2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 5 不等式的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修4-5.docx

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5　不等式的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解不等式應(yīng)用的廣泛性.2.能用不等式解決一些生產(chǎn)及生活中的問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　平均值不等式 寫出平均值不等式 (1)≥(a，b∈R＋)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，“＝”號(hào)成立． (2)≥(a，b，c∈R＋)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，“＝”號(hào)成立． 知識(shí)點(diǎn)二　不等式的應(yīng)用 1．不等式的應(yīng)用大致分為兩類 (1)利用不等式研究函數(shù)的性質(zhì)，求參數(shù)的取值范圍． (2)實(shí)際問(wèn)題中建立不等式(或函數(shù))模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 2．解不等式應(yīng)用問(wèn)題的四個(gè)步驟 (1)審題，必要時(shí)畫出示意圖． (2)建立不等式模型，即根據(jù)題意找出常數(shù)量和變量之間的不等關(guān)系． (3)利用不等式的有關(guān)知識(shí)解題，即將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)或圖形符號(hào)． (4)作出問(wèn)題結(jié)論． 類型一　列不等式解實(shí)際應(yīng)用題 例1　某學(xué)校為提高辦學(xué)質(zhì)量，決定為各班教室配置一臺(tái)液晶電視機(jī)，經(jīng)過(guò)學(xué)校研究，決定分別從兩種質(zhì)量相當(dāng)?shù)碾娨暀C(jī)品牌中選擇功能相同的電視機(jī)型號(hào)．據(jù)了解，甲型號(hào)電視機(jī)為家電下鄉(xiāng)政府補(bǔ)貼品牌，每臺(tái)享受13%政府補(bǔ)貼優(yōu)惠政策(即按原價(jià)的87%出售)，乙型號(hào)電視機(jī)的優(yōu)惠條件是：不超過(guò)20臺(tái)(含20臺(tái))時(shí)，每臺(tái)按原價(jià)出售，超過(guò)20臺(tái)時(shí)，超過(guò)的臺(tái)數(shù)，每臺(tái)按原價(jià)的77%出售．如果這兩種型號(hào)的電視機(jī)原價(jià)相同，你覺(jué)得應(yīng)該選擇哪種型號(hào)的電視機(jī)更合算？ 解　設(shè)學(xué)校要購(gòu)買x(x∈N＋)臺(tái)電視機(jī)，甲、乙兩種型號(hào)的電視機(jī)售價(jià)總額分別為y甲元、y乙元，一臺(tái)電視機(jī)的售價(jià)為a元，則y甲＝0.87ax， y乙＝ 當(dāng)x≤20時(shí)，顯然選甲型號(hào)電視機(jī)更合算． 當(dāng)x>20時(shí)，y甲－y乙 ＝0.87ax－[20a＋(x－20)0.77a] ＝0.87ax－20a－0.77ax＋15.4a ＝0.1ax－4.6a. 故當(dāng)x<46時(shí)，選甲型號(hào)電視機(jī)更合算； 當(dāng)x＝46時(shí)，兩種型號(hào)電視機(jī)售價(jià)總額相同； 當(dāng)x>46時(shí)，選乙型號(hào)電視機(jī)更合算． 反思與感悟　利用不等式表示不等關(guān)系時(shí)，要注意以下兩點(diǎn) (1)根據(jù)題意，利用引入的變量表示出其他所涉及的變量． (2)要準(zhǔn)確地使用不等號(hào)，同時(shí)注意實(shí)際情況對(duì)表示各量的字母取值范圍的限制． 跟蹤訓(xùn)練1　某校園內(nèi)有一邊長(zhǎng)為80m，寬為60m的長(zhǎng)方形地面，現(xiàn)要對(duì)該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，則花卉帶寬度(單位：m)的范圍是________________． 答案　(0,10] 解析　設(shè)花卉帶的寬度為xm，則中間草坪的長(zhǎng)為(80－2x)m，寬為(60－2x)m. 根據(jù)題意知(80－2x)(60－2x)≥8060， 即4x2－1402x＋8060≥0， 整理得x2－70x＋6010≥0， 即(x－60)(x－10)≥0， 所以0t2 B．t12＝， t2＝＝<＝，∴t1>t2. 2．某城市為控制用水計(jì)劃提高水價(jià)，現(xiàn)有四種方案，其中提價(jià)最多的方案是(已知00)，已知船在靜水中的速度為v2(v2>0)，試比較v1和v2的大?。? 解　設(shè)水流速度為v(v>0)，則船在流水中在甲、乙間來(lái)回行駛一次的時(shí)間t＝＋＝， ∴平均速度v1＝＝. ∵v1>0，v2>0， ∴＝＝＝1－2<1， ∴v10，b>0，a，b的等差中項(xiàng)是，且α＝a＋，β＝b＋，則α＋β的最小值為(　　) A．2B．3C．4D．5 答案　D 解析　因?yàn)閍＋b＝1，所以α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝1＋1＋＋1＋≥5， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)“＝”成立， 故選D. 5．若關(guān)于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－8]∪[0，＋∞) B．(－∞，－4] C．[－8,4) D．(－∞，－8] 答案　D 解析　由9x＋(4＋a)3x＋4＝0可得出a＝－－4≤－2－4＝－8，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝2時(shí)“＝”成立， ∴a∈(－∞，－8]． 6．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＋－的最大值為(　　) A．0B．1C.D．3 答案　B 解析　由題意＝＝≤＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號(hào)成立， 此時(shí)z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時(shí)等號(hào)成立，故所求的最大值為1. 二、填空題 7．周長(zhǎng)為＋1的直角三角形面積的最大值為________． 答案　 解析　設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b， 則＋1＝a＋b＋≥2＋. 解得ab≤. 所以直角三角形面積S＝ab≤. 8．