專題18幾何變式探究和類比變換綜合類問(wèn)題原卷版蘇科版

《專題18幾何變式探究和類比變換綜合類問(wèn)題原卷版蘇科版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《專題18幾何變式探究和類比變換綜合類問(wèn)題原卷版蘇科版（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2020年中考數(shù)學(xué)必考經(jīng)典題講練案【蘇科版】 專題18幾何變式探究和類比變換綜合類問(wèn)題 【方法指導(dǎo)】 圖形的類比變換是近年來(lái)中考的?？键c(diǎn)，常以三角形、四邊形為背景，與翻折、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合，考查三角形全等或相似的性質(zhì)與判定，難度較大．此類題目第一問(wèn)相對(duì)簡(jiǎn)單，后面的問(wèn)題需要結(jié)合第一問(wèn)的方法進(jìn)行類比解答．根據(jù)其特征大致可分為：幾何變換類比探究問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題、翻折類問(wèn)題等． 解決此類問(wèn)題要善于將復(fù)雜圖象分解為幾個(gè)基本圖形，通過(guò)添加副主席補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形，借助轉(zhuǎn)化、方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想解決幾何證明問(wèn)題，計(jì)算則把幾何與代數(shù)知識(shí)綜合起來(lái)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力、

2、邏輯思維和推理能力. 【題型剖析】 【類型1】幾何類比變換綜合題 【例1】（2018秋?鹽都區(qū)期中）【閱讀理解】 截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一短邊相等，從而解決問(wèn)題． （1）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系． 解題思路：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)，可證易證得，得出是等邊三角形，所以，從而探尋線段、、之間的數(shù)量關(guān)系． 根據(jù)上述解題思路，請(qǐng)直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系是____； 【拓展延伸】 （2）如圖2，在中，，．若點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線

3、段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； 【知識(shí)應(yīng)用】 （3）如圖3，兩塊斜邊長(zhǎng)都為的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離的長(zhǎng)分別為____． 【變式1-1】（2019?亭湖區(qū)二模）【閱讀材料】 小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)，且，，，求的長(zhǎng)． 小明發(fā)現(xiàn)，以為邊作等邊三角形，連接，得到；由等邊三角形的性質(zhì)，可證，得；由已知，可知的大小，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)． （1）請(qǐng)回答：在圖1中，________，____． 【問(wèn)題解決】 （2）參考小明思考問(wèn)題的方法，解決下面問(wèn)題： 如圖2，中，，，點(diǎn)在內(nèi)，且，，，求的長(zhǎng)． 【靈活運(yùn)用】 （3）如圖3

4、，在中，，，且，點(diǎn)在外，且，，直接寫出長(zhǎng)的最大值． 【變式1-2】（2018?亭湖區(qū)二模）如圖，在等腰與等腰中，． （1）連接，（如圖①，請(qǐng)直接寫出線段，的數(shù)量關(guān)系____； （2）在（1）的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接（如圖②，試探究線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）連接，取的中點(diǎn)，連接（如圖③，若，，，求的長(zhǎng)． 【類型2】幾何旋轉(zhuǎn)變換綜合題 【例2】（2019?海州區(qū)一模）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，． （1）操作發(fā)現(xiàn)： 如圖2，固定，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，填空： ①線段與的位置關(guān)系是____； ②設(shè)的面積為，的面積為，則

5、與的數(shù)量關(guān)系是____． （2）猜想論證： 當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中、邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想． （3）拓展探究 已知，點(diǎn)是角平分線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)（如圖，若在射線上存在點(diǎn)，使，請(qǐng)求出相應(yīng)的的長(zhǎng)． 【變式2-1】（2019?遼陽(yáng)模擬）旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中一種重要的思想方法，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問(wèn)題． 已知，中，，，點(diǎn)、在邊上，且． （1）如圖1，當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接， ①求的度數(shù)； ②求證：； （2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

6、（3）如圖3，當(dāng)，，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為____． 【變式2-2】（2019?宜興市二模）【問(wèn)題提出】如圖1，四邊形中，，，，，，求四邊形的面積． 【嘗試解決】 旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題． （1）如圖2，連接，由于，所以可將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則的形狀是____________． （2）在（1）的基礎(chǔ)上，求四邊形的面積． 類比應(yīng)用如圖3，四邊形中，，，，，，求四邊形的面積． 【類型3】幾何翻折變換綜合題 【例3】（2019?江都區(qū)三模）如圖1，有一張矩形紙片，已知，，現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作：首先將紙片沿折痕進(jìn)行折疊

