活用割補(bǔ)法求面積1

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1、在組合圖形中，除了多邊形外，還有由圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形 等圖形組合而成的不規(guī)則圖形， 為了計(jì)算它們的面積，常常需要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn) 行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形。就是在多邊形的組合圖形中， 為了計(jì)算面積，有時(shí)也要用到割補(bǔ)的方法。 例1求下列各圖中陰影部分的面積: 分析與解：(1)如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下 圖所示，將這兩部分分別拼補(bǔ)在陰影位置?？梢钥闯觯}圖的陰影部分等于右下圖中 AB 弧所形成的弓形，其面積等于扇形 OAB與三角形OAB的面積之差。 nX 4X 4-444

2、弋=4.56。 5的四分之一 (2)在題圖虛線分割的兩個(gè)正方形中，右邊正方形的陰影部分是半徑為 個(gè)圓，在左邊正方形中空白部分是半徑為 5的四分之一個(gè)圓。 如下圖所示，將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中。 可以看出，原題圖的陰影部分正 好等于一個(gè)正方形的面積，為 5X5=25。 例2在一個(gè)等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段 （見右圖），求圖中陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾。 分析與解：陰影部分是一個(gè)梯形。我們用三種方法解答。 （1）割補(bǔ)法 從頂點(diǎn)作底邊上的高，得到兩個(gè)相同的直角三角形。將這兩個(gè)直角三角 形拼成

3、一個(gè)長方形（見下圖）.顯然，陰影部分正好是長方形的？所以 原題陰影部分占整個(gè)圖形面積的£° （2）拼補(bǔ)法 將兩個(gè)這樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形（下頁左上圖）。 顯然，圖中陰影面積占平行四邊形面積的\根據(jù)商不變性質(zhì).將陰影面 積和平行四邊行面積同時(shí)除以 2，商不變。所以原題陰影部分占整個(gè)圖形面 積的寧 （3）等分法 將原圖等分成9個(gè)小三角形（見右上圖），陰影部分占 3個(gè)小三角形， 所以陰影部分占整個(gè)圖形面積的 注意，后兩種方法對(duì)任意三角形都適用。 也就是說，將例題中的等腰三角形換成任意三 角形，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。 例

4、3如左下圖所示，在一個(gè)等腰直角三角形中，削去一個(gè)三角形后，剩下一個(gè)上 底長5厘米、下底長9厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個(gè)梯形的面積。 分析與解：因?yàn)椴恢捞菪蔚母撸?所以不能直接求出梯形的面積。 可以從等腰直角 三角形與正方形之間的聯(lián)系上考慮。 將四個(gè)同樣的等腰直角三角形拼成一個(gè)正方形 （上頁右 下圖），圖中陰影部分是邊長 9厘米與邊長5厘米的兩個(gè)正方形面積之差，也是所求梯形 面積的4倍。所以所求梯形面積是（9X9-5 X5）詔=14 （厘米2）。 例4在左下圖的直角三角形中有一個(gè)矩形，求矩形的面積。 6 B 分析與解：題中給出了兩個(gè)似乎毫無關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)， 無法溝通

5、與矩形的聯(lián)系。 我們給這個(gè)直 角三角形再拼補(bǔ)上一個(gè)相同的直角三角形（見右上圖）。因?yàn)?A與A', B與B'面積分別相 等，所以甲、乙兩個(gè)矩形的面積相等。乙的面積是 4X6=24，所以甲的面積，即所求矩形的 面積也是24。 例5下圖中，甲、乙兩個(gè)正方形的邊長的和是 20厘米，甲正方形比乙正方形的面 積大40厘米2。求乙正方形的面積。 分析與解：如果從甲正方形中 挖掉”和乙正方形同樣大的正方形丙，所剩的 A , B , C三部分之和就是 40厘米2 （見左下圖）。 A c 丙 A_ C 丙 乙 把C割下，拼補(bǔ)到乙正方形的

6、上面（見右上圖），這樣 A , B, C三塊就合并成一個(gè)長 20厘米的矩形，面積是 40厘米2,寬是40+20=2 （厘米）。這個(gè)寬恰好是兩個(gè)正方形的邊 長之差，由此可求出乙正方形的邊長為 （20-2 ） +2=9（厘米），從而乙正方形的面積為 9X9=81 （厘米2）。 練習(xí)22 1?求下列各圖中陰影部分的面積: 4厘米, 2.以等腰直角三角形的兩條直角邊為直徑畫兩個(gè)半圓?。ㄒ娤聢D），直角邊長 求圖中陰影部分的面積。 3.在左下圖所示的等腰直角三角形中， 剪去一個(gè)三角形后， 剩下的部分是一個(gè)直角梯形 （陰影部分）。已知梯形的面積為 36厘米2

7、, 上底為3厘米，求下底和高。 4.在右上圖中，長方形 AEFD的面積是18厘米2，BE長3厘米，求CD的長。 5?下圖是甲、乙兩個(gè)正方形，甲的邊長比乙的邊長長 3厘米，甲的面積比乙的面積大 45厘米2。求甲、乙的面積之和。 甲 乙 6?求下圖（單位：厘米）中四邊形 ABCD的面積。 五年級(jí)奧數(shù)專題二十一:用等量代換求面積 一個(gè)量可以用它的等量來代替；被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個(gè)數(shù)，它們的差不變。 前者是等量公理，后者是減法的差不變性質(zhì)。這兩個(gè)性質(zhì)在解幾何題時(shí)有很重要的作用， 它 能將求一個(gè)圖形的面積轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)圖形的面積， 或?qū)蓚€(gè)圖形

