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1、“割”“補(bǔ)”法求二次函數(shù)圖象中面積最大值
袁蘇春
【專題名稱】中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)（初中讀本）
【專 題 號】G351
【復(fù)印期號】2009年04期
【原文出處】《數(shù)理化學(xué)習(xí)：初中版》(哈爾濱)2008年12期第18～21頁
【作者簡介】袁蘇春，江蘇射陽縣實驗初中(224300)。
中考試卷與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題經(jīng)常要求面積的最大值，其求解的基本方法是“割”“補(bǔ)”法。下面舉例說明：
一、“割”
(1)求這條拋物線的解析式。
(2)設(shè)此拋物線與直線y=x相交于點A、B（點B在點A的右側(cè)），平行于y軸的直線x=m(0＜m＜)與拋物線交于點M，與直線y=x交于點N，交x軸于點P
2、，求線段MN的長（用含m的代數(shù)式表示）
(3)在條件(2)的情況下，連接OM、BM，是否存在m的值，使△BO材的面積S最大？若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由。
(3)分析：因為△OMB的三邊中沒有邊在坐標(biāo)軸上（或與坐標(biāo)軸平行），所以可以考慮把△OMB“割”成△OMN和△BMN（MN∥y軸），因為△OMN和△BMN的邊MN上的高之和是一定的，所以MN為底，△OMB的面積可求。
例2 如圖2，已知O為坐標(biāo)原點，∠AOB=30，∠ABO=90，且點A的坐標(biāo)為(2，0)。
圖2
(1)求點B的坐標(biāo)；
(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、O三點，求此二次函數(shù)的解析式；
3、(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段（不包括點O、B）上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
分析：因為四邊形OABC的邊OA在x軸上，所以可以考慮把四邊形OABC“割”成△OCD、梯形CDGB、△GAB，只要分別求出△OCD、梯形CDGB、△GAB的面積，即可求出四邊形OABC的面積。
評注：當(dāng)所求面積的圖形有邊在坐標(biāo)軸上時，通常用“割”的方法，如例2中的四邊形OABC有邊OA在x軸上，四邊形OABC被CD、BG（CD、BG都與y軸平行）“割”成△OCD、梯形CDGB、△GAB；當(dāng)所求面積的圖形沒有邊在坐標(biāo)軸
4、上（或與坐標(biāo)軸平行）時，也可以用“割”的方法，使“割”后圖形有邊在坐標(biāo)軸上（或與坐標(biāo)軸平行），如例1中△OMB被MN（MN與y軸平行）“割”成△OMN和△BMN。
二、“補(bǔ)”
例3 如右上圖3，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(-2，0)，連接OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120，得到線段OB。
(1)求點B的坐標(biāo)；
(2)求經(jīng)過點A、O、B三點的拋物線的解析式；
(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最??？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
圖3
(4)如果點P是(2)中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有
5、，求出此時P點的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由（注意：本題中的結(jié)果均保留根號）
(3)在(2)中的拋物線CP段（不包括C、P點）上是否存在一點M，使得四邊形MCAP的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
(3)分析：直接求四邊形MCAP的面積，顯然不好求。通過“割”的方法也比較繁。倒不如把四邊形MCAP與△OCA“補(bǔ)”成五邊形MCOAP，然后再把五邊形MCOAP“割”成易求面積的梯形COEM、梯形MEDP、△PDA，即可簡捷地求解四邊形MCAP的面積。
評注：當(dāng)所求面積的圖形沒有邊在坐標(biāo)軸上（或與坐標(biāo)軸平行）時，除用“割”的方法外，還可以用“補(bǔ)”的方法，使“補(bǔ)”后的圖形有邊在坐標(biāo)軸上（或與坐標(biāo)軸平行），然后再用“割”的方法分別求“割”后的圖形的面積，如例3中把△APB先“補(bǔ)”成四邊形APFB后再“割”為梯形APFG、△AGB；例4中把四邊形MCAP先“補(bǔ)”成五邊形MCOAP，然后再把五邊形MCOAP“割”成易求面積的梯形COEM、梯形MEDP、△PDA。^NU1DA20091028
割補(bǔ)法求二次函數(shù)圖象中面積最大值