7、，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)在上（如圖；然后將紙片沿折痕進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn)落在第一次的折痕上的點(diǎn)處，點(diǎn)在上（如圖． （1）如圖2，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由； （2）如圖3，求的長(zhǎng)． 【變式3-1】（2019?廣陵區(qū)校級(jí)二模）如圖，將矩形先過(guò)點(diǎn)的直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在邊上，直線交于點(diǎn)；再將矩形沿過(guò)點(diǎn)的直線翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)． （1）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求的度數(shù)． （2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)剛好重合時(shí)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由． 【變式3-2】（2018?深圳模擬）已知矩形紙片中，，． 操作：將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上． 探究：（1）如圖1，若點(diǎn)與

8、點(diǎn)重合，你認(rèn)為和全等嗎？如果全等，請(qǐng)給出證明，如果不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）如圖2，若點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，請(qǐng)你判斷、△和△之間的關(guān)系，如果全等，只需寫出結(jié)果，如果相似，請(qǐng)寫出結(jié)果和相應(yīng)的相似比； （3）如圖2，請(qǐng)你探索，當(dāng)點(diǎn)落在邊上何處，即的長(zhǎng)度為多少時(shí)，與△全等． 【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】 1．如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠DAE＝45，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到△AFC，連接DF． （1）試說(shuō)明：△AED≌△AFD； （2）當(dāng)BE＝3，CE＝9時(shí)，求∠BCF的度數(shù)和DE的長(zhǎng)； （3）如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC

9、＝∠DAE＝90，D是斜邊BC所在直線上一點(diǎn)，BD＝3，BC＝8，求DE2的長(zhǎng)． 2．如圖①，在等腰△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝120． （1）求證：△ABD≌△ACE； （2）把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接CD，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，連接MN、PN、PM，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由； （3）在（2）中，把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝6，請(qǐng)分別求出△PMN周長(zhǎng)的最小值與最大值． 3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，42），B（﹣42，0），C（42，0），D（0，

10、﹣42），連接AB，AC，BD，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PD，交線段AC于點(diǎn)E，將線段EP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至EF． （1）過(guò)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2，則AE＝__________； （2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段AE最長(zhǎng)？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）連接OF．當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段OF的長(zhǎng)度隨之變化，求線段OF長(zhǎng)度的最小值． 4．如圖1，Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝15，BC＝9，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，CD＝4x，CE＝3x，其中0＜x＜3． （1）求證：DE∥AB； （2）當(dāng)x＝1時(shí)，求點(diǎn)E到AB的距離； （3

11、）將△DCE繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在AB邊上的D′處．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若點(diǎn)D′的位置有且只有一個(gè)，求x的取值范圍． 5．在△ABC中，∠B＝45，∠C＝30，作AP⊥AB，交BC于P點(diǎn)． （1）如圖1，若AB＝32，求BC的長(zhǎng)； （2）點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到線段AE． ①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在AC邊上時(shí)，求證：CE＝2BD； ②如圖3，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，直接寫出CE2AB2的值． 6．【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn)，∠DCE＝30，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段CF，連接AF、EF，請(qǐng)直接寫

12、出下列結(jié)果： ①∠EAF的度數(shù)為________； ②DE與EF之間的數(shù)量關(guān)系為__________； 【類比探究】如圖2，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90，點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn)，∠DCE＝45，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段CF，連接AF、EF． ①則∠EAF的度數(shù)為__________； ②線段AE，ED，DB之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由； 【實(shí)際應(yīng)用】如圖3，△ABC是一個(gè)三角形的余料，小張同學(xué)量得∠ACB＝120，AC＝BC，他在邊BC上取了D、E兩點(diǎn)，并量得∠BCD＝15、∠DCE＝60，這樣CD、CE將△ABC分成三個(gè)小三角形，請(qǐng)求△BCD、△DCE、

