高中數(shù)學(xué) 第一章 基本初等函數(shù)（Ⅱ）1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.2 單位圓與三角函數(shù)線課件 新人教B版必修4

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1、1.2.2單位圓與三角函數(shù)線1.會利用單位圓中的有向線段表示正弦、余弦和正切.2.能使用三角函數(shù)線求三角函數(shù)值、比較大小、解簡單的三角方程或三角不等式、證明相關(guān)的命題等.121.單位圓半徑為1的圓叫做單位圓.【做一做1】 若單位圓的圓心與坐標原點重合,有下列結(jié)論:單位圓上任意一點到原點的距離都是1;單位圓與x軸的交點為(1,0);過點(1,0)的單位圓的切線方程為x=1;與x軸平行的單位圓的切線方程為y=1.以上結(jié)論正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4解析:單位圓與x軸的交點為(1,0)和(-1,0);與x軸平行的單位圓的切線方程為y=1,所以錯誤.顯然正確.答案:B122.三角函數(shù)線(1

2、)如圖,設(shè)單位圓的圓心與坐標原點重合,則單位圓與x軸的交點分別為A(1,0),A(-1,0),而與y軸的交點分別為B(0,1),B(0,-1).設(shè)角的頂點在圓心O,始邊與x軸的正半軸重合,終邊與單位圓相交于點P(如圖),過點P作PM垂直x軸于點M,作PN垂直y軸于點N,則點M,N分別是點P在x軸、y軸上的正射影(簡稱射影).由三角函數(shù)的定義可知,點P的坐標為(cos ,sin ),即P(cos ,sin ).其中cos =OM,sin =ON.12這就是說,角的余弦和正弦分別等于角終邊與單位圓交點的橫坐標和縱坐標.如圖,以A為原點建立y軸與y軸同向,y軸與的終邊(或其反向延長線)相交于點T(或

3、T),則tan =AT(或AT).我們把軸上向量 分別叫做的余弦線、正弦線和正切線.當(dāng)角的終邊在x軸上時,點P與點M重合,點T與點A重合,此時,正弦線和正切線都變成了一點,它們的數(shù)量為零,而余弦線OM=1或-1.當(dāng)角的終邊在y軸上時,正弦線MP=1或-1,余弦線變成了一點,它表示的數(shù)量為零,正切線不存在.(2)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的符號:正弦線、正切線的方向同y軸一致,向上為正,向下為負;余弦線的方向同x軸一致,向右為正,向左為負.三角函數(shù)線的長度等于所表示的三角函數(shù)值的絕對值.12【做一做2-1】 如圖,在單位圓中,角的正弦線、正切線完全正確的是 ()答案:C12【做一做2-2】

4、如圖,你從圖中可得到什么信息?(1)點P的坐標是; 1.三角函數(shù)線的作用剖析三角函數(shù)線在解決有關(guān)三角函數(shù)的問題時,具有實用性、簡捷性、直觀性等特點.我們在使用時主要從形的角度看待三角函數(shù)線.三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的直觀表達形式.從三角函數(shù)線的方向可看出三角函數(shù)值的符號,從三角函數(shù)線的長度可看出三角函數(shù)值的絕對值的大小.三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、證明三角不等式、求函數(shù)定義域及比較大小,同時它也是以后學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ).如:求函數(shù)y=log2(sin x)的定義域.我們可以通過轉(zhuǎn)化為解不等式sin x0.解答如下:要使函數(shù)y=log2(sin x)有意義,x的取值必須滿足si

5、n x0.則sin x=MP0.角x的終邊在x軸的上方.2kx2k+(kZ),即函數(shù)y=log2(sin x)的定義域是(2k,2k+),kZ.我們根據(jù)角能作出角的三角函數(shù)線,反過來,我們也可以根據(jù)三角函數(shù)值去找角的終邊,從而找到角的取值范圍.觀察三角函數(shù)線的變化,我們知道:當(dāng)角由0增加到2時,sin 在第一、四象限都是增函數(shù),在第二、三象限都是減函數(shù);cos 在第一、二象限都是減函數(shù),在第三、四象限都是增函數(shù);tan 在各個象限內(nèi)均是增函數(shù).觀察三角函數(shù)線的變化,還可以得出:當(dāng)R時,sin ,cos 的值域為-1,1,tan 的值域為R.歸納總結(jié)歸納總結(jié) 三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)

6、三角函數(shù)問題的重要工具,要注意通過平時經(jīng)驗的積累,掌握三角函數(shù)線的應(yīng)用.題型一題型二題型三題型四分析利用單位圓中三角函數(shù)線的作法作圖.題型一題型二題型三題型四圖(1) 圖(2) 題型一題型二題型三題型四反思反思1.正弦線、余弦線、正切線這三條有向線段中,有兩條在單位圓內(nèi),有一條在單位圓外.2.三條有向線段的正負:三條有向線段凡與x軸或y軸的正方向同向的為正值,與x軸或y軸的正方向反向的為負值.3.三條有向線段的書寫:有向線段的起點字母在前面,終點字母在后面.題型一題型二題型三題型四解:題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思反思三角函數(shù)線在解決一些與三角函數(shù)

7、有關(guān)的不等式、比較大小等問題時十分快捷有效,所以我們要能熟練地畫出一個角的三角函數(shù)線,結(jié)合圖形對比得出結(jié)論.這也是數(shù)形結(jié)合思想的很好體現(xiàn).題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】 若 ,則下列各式錯誤的是(填序號).sin +cos 0;|sin |0.解析:畫出單位圓如右圖,借助三角函數(shù)線進行判斷.由圖可觀察出,當(dāng) 時,sin 0,cos 0,且|sin |1.綜上,有|sin |+|cos |1.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練4】 設(shè)a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),試比較a,b,c的大小.解:12345答案:B 12345A.sin tan cos B.tan sin cos C.cos sin tan D.sin cos tan 解析:如圖,在單位圓中,作出 內(nèi)的一個角及其正弦線、余弦線、正切線.由圖知, ,考慮方向可得sin cos cos x成立的x的取值范圍為 ()答案:C123455.分別作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線: