2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 5 不等式的應用學案 北師大版選修4-5.docx
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5 不等式的應用 學習目標 1.了解不等式應用的廣泛性.2.能用不等式解決一些生產(chǎn)及生活中的問題. 知識點一 平均值不等式 寫出平均值不等式 (1)≥(a,b∈R+),當且僅當a=b時,“=”號成立. (2)≥(a,b,c∈R+),當且僅當a=b=c時,“=”號成立. 知識點二 不等式的應用 1.不等式的應用大致分為兩類 (1)利用不等式研究函數(shù)的性質(zhì),求參數(shù)的取值范圍. (2)實際問題中建立不等式(或函數(shù))模型,解決簡單的實際問題. 2.解不等式應用問題的四個步驟 (1)審題,必要時畫出示意圖. (2)建立不等式模型,即根據(jù)題意找出常數(shù)量和變量之間的不等關(guān)系. (3)利用不等式的有關(guān)知識解題,即將數(shù)學模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號或圖形符號. (4)作出問題結(jié)論. 類型一 列不等式解實際應用題 例1 某學校為提高辦學質(zhì)量,決定為各班教室配置一臺液晶電視機,經(jīng)過學校研究,決定分別從兩種質(zhì)量相當?shù)碾娨暀C品牌中選擇功能相同的電視機型號.據(jù)了解,甲型號電視機為家電下鄉(xiāng)政府補貼品牌,每臺享受13%政府補貼優(yōu)惠政策(即按原價的87%出售),乙型號電視機的優(yōu)惠條件是:不超過20臺(含20臺)時,每臺按原價出售,超過20臺時,超過的臺數(shù),每臺按原價的77%出售.如果這兩種型號的電視機原價相同,你覺得應該選擇哪種型號的電視機更合算? 解 設學校要購買x(x∈N+)臺電視機,甲、乙兩種型號的電視機售價總額分別為y甲元、y乙元,一臺電視機的售價為a元,則y甲=0.87ax, y乙= 當x≤20時,顯然選甲型號電視機更合算. 當x>20時,y甲-y乙 =0.87ax-[20a+(x-20)0.77a] =0.87ax-20a-0.77ax+15.4a =0.1ax-4.6a. 故當x<46時,選甲型號電視機更合算; 當x=46時,兩種型號電視機售價總額相同; 當x>46時,選乙型號電視機更合算. 反思與感悟 利用不等式表示不等關(guān)系時,要注意以下兩點 (1)根據(jù)題意,利用引入的變量表示出其他所涉及的變量. (2)要準確地使用不等號,同時注意實際情況對表示各量的字母取值范圍的限制. 跟蹤訓練1 某校園內(nèi)有一邊長為80m,寬為60m的長方形地面,現(xiàn)要對該地面進行綠化,規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同),中間種草坪,若要求草坪的面積不小于總面積的一半,則花卉帶寬度(單位:m)的范圍是________________. 答案 (0,10] 解析 設花卉帶的寬度為xm,則中間草坪的長為(80-2x)m,寬為(60-2x)m. 根據(jù)題意知(80-2x)(60-2x)≥8060, 即4x2-1402x+8060≥0, 整理得x2-70x+6010≥0, 即(x-60)(x-10)≥0, 所以00),已知船在靜水中的速度為v2(v2>0),試比較v1和v2的大?。? 解 設水流速度為v(v>0),則船在流水中在甲、乙間來回行駛一次的時間t=+=, ∴平均速度v1==. ∵v1>0,v2>0, ∴===1-2<1, ∴v10,b>0,a,b的等差中項是,且α=a+,β=b+,則α+β的最小值為( ) A.2B.3C.4D.5 答案 D 解析 因為a+b=1,所以α+β=a++b+=1++=1+1++1+≥5, 當且僅當a=b=時“=”成立, 故選D. 5.若關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-∞,-8]∪[0,+∞) B.(-∞,-4] C.[-8,4) D.(-∞,-8] 答案 D 解析 由9x+(4+a)3x+4=0可得出a=--4≤-2-4=-8,當且僅當3x=2時“=”成立, ∴a∈(-∞,-8]. 6.設正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當取得最大值時,+-的最大值為( ) A.0B.1C.D.3 答案 B 解析 由題意==≤=1, 當且僅當x=2y時等號成立, 此時z=2y2,+-=-+=-2+1≤1, 當且僅當y=1時等號成立,故所求的最大值為1. 二、填空題 7.周長為+1的直角三角形面積的最大值為________. 答案 解析 設直角三角形的兩直角邊長分別為a,b, 則+1=a+b+≥2+. 解得ab≤. 所以直角三角形面積S=ab≤. 8.天文臺用3.2萬元買一臺觀測儀,已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用,第n天的維修保養(yǎng)費為元(n∈N+),使用它直至報廢最合算(所謂報廢最合算是指使用的這臺儀器的日平均耗資最少)為止,一共使用了________天. 答案 800 解析 日平均耗資為=++ ≥2+=80+, 當且僅當=,即n=800時取等號. 9.