13、△ACE這三個(gè)三角形的面積之比． 7．綜合與實(shí)踐： 如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)． （1）觀察猜想 在圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______________，∠MPN的度數(shù)是____________； （2）探究證明 把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置， ①判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由； ②求∠MPN的度數(shù)； （3）拓展延伸 若△ABC為直角三角形，∠BAC＝90，AB＝AC＝10，點(diǎn)DE分別在邊AB，AC上，AD＝AE＝4，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為D

14、E，DC，BC的中點(diǎn)．把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值． 8．【問(wèn)題提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120，連接AD，求∠ADB的度數(shù)．（不必解答） 【特例探究】小聰先從特殊問(wèn)題開始研究，當(dāng)α＝90，β＝30時(shí)，利用軸對(duì)稱知識(shí)，以AB為對(duì)稱軸構(gòu)造△ABD的軸對(duì)稱圖形△ABD′，連接CD′（如圖2），然后利用α＝90，β＝30以及等邊三角形等相關(guān)知識(shí)便可解決這個(gè)問(wèn)題． 請(qǐng)結(jié)合小聰研究問(wèn)題的過(guò)程和思路，在這種特殊情況下填空：△D′BC的形狀是________三角

15、形；∠ADB的度數(shù)為________． 【問(wèn)題解決】 在原問(wèn)題中，當(dāng)∠DBC＜∠ABC（如圖1）時(shí)，請(qǐng)計(jì)算∠ADB的度數(shù)； 【拓展應(yīng)用】在原問(wèn)題中，過(guò)點(diǎn)A作直線AE⊥BD，交直線BD于E，其他條件不變?nèi)鬊C＝7，AD＝2．請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)為________________． 9．點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，∠ACB＝90，AC＝BC． （1）如圖1，∠DCE＝90，CD＝CE，求證：∠ADC＝∠BEC； （2）如圖2，若∠CDB＝45，AE∥BD，CE⊥CD，求證：AE＝BD； （3）如圖3，若∠ADC＝15，CD=2，BD＝n，請(qǐng)直接用含n的式子表示AD的長(zhǎng)． 10．如圖

16、，△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)120的角，角的兩邊分別交直線AB、直線AC于M、N兩點(diǎn)．以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)∠MDN（∠MDN的度數(shù)不變），當(dāng)DM與AB垂直時(shí)（如圖①所示），易證BM+CN＝BD． （1）如圖②，當(dāng)DM與AB不垂直，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AC上時(shí)，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）如圖③，當(dāng)DM與AB不垂直，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BM+CN＝BD是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)寫出BM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明． 11．在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，點(diǎn)P在邊AB

17、上，點(diǎn)D、Q分別為邊BC上的點(diǎn)，線段AD的延長(zhǎng)線與線段PQ的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接CP交AF于點(diǎn)E，若∠BPF＝∠APC，F(xiàn)D＝FQ． （1）如圖1，求證：AF⊥CP； （2）如圖2，作∠AFP的平分線FM交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，若FN＝MN，求證：DQ=13BC； （3）在（2）的條件下，連接DM、MQ，分別交PC于點(diǎn)G、H，求EGHP的值． 12．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，連結(jié)DF，CF． （1）如圖1，點(diǎn)D在AC上，請(qǐng)你判斷此時(shí)線段DF，CF的關(guān)系，并證明你的判斷； （2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點(diǎn)A

18、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45時(shí)，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此時(shí)線段CF的長(zhǎng)． 13．如圖①，將一個(gè)矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)O的坐標(biāo)是（0，0），點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處． （1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)； （2）如圖2，若點(diǎn)P是線段DA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D，A重合），過(guò)P作PH⊥DB于H，設(shè)OP的長(zhǎng)為x，△DPH的面積為S，試用關(guān)于x的代數(shù)式表示S． 14．如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP，BH． （1）求證：BP平分∠APH； （2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論． 15．已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，直線MN交矩形對(duì)角線AC于點(diǎn)E，將△AME沿直線MN翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，且點(diǎn)P在射線CB上 （Ⅰ）如圖①，當(dāng)EP⊥BC時(shí)，①求證CE＝CN；②求CN的長(zhǎng)； （Ⅱ）請(qǐng)寫出線段CP的長(zhǎng)的取值范圍，及當(dāng)CP的長(zhǎng)最大時(shí)MN的長(zhǎng)．