黃勞生.簡明運籌學(xué)[M].南京:東南大學(xué)出版社,1991. [9]傅家良.運籌學(xué)方法與模型[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2005. [10]教材編寫組.運籌學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,200

57、5. [11]魏國華.實用運籌學(xué)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1987. [12]楊超.運籌學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2004. [13]湯洪波,劉向遠(yuǎn).排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理中的應(yīng)用[J].西南交通大學(xué)交通運輸學(xué)院,2009,29 5 :76-78. [14]林正雄.排隊論在改進(jìn)銀行服務(wù)系統(tǒng)中應(yīng)用探索[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè),2010, 1 :167-18. [15]陳立平.排隊論在高校選課系統(tǒng)服務(wù)臺模型設(shè)計中的應(yīng)用[J].計算機技術(shù)與發(fā)展,2008, 18 :216-218. 開題報告 排隊論的綜述與應(yīng)用 選題的背景、意義 （一）歷史背景 日常生活中

58、存在大量有形和無形的排隊或擁擠現(xiàn)象，如旅客購票排隊，市內(nèi)電話占線等現(xiàn)象.排隊論的基本思想是1910年丹麥電話工程師A.K.埃爾朗在解決自動電話設(shè)計問題時開始形成的，當(dāng)時稱為話務(wù)理論.他在熱力學(xué)統(tǒng)計平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的埃爾朗電話損失率公式【1】. 自20世紀(jì)初以來，電話系統(tǒng)的設(shè)計一直在應(yīng)用這個公式30年代蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家А.Я.欣欽把處于統(tǒng)計平衡的電話呼叫流稱為最簡單流數(shù)學(xué)家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義深入地分析了電話呼叫的本征特性，促進(jìn)了排隊論的研究50年代初，家關(guān)于生滅過程的研究、學(xué)家D.G.肯德爾提出嵌入理論，以及對排

59、隊隊型的分類方法，為排隊論奠定了理論基礎(chǔ)在這以后，L.塔卡奇等人又將組合方法引進(jìn)排隊論，使它更能適應(yīng)各種類型的排隊問題70年代以來，人們開始研究排隊網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊問題的漸近解等，成為研究現(xiàn)代排隊論的新趨勢排隊論 也稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論service system theory）,是一門研究擁擠現(xiàn)象（排隊、等待）的科學(xué)【3】， 是通過對服務(wù)對象到來及服務(wù)時間的統(tǒng)計研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時間、排隊長度、忙期長短等）的統(tǒng)計規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對象的需要，又能使機構(gòu)的費用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)。它是數(shù)學(xué)運籌的分支學(xué)科。也是研究服務(wù)

60、系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象隨機規(guī)律的學(xué)科。廣泛應(yīng)用于計算機網(wǎng)絡(luò), 生產(chǎn), 運輸, 庫存等各項資源共享的隨機服務(wù)系統(tǒng)。 排隊論研究的內(nèi)容有3個方面：統(tǒng)計推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，即和排隊有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題。其目的是正確設(shè)計和有效運行各個服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益。: 利用廣義模型的記法，有 并且，，，因為所有的到達(dá)顧客都能加入到系統(tǒng). 1.3 排隊模型【7】 為泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、無限個服務(wù)臺的服務(wù)系統(tǒng). 1.4系統(tǒng)的容量有限制的情況（）【8】 如果系統(tǒng)的最大容量為N，對于單服務(wù)臺的情形，排隊等待的顧客最多為N-1，在某時刻一顧客到達(dá)時，如系統(tǒng)中已有N個顧客

61、，那么這個顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng). 1.5排隊模型【9】 排隊模型是1個服務(wù)臺的等待制服務(wù)系統(tǒng)，輸入過程是以為參數(shù)的最簡單流，各顧客的服務(wù)時間是相互獨立且具有相同分布的隨機變量，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為和.服務(wù)臺的服務(wù)強度 1.6排隊模型【10】 在排隊模型中，顧客的服務(wù)時間V服從愛爾朗分布，此時有 ， 3．排隊論的實際應(yīng)用 1.排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理的應(yīng)用【11】 在高速公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理中運用排隊論進(jìn)行定量分析，運用排隊論的知識對其進(jìn)行優(yōu)化和設(shè)計并建立合適的數(shù)學(xué)模型.通過對模型的優(yōu)化設(shè)計，建