天文臺(tái)用3.2萬(wàn)元買一臺(tái)觀測(cè)儀，已知這臺(tái)觀測(cè)儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(n∈N＋)，使用它直至報(bào)廢最合算(所謂報(bào)廢最合算是指使用的這臺(tái)儀器的日平均耗資最少)為止，一共使用了________天． 答案　800 解析　日平均耗資為＝＋＋ ≥2＋＝80＋， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即n＝800時(shí)取等號(hào)． 9．某產(chǎn)品的總成本c(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間滿足的關(guān)系式為c＝300＋20x－x2，其中00,10－x>0，∴S＝2πx(10－x)≤2π2＝2π25＝50π， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x，即x＝5時(shí)取等號(hào)． 11．制造一個(gè)容積為立方米的無(wú)蓋圓柱形桶，用來(lái)做底面的金屬板的價(jià)格為每平方米30元，做側(cè)面的金屬板的價(jià)格為每平方米20元，當(dāng)圓柱形桶的底面半徑為________米，高為________米時(shí)，所使用的材料成本最低． 答案　　 解析　設(shè)此圓柱形桶的底面半徑為r米，高為h米， 則底面面積為πr2，側(cè)面積為2πrh， 設(shè)原料成本為y元，則y＝30πr2＋40πrh. ∵桶的容積為，∴πr2h＝， ∴rh＝，∴y＝30πr2＋π＝10π≥10π3， 當(dāng)且僅當(dāng)3r2＝，即r＝時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)h＝. 三、解答題 12．某小區(qū)要建一座八邊形的休閑區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域，計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為每平方米4 200元，在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價(jià)為每平方米210元，再在四個(gè)角上鋪草坪，造價(jià)為每平方米80元． (1)設(shè)總造價(jià)為S元，AD長(zhǎng)為x米，試建立S關(guān)于x的關(guān)系式； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最小？并求出這個(gè)最小值． 解　(1)設(shè)DQ長(zhǎng)為y米， 則x2＋4xy＝200， ∴y＝， ∴S＝4200x2＋2104xy＋802y2 ＝38000＋4000x2＋. (2)∵x>0，∴S≥38000＋2 ＝118000， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，等號(hào)成立， ∴Smin＝118000. 13．某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬(wàn)元～1000萬(wàn)元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：資金y(單位：萬(wàn)元)隨投資收益x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且資金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)資金不超過(guò)投資收益的20%. (1)若建立函數(shù)f(x)模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)f(x)模型的基本要求； (2)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lgx－3.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？ 解　(1)公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是： 當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí)，①f(x)是增函數(shù)； ②f(x)≤恒成立； ③f(x)≤9恒成立． (2)①對(duì)于函數(shù)模型f(x)＝＋2， 當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)， 則f(x)max＝f(1000)＝＋2＝＋2<9， 所以f(x)≤9恒成立． 因?yàn)楹瘮?shù)＝＋在[10,1 000]上是減函數(shù)， 所以max＝＋>， 即f(x)≤不恒成立， 故該函數(shù)模型不符合公司要求． ②對(duì)于函數(shù)模型f(x)＝4lgx－3， 當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)， 則f(x)max＝f(1000)＝4lg1000－3＝9， 所以f(x)≤9恒成立． 設(shè)g(x)＝4lgx－3－， 則g′(x)＝－. 當(dāng)x≥10時(shí)，g′(x)＝－≤＝<0， 所以g(x)在[10,1 000]上是減函數(shù)， 從而g(x)≤g(10)＝－1<0， 所以4lgx－3－<0， 即4lgx－3<， 所以f(x)≤恒成立， 故該函數(shù)模型符合公司要求． 四、探究與拓展 14．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－)，則a的取值范圍是________． 答案　 解析　由題意知函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 又f(x)是偶函數(shù)， 所以由f(2|a－1|)＞f(－)＝f()知，2|a－1|＜， 即|a－1|＜，解得＜a＜. 15．等差數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正整數(shù)，a1＝3，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{}是公比為64的等比數(shù)列． (1)求an與bn； (2)證明：＋＋…＋<. (1)解　設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù)，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1. 依題意有 ① 由(6＋d)q＝64知，q為正有理數(shù)，又由q＝知，d為6的因數(shù)1,2,3,6之一， 解①得d＝2，q＝8. 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. (2)證明　Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)． 所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ＝(1－＋－＋－＋…＋－) ＝(1＋－－)<.