數(shù)學 第二章 函數(shù) 2.2 一次函數(shù)和二次函數(shù) 2.2.3 待定系數(shù)法 新人教B版必修1

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1、2 2.2 2.3 3待定系數(shù)法待定系數(shù)法一二一、待定系數(shù)法的概念【問題思考】 1.如果已知反比例函數(shù)的圖象過(1,-1)點,那么你能求出滿足此條件的函數(shù)解析式嗎?2.填空:一般地,在求一個函數(shù)時,如果知道這個函數(shù)的一般形式,那么可先把所求函數(shù)寫為一般形式,其中系數(shù)待定,再根據(jù)題設條件求出這些待定系數(shù).這種通過求待定系數(shù)來確定變量之間關系式的方法叫做待定系數(shù)法.一二三二、常見函數(shù)的一般形式【問題思考】 1.填空:(1)正比例函數(shù):y=kx(k0);(2)反比例函數(shù):_;(3)一次函數(shù):y=kx+b(k0);(4)二次函數(shù):y=ax2+bx+c(a0)或y=a(x-h)2+k(a0)或y=a(x

2、-x1)(x-x2)(a0).2.做一做:若函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點P(3,-2)和Q(-1,2),則這個函數(shù)的解析式為()A.y=x-1B.y=x+1C.y=-x-1D.y=-x+1解析:把點P(3,-2)和Q(-1,2)的坐標分別代入y=kx+b,答案:D 思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“”,錯誤的打“”.(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的前提條件是已知該函數(shù)圖象上一個定點. ()(2)已知二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點坐標,設出二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a0)是無法求解此類問題的. ()(3)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,當已知條件確定時,所設的函數(shù)形式不是唯

3、一的. ()答案:(1)(2)(3)探究一探究二探究三思維辨析用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式【例1】 已知一次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標為 ,并且當x=1時,y=5,則這個一次函數(shù)的解析式為.反思感悟用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的具體步驟1.設一次函數(shù)的解析式為y=kx+b(k0);2.根據(jù)題意列出關于k和b的方程組;3.求出k,b的值,代入即可.探究一探究二探究三思維辨析變式訓練變式訓練1已知f(x)是一次函數(shù),且ff(x)=4x+3,求f(x).探究一探究二探究三思維辨析用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式【例2】已知二次函數(shù)f(x)

4、滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值為8,試求二次函數(shù)的解析式.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析反思感悟求二次函數(shù)解析式常見情形如下表: 探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析已知函數(shù)圖象求函數(shù)解析式已知函數(shù)圖象求函數(shù)解析式【例3】 如圖,函數(shù)的圖象由兩條射線及拋物線的一部分組成,求函數(shù)的解析式.分析:由圖象可知:(1)函數(shù)圖象由兩條射線及拋物線的一部分組成;(2)當x1或x3時,函數(shù)解析式可設為y=kx+b(k0);(3)當1x3時,函數(shù)解析式可設為y=a(x-2)2+2(a0)或y=ax2+bx+c(a0).探究一探究二探究三思維辨析解

5、:設左側(cè)的射線對應的函數(shù)解析式為y=kx+b(k0,x1).解得k=-1,b=2,所以左側(cè)射線對應的函數(shù)解析式為y=-x+2(x1).同理可得,當x3時,函數(shù)的解析式為y=x-2(x3).當1x3時,拋物線對應的函數(shù)為二次函數(shù).方法一:設函數(shù)解析式為y=a(x-2)2+2(1x3,a0).由點(1,1)在拋物線上,可知a+2=1,所以a=-1.所以拋物線對應的函數(shù)解析式為y=-x2+4x-2(1x3).探究一探究二探究三思維辨析反思感悟1.由函數(shù)圖象求函數(shù)的解析式,關鍵觀察函數(shù)圖象的形狀,分析圖象由哪幾種函數(shù)的圖象組成,然后就在不同區(qū)間上,利用待定系數(shù)法求出相應的解析式.2.分段函數(shù)的表達式要

6、注意端點值.探究一探究二探究三思維辨析變式訓練變式訓練2已知y=f(x)的圖象如圖所示.(1)求f(x)的解析式;(2)求函數(shù)的值域.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析因沒有對a的值進行檢驗而致誤【典例】 已知f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)0的解集是x|0 x5,且f(x)在區(qū)間-1,4上的其中一個最值為12,求f(x)的解析式.錯解:根據(jù)f(x)是二次函數(shù),且f(x)0的解集是x|0 x0恒成立,求a的取值范圍.123451.已知y=f(x)是一次函數(shù),且有2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,則這個函數(shù)的解析式為()A.f(x)=-3x+2B.f(x

7、)=3x-2C.f(x)=4x+9D.f(x)=2x-9解析:設f(x)=kx+b(k0),即這個函數(shù)的解析式為f(x)=3x-2.答案:B123452.已知拋物線經(jīng)過點(-3,2),頂點是(-2,3),則拋物線的解析式為()A.y=-x2-4x-1B.y=x2-4x-1C.y=x2+4x-1D.y=-x2-4x+1解析:設所求解析式為y=a(x+2)2+3(a0).拋物線過點(-3,2),2=a+3.a=-1.y=-(x+2)2+3=-x2-4x-1.答案:A12345123454.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,1),(2,4),(3,10)三點,則這個二次函數(shù)的解析式為.123455.已知二

8、次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)在區(qū)間-1,1上,g(x)=f(x)-2x-m,且g(x)min0,試確定實數(shù)m的取值范圍.12345解:(1)設f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=1,得c=1,故f(x)=ax2+bx+1(a0).f(x+1)-f(x)=2x,a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,f(x)的解析式為f(x)=x2-x+1.(2)g(x)=f(x)-2x-m=x2-3x+1-m.這個二次函數(shù)的圖象開口向上,對稱軸為直線 ,g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上是減函數(shù).故g(x)min=g(1)=-m-10,解得m-1.即實數(shù)m的取值范圍是(-,-1).