專題14圓的切線有關(guān)證明問題原卷版蘇科版

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1、 2020年中考數(shù)學(xué)必考經(jīng)典題講練案【蘇科版】 專題14 圓的切線有關(guān)證明問題 【方法指導(dǎo)】 1. 判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d． ①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d=r ③直線l和⊙O相離?d＞r． 2. 切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)． ③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． 如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直． 3.切線的判定： （1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且

2、垂直于這條半徑的直線是圓的切線． （2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意： ①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線． ②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來的． ③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”． 4.切線長定理： （1）圓的切線長定義：經(jīng)過

3、圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長． （2）切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．切線和切線長是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量． （3）切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到． 5.三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心 （1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念： 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三

4、角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)． （2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形． （3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角． 【題型剖析】 【類型1】直線和圓的位置關(guān)系 【例1】（2019秋?邗江區(qū)校級(jí)期中）直線l與半徑為r的⊙O相交，且點(diǎn)O到直線l的距離為3，則r的取值范圍是（　?。? A．r＜3 B．r＝3 C．r＞3 D．r≥3 【變式1-1】（2018?常州模擬）半徑為10的⊙O和直線l上一點(diǎn)A，且OA＝10，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（　　） A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交

5、 【變式1-2】（2019?宜興市一模）如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC上的一點(diǎn)，且DE＝3．若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為（　　） A． B．2 C． D． 【類型2】切線的性質(zhì)問題 【例2】（2019?宿豫區(qū)模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝2∠ABC，過點(diǎn)B的切線交AC的延長線于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為1，則CD長為（　?。? A．3 B．4 C．2 D． 【變式2-1】（2019?灌南縣二模）如圖，菱形ABCD的邊AB＝5，面積為20，∠BAD＜90°，⊙O與邊A

6、B、AD都相切，AO＝2，則⊙O的半徑長等于（　?。? A． B． C． D． 【變式2-2】（2019?昆山市二模）如圖，⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，連接BC，AD，過點(diǎn)C的切線與AB的延長線交于點(diǎn)F，若∠D＝65°，則∠F的度數(shù)等于（　?。? A．30° B．35° C．40° D．45° 【類型3】切線長定理 【例3】（2019?宜興市二模）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，PA＝10，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，則△PCD的周長是（　?。? A．10 B．18 C．20 D．22 【變式3-1】（2019?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直

7、徑，點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn)，CA、CD是⊙O的切線，A、D為切點(diǎn)，連接BD、AD．若∠ACD＝48°，則∠DBA的大小是（　　） A．32° B．48° C．60° D．66° 【變式3-2】（2019秋?阜寧縣期中）如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，AC＝10，AB＝8，BC＝9，點(diǎn)D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙O的切線，則△CDE的周長為（　?。? A．9 B．7 C．11 D．8 【類型4】三角形的內(nèi)切圓問題 【例4】（2019秋?興化市期末）如圖，△ABC周長為20cm，BC＝6cm，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點(diǎn)M、N，則△AMN的周長為　

8、　cm． 【變式4-1】（2019秋?秦淮區(qū)期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為　?。? 【變式4-2】（2019?高淳區(qū)二模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與三角形三邊相切于點(diǎn)D、E、F，若∠DFE＝55°，則∠A＝　 　°． 【類型5】圓的有關(guān)切線的計(jì)算與證明問題 【例5】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)．過點(diǎn)D作直線AC的垂線，垂足為E，連接OD． （1）求證：∠A＝∠DOB； （2）DE與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由． 【變式5-1】（2019?淮安）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，

9、弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E． （1）試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若⊙O的半徑為2，∠BAC＝60°，求線段EF的長． 【變式5-2】（2019?泰州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，D為的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長線于點(diǎn)E． （1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若⊙O的半徑為5，AB＝8，求CE的長． 【達(dá)標(biāo)檢測】 1．（2019?蘇州）如圖，AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，連接AO、BO，BO與⊙O交于點(diǎn)C，延長BO與⊙O交于點(diǎn)D，連接AD．若∠ABO＝36°，則∠ADC的度數(shù)為（　?。?

10、 A．54° B．36° C．32° D．27° 2．（2019?無錫）如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P＝40°，則∠B的度數(shù)為（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 3．（2019?灌南縣二模）如圖，菱形ABCD的邊AB＝5，面積為20，∠BAD＜90°，⊙O與邊AB、AD都相切，AO＝2，則⊙O的半徑長等于（　?。? A． B． C． D． 4．（2019?鎮(zhèn)江一模）已知△ABC的三邊長分別是4，5，6，則△ABC的內(nèi)切圓半徑是（　?。? A． B． C． D． 5．（2019?南京）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、

11、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C、D在⊙O上．若∠P＝102°，則∠A+∠C＝　 ?。? 6．（2019?宿遷）直角三角形的兩條直角邊分別是5和12，則它的內(nèi)切圓半徑為　?。? 7．（2018?連云港）如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在過點(diǎn)B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點(diǎn)P，已知∠OAB＝22°，則∠OCB＝　 　． 8．（2019?高淳區(qū)二模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與三角形三邊相切于點(diǎn)D、E、F，若∠DFE＝55°，則∠A＝　 　°． 9．（2019?鹽城）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)N作NE

12、⊥AB，垂足為E． （1）若⊙O的半徑為，AC＝6，求BN的長； （2）求證：NE與⊙O相切． 10．（2019?揚(yáng)州）如圖，AB是⊙O的弦，過點(diǎn)O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC． （1）求證：BC是⊙O的切線； （2）已知∠BAO＝25°，點(diǎn)Q是上的一點(diǎn)． ①求∠AQB的度數(shù)； ②若OA＝18，求的長． 11．（2018?徐州）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O外，∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，∠C＝90°． （1）CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由； （2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的長． 12．（2019?南通）如圖，在Rt△ABC

13、中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以邊AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)B． （1）求⊙O的半徑； （2）點(diǎn)P為劣弧AB中點(diǎn)，作PQ⊥AC，垂足為Q，求OQ的長； （3）在（2）的條件下，連接PC，求tan∠PCA的值． 13．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)．過點(diǎn)D作直線AC的垂線，垂足為E，連接OD． （1）求證：∠A＝∠DOB； （2）DE與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由． 14．（2019?鎮(zhèn)江）如圖，在△ABC中，AB＝AC，過AC延長線上的點(diǎn)O作OD⊥AO，交BC的延長線于點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，OD長為半徑的圓過點(diǎn)B． （1）求證：直線AB與⊙O相切； （2）若AB＝5，⊙O的半徑為12，則tan∠BDO＝　?。? 15．（2019?淮安）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E． （1）試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若⊙O的半徑為2，∠BAC＝60°，求線段EF的長． 16．（2019?蘇州）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D是弧BC的中點(diǎn)，BC與AD、OD分別交于點(diǎn)E、F． （1）求證：DO∥AC； （2）求證：DE?DA＝DC2； （3）若tan∠CAD，求sin∠CDA的值．