62、立高速公路收費站的服務(wù)臺與工作人員的配備模型，對避免盲目確定收費亭建設(shè)規(guī)模大小，提高收費站服務(wù)臺的服務(wù)和管理水平，降低運營成本等有著重要作用. 2.排隊論在改進(jìn)銀行服務(wù)系統(tǒng)中應(yīng)用探索【12】 .應(yīng)用排隊論理論對銀行服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行了統(tǒng)計調(diào)查與分析，從技術(shù)的角度分析銀行應(yīng)該采取什么措施使顧客的等待時間最短；并從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度分析成本和損失如何協(xié)同，來優(yōu)化系統(tǒng)，使銀行效益達(dá)到最大. 3．排隊論在高校選課系統(tǒng)服務(wù)臺模型設(shè)計中的應(yīng)用【13】 在高校網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，隨著客戶機數(shù)量和密集性任務(wù)的增加，單個Web服務(wù)器受到處理能力的限制，已經(jīng)成為網(wǎng)絡(luò)訪問的新瓶頸.若增加Web服務(wù)器緩解資源的緊張，則可能造成成本

63、增加，設(shè)備閑置.因此，Web服務(wù)器具備可用性將成為解決這一問題的最佳方法.在綜合考慮系統(tǒng)中主要應(yīng)用的算法基礎(chǔ)上，以概率動態(tài)分布為基礎(chǔ)，綜合運籌學(xué)中的排隊論原理，建立一種應(yīng)用在高校選課系統(tǒng)中的多道等待服務(wù)臺模型.實踐結(jié)果證明，提出的模型應(yīng)用在高校選課系統(tǒng)中，減少運營成本，提高服務(wù)水平效果. 二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題 本文的基本內(nèi)容在于介紹排隊論的歷史背景，不同的排隊模型，以及實際的應(yīng)用．目的在于對排隊論的歷史背景，模型等進(jìn)行綜述，并總結(jié)排隊論在生活各個領(lǐng)域的應(yīng)用. 本文首先介紹排隊論的背景、基本概念.然后介紹了各種不同的排隊模型.最后利用排隊論的思想解決一些實際生活中的問題．所

64、以越來越多的領(lǐng)域借助于排隊理論來做出最優(yōu)的決策． 三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo) 本文介紹排隊論的一些基本概念，分析幾個常見的排隊論的模型：廣義模型、單服務(wù)臺模型、排隊模型、系統(tǒng)的容量有限制的情況（）、排隊模型、排隊模型等. 在文獻(xiàn)[5-10]具體介紹了不同的排隊模型理論．根據(jù)排隊系統(tǒng)的統(tǒng)計分析，即判斷一個給定的排隊系統(tǒng)符合于那種模型，以便根據(jù)排隊理論進(jìn)行分析研究. 在現(xiàn)實生活中由于越來越多的領(lǐng)域借助于排隊理論來做出最優(yōu)決策，完善排隊理論及其有效解法已成為重要研究課題．排隊模型作為求解排隊問題較實用而有效的模型已在實際中得到廣泛應(yīng)用．最后本文例舉一些實際問題, 建立

65、科學(xué)的排隊模型進(jìn)行分析，從而使提出的問題達(dá)到最優(yōu)解. 四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排 五、主要參考文獻(xiàn)： [1]張蕊.服務(wù)行業(yè)排隊論問題分析[J].齊齊哈爾濱大學(xué)學(xué)報,2002, 6 . [2]Hamdy A.Taha.運籌學(xué)（英文版）[M].北京:人民郵電出版社.2007. [3]王文平.運籌學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2007. [4]谷源盛.運籌學(xué)[M].重慶:重慶大學(xué)出版社,2001.8. [5][美] Hamdy. A. Taha. Operations Research An Introduction[M].北京:人民郵電出版社,2007. [6]江天學(xué),黃勞生. 簡

66、明運籌學(xué)[M].南京:東南大學(xué)出版社,1991. [7]傅家良.運籌學(xué)方法與模型[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2005. [8]教材編寫組.運籌學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005. [9]魏國華.實用運籌學(xué)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1987. [10]楊超.運籌學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2004. [11]湯洪波,劉向遠(yuǎn).排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理中的應(yīng)用[J].西南交通大學(xué)交通運輸學(xué)院,2009,29 5 :76-78. [12]林正雄.排隊論在改進(jìn)銀行服務(wù)系統(tǒng)中應(yīng)用探索[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè),2010, 1 :167-18. [13]陳立平.排隊論在高校選課系統(tǒng)服務(wù)臺模型設(shè)計中的應(yīng)用[J].計算機技術(shù)與發(fā)展,2008, 18 :216-218. 4 5 28