8、的面積差轉(zhuǎn)化為另兩個(gè)圖 形的面積差，從而使隱蔽的關(guān)系明朗化，找到解題思路。 例1兩個(gè)相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分 的面積。 分析與解：陰影部分是一個(gè)高為 3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知 道，因而不能直接求出它的面積。因?yàn)槿切?ABC與三角形DEF完全相同，都減去三角 形DOC后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等， 即陰影部分與直角梯形 OEFC面積相等，所以求 陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形 OEFC的面積。直角梯形OEFC的上底為10-3=7 （厘 米），面積為（7+10 ） X2-2=17 （厘米 2）。 所以，陰影部分的面

9、積是 17厘米2 例2在右圖中，平行四邊形 ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形 ECB的直角 邊EC長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形 EFG的面積大10厘米2，求平行四邊形 ABCD的面積。 分析與解：因?yàn)殛幱安糠直热切?EFG的面積大10厘米2,都加上梯形FGCB 后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個(gè)新圖形的面積差不變，即平行四邊行 ABCD比直角三角 形ECB的面積大10厘米2，所以平行四邊形 ABCD的面積等于 10X8吃+10=50 （厘米 2）。 例3在右圖中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD 的面積大18厘米2。求ED的長

10、。 分析與解：求ED的長，需求出EC的長；求EC的長，需求出直角三角形 ECB的面積。 因?yàn)槿切蜛FB比三角形EFD的面積大18厘米2，這兩個(gè)三角形都加上四邊形 FDCB后, 其差不變，所以梯形 ABCD比三角形ECB的面積大18厘米2。也就是說，只要求出梯形 ABCD的面積，就能依次求出三角形 ECB的面積和EC的長，從而求出 ED的長。 梯形 ABCD 面積=(8+4) X5-2=36 (厘米 2), 三角形ECB面積=36-18=18 （厘米2）, EC=1刖 6X2=6 （厘米）， ED=6-4=2 （厘米）。 例4下頁上圖中，ABCD是7X4的長方形，DEFG

11、是10X2的長方形，求三角形 BCO與三角形EFO的面積之差。 分析：直接求出三角形 BCO與三角形EFO的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變 性質(zhì)，將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)圖形的面積之差， 而這兩個(gè)圖形的面積之差容易求出, 那么問題就解決了。 解法一：連結(jié)B, E （見左下圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形 BEO , 則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形 BEC與三角形BEF的面積之差。所求為 4X （ 10-7 ）弋-2 X （10-7 ）吃=3。 解法二：連結(jié)C, F （見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形 CFO , 則原來的問題

12、轉(zhuǎn)化為求三角形 BCF與三角形ECF的面積之差。所求為 4X（ 10-7 ）弋-2 X （10-7 ）吃=3。 解法三：延長BC交GF于H （見下頁左上圖）。 三角形BCO與三角形EFO都加 上梯形COFH，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形 BHF與矩形CEFH的面積之差。所求為（4+2 ） X （10-7 ）吃-2 X（ 10-7 ） =3。 解法四：延長AB , FE交于H （見右上圖）。三角形 BCO與三角形EFO都加上 梯形BHEO ,則原來的問題轉(zhuǎn)化為求矩形 BHEC與直角三角形 BHF的面積之差。所求為4X (10-7 ) - (10-7 ) X (4+2 )吃=3。

13、［ 例5左下圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長是 4厘米，求三角形 ABC的面 積。 4 E 0 ' b 1 n D 分析與解：這道題似乎缺少大正方形的邊長這個(gè)條件, 實(shí)際上本題的結(jié)果與大正方 形的邊長沒關(guān)系。連結(jié) AD （見右上圖），可以看出，三角形 ABD與三角形 ACD的底都等 于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等。因?yàn)槿切? AFD是三角形 ABD與三角形ACD的公共部分，所以去掉這個(gè)公共部分， 根據(jù)差不變性質(zhì), 剩下的兩個(gè)部 分，即三角形ABF與三角形FCD面積仍然

14、相等。根據(jù)等量代換，求三角形 ABC的面積等 于求三角形BCD的面積，等于4X4吃=8 （厘米2）。 練習(xí)21 1?左下圖中，等腰直角三角形 ABC的腰為10厘米，以C為圓心、CF為半徑畫弧線 EF，組成扇形CEF。如果圖中甲、乙兩部分的面積相等， 那么扇形所在的圓的面積是多少？ 2.右上圖（單位：厘米）是兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。 3?左下圖中，扇形ABD的半徑是4厘米，甲比乙的面積大 3.44厘米2。求直角梯形ABCD 的面積。（n =3.14） 4.在右上圖的三角形中， D, E分別是所在邊的中點(diǎn)，求四邊形 ADFE的面積。 5.下頁左上圖中，矩形 ABCD的邊AB為4厘米，BC為6厘米，三角形 ABF比三角 形EDF的面積大9厘米2,求ED的長。 6.右上圖中，CA=AB=4厘米，三角形 ABE比三角形CDE的面積大2厘米2，求CD 的長。 2 一下圖中，三角形ABC的面積是30厘米人AE = ED, BD = ^BC,求陰 3 影部 分的面積和。