2013年西城一模高三數學試題(文)含答案

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1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷 數 學（理科） 2013.4 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知全集，集合，，那么 （A） （B） （C） （D） 2．若復數的實部與虛部相等，則實數 （A） （B） （C） （D） 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸出，則輸入 角 （A） （B） （C） （D） 4．從甲、乙等名志愿者中選出名，分別從事，，，四項不同的工作，每人承擔一項．若甲、乙二人均不能從事工

2、作，則不同的工作分配方案共有 （A）種 （B）種 （C）種 （D）種 5．某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正（主）視 圖是邊長為的正方形，該正三棱柱的表面積是 （A） （B） （C） （D） 6．等比數列中，，則“”是“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 7．已知函數，其中．若對于任意的，都有，則的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 8．如圖，正方體中，為底面 上的動點，于，且，則點的 軌跡是 （A）線段 （B）圓弧 （C）橢圓的一部分 （D）

3、拋物線的一部分 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．已知曲線的參數方程為（為參數），則曲線的直角坐標方程為 ． 10．設等差數列的公差不為，其前項和是．若，，則______． 11．如圖，正六邊形的邊長為，則 ______． 12．如圖，已知是圓的直徑，在的延長線上， 切圓于點，于．若，， 則圓的半徑長為______；______． 13．在直角坐標系中，點與點關于原點對稱． 點在拋物線上，且直線與的斜率之積等于，則______． 14．記實數中的最大數為，最小數為.設△ 的三邊邊長分別為，且，定義

4、△的傾斜度為 ． （?。┤簟鳛榈妊切?，則______； （ⅱ）設，則的取值范圍是______． 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分13分） 已知函數的一個零點是． （Ⅰ）求實數的值； （Ⅱ）設，求的單調遞增區(qū)間． 16．（本小題滿分13分） 某班有甲、乙兩個學習小組，兩組的人數如下： 現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內采用簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取名同學進行學業(yè)檢測． （Ⅰ）求從甲組抽取的同學中恰有名女同學的概率； （Ⅱ）記為抽取的名同學中男同學的人數，求隨機變

5、量的分布列和數學期望． 17．（本小題滿分14分） 在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，//，， ，． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求與平面所成角的正弦值； （Ⅲ）線段上是否存在點，使平面平面？ 證明你的結論． 18．（本小題滿分13分） 已知函數，，其中． （Ⅰ）求的極值； （Ⅱ）若存在區(qū)間，使和在區(qū)間上具有相同的單調性，求的取值范圍． 19．（本小題滿分14分） 如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點．當直線經過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為． （Ⅰ）求該橢圓的離心率

6、； （Ⅱ）設線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點．記△的面積為，△（為原點）的面積為，求的取值范圍． 20．（本小題滿分13分） 已知集合． 對于，，定義； ；與之間的距離為． （Ⅰ）當時，設，．若，求； （Ⅱ）（?。┳C明：若，且，使，則； （ⅱ）設，且．是否一定，使？ 說明理由； （Ⅲ）記．若，，且，求的最大值． 北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷 高三數學（理科）參考答案及評分標準

7、 2013.4 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．B； 7．D； 8．A． 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9．； 10．； 11． 12．，； 13．； 14．，． 注：12、14題第一問2分，第二問3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分.

8、 15．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：依題意，得， ………………1分 即 ， ………………3分 解得 ． ………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ． ………………6分 ………………7分

9、 ………………8分 ………………9分 ． ………………10分 由 ， 得 ，． ………………12分 所以 的單調遞增區(qū)間為，． ………………13分 16．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：依題意，甲、乙兩組的學生人數之比為 ， ……………1分 所以，從甲組抽取的學生人數為；從乙組抽取的學生人數為．………2分

10、 設“從甲組抽取的同學中恰有名女同學”為事件， ………………3分 則 ， 故從甲組抽取的同學中恰有名女同學的概率為． ………………5分 （Ⅱ）解：隨機變量的所有取值為． ………………6分 ， ， ， ．……………10分 所以，隨機變量的分布列為: ……

11、…………11分 ． ………………13分 17．（本小題滿分14分） （Ⅰ）證明：因為，， 在△中，由余弦定理可得 ， 所以 ． ………………2分 又因為 ， 所以平面． ………………4分 （Ⅱ）解：因為平面，所以． 因為，所以平面． ………………5分 所以兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標系． ………………6分在等腰梯形中，可得 ． 設，所以． 所以 ，，． 設平面的法向量為，則有 所以 取，得．

12、 ………………8分 設與平面所成的角為，則 ， 所以 與平面所成角的正弦值為． ………………9分 （Ⅲ）解：線段上不存在點，使平面平面．證明如下： ………………10分 假設線段上存在點，設 ，所以． 設平面的法向量為，則有 所以 取 ，得． ………………12分 要使平面平面，只需， ………………13分 即 ， 此方程無解． 所以線段上不存在點，使平面平面． ……………

13、…14分 18.（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：的定義域為， ………………1分 且 ． ………………2分 ① 當時，，故在上單調遞減． 從而沒有極大值，也沒有極小值． ………………3分 ② 當時，令，得． 和的情況如下： ↘ ↗ 故的單調減區(qū)間為；單調增區(qū)間為． 從而的極小

14、值為；沒有極大值． ………………5分 （Ⅱ）解：的定義域為，且 ． ………………6分 ③ 當時，顯然 ，從而在上單調遞增． 由（Ⅰ）得，此時在上單調遞增，符合題意． ………………8分 ④ 當時，在上單調遞增，在上單調遞減，不合題意．……9分 ⑤ 當時，令，得． 和的情況如下表： ↘ ↗ 當時，，此時在上單調遞增，由于在上單調遞減，不合題意．

15、 ………………11分 當時，，此時在上單調遞減，由于在上單調遞減，符合題意． 綜上，的取值范圍是． ………………13分 19．（本小題滿分14分） （Ⅰ）解：依題意，當直線經過橢圓的頂點時，其傾斜角為． ………………1分 設 ， 則 ． ………………2分 將 代入 ， 解得 ．

16、 ………………3分 所以橢圓的離心率為 ． ………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），橢圓的方程可設為． ………………5分 設，． 依題意，直線不能與軸垂直，故設直線的方程為，將其代入 ，整理得 ． ………………7分 則 ，，． ………………8分 因為 ，

17、 所以 ，． ………………9分 因為 △∽△， 所以 ………………11分 ． ………………13分 所以的取值范圍是． ………………14分 20．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：當時，由， 得 ，即 ． 由 ，得 ，或． ………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）證明：設，，． 因為 ，使 ， 所以 ，使得 ， 即 ，使得 ，其中． 所以 與同為非負數或同為

18、負數． ………………5分 所以 ． ………………6分 （ⅱ）解：設，且，此時不一定，使得 ． ………………7分 反例如下：取，，， 則 ，，，顯然． 因為，， 所以不存在，使得． ………………8分 （Ⅲ）解法一：因為 ， 設中有項為非負數，項為負數．不妨設時；時，． 所以 因為

19、， 所以 ， 整理得 ． 所以 ．……………10分 因為 ； 又 ， 所以 ． 即 ． ……………12分 對于 ，，有 ，，且， ． 綜上，的最大值為． ……………13分 解法二：首先證明如下引理：設，則有 ． 證明：因為 ，， 所以 ， 即 ． 所以 ． ……………11分 上式等號成立的條件為，或，所以 ． ……………12分 對于 ，，有 ，，且， ． 綜上，的最大值為． ……………13分 14 / 14