某產(chǎn)品的總成本c(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間滿足的關(guān)系式為c=300+20x-x2,其中0 0,10-x>0,∴S=2πx(10-x)≤2π2=2π25=50π, 當且僅當x=10-x,即x=5時取等號. 11.制造一個容積為立方米的無蓋圓柱形桶,用來做底面的金屬板的價格為每平方米30元,做側(cè)面的金屬板的價格為每平方米20元,當圓柱形桶的底面半徑為________米,高為________米時,所使用的材料成本最低. 答案 解析 設此圓柱形桶的底面半徑為r米,高為h米, 則底面面積為πr2,側(cè)面積為2πrh, 設原料成本為y元,則y=30πr2+40πrh. ∵桶的容積為,∴πr2h=, ∴rh=,∴y=30πr2+π=10π≥10π3, 當且僅當3r2=,即r=時等號成立,此時h=. 三、解答題 12.某小區(qū)要建一座八邊形的休閑區(qū),它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域,計劃在正方形MNPQ上建一座花壇,造價為每平方米4 200元,在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價為每平方米210元,再在四個角上鋪草坪,造價為每平方米80元. (1)設總造價為S元,AD長為x米,試建立S關(guān)于x的關(guān)系式; (2)當x為何值時,S最?。坎⑶蟪鲞@個最小值. 解 (1)設DQ長為y米, 則x2+4xy=200, ∴y=, ∴S=4200x2+2104xy+802y2 =38000+4000x2+. (2)∵x>0,∴S≥38000+2 =118000, 當且僅當x=時,等號成立, ∴Smin=118000. 13.某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品,估計能獲得10萬元~1000萬元的投資收益.現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:資金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且資金不超過9萬元,同時資金不超過投資收益的20%. (1)若建立函數(shù)f(x)模型制定獎勵方案,試用數(shù)學語言表述公司對獎勵函數(shù)f(x)模型的基本要求; (2)現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型:①f(x)=+2;②f(x)=4lgx-3.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求? 解 (1)公司對函數(shù)模型的基本要求是: 當x∈[10,1 000]時,①f(x)是增函數(shù); ②f(x)≤恒成立; ③f(x)≤9恒成立. (2)①對于函數(shù)模型f(x)=+2, 當x∈[10,1 000]時,f(x)是增函數(shù), 則f(x)max=f(1000)=+2=+2<9, 所以f(x)≤9恒成立. 因為函數(shù)=+在[10,1 000]上是減函數(shù), 所以max=+>, 即f(x)≤不恒成立, 故該函數(shù)模型不符合公司要求. ②對于函數(shù)模型f(x)=4lgx-3, 當x∈[10,1 000]時,f(x)是增函數(shù), 則f(x)max=f(1000)=4lg1000-3=9, 所以f(x)≤9恒成立. 設g(x)=4lgx-3-, 則g′(x)=-. 當x≥10時,g′(x)=-≤=<0, 所以g(x)在[10,1 000]上是減函數(shù), 從而g(x)≤g(10)=-1<0, 所以4lgx-3-<0, 即4lgx-3<, 所以f(x)≤恒成立, 故該函數(shù)模型符合公司要求. 四、探究與拓展 14.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-),則a的取值范圍是________. 答案 解析 由題意知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減, 又f(x)是偶函數(shù), 所以由f(2|a-1|)>f(-)=f()知,2|a-1|<, 即|a-1|<,解得<a<. 15.等差數(shù)列{an}各項均為正整數(shù),a1=3,前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}中,b1=1,且b2S2=64,{}是公比為64的等比數(shù)列. (1)求an與bn; (2)證明:++…+<. (1)解 設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,則d為正整數(shù),an=3+(n-1)d,bn=qn-1. 依題意有 ① 由(6+d)q=64知,q為正有理數(shù),又由q=知,d為6的因數(shù)1,2,3,6之一, 解①得d=2,q=8. 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1. (2)證明 Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2). 所以++…+=+++…+ =(1-+-+-+…+-) =(1+--)<.
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