江蘇沭陽修遠中學高中數學 第一章 導數及其應用全章課件共10課時蘇教版選修2－202 瞬時變化率——導數

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1、1.1.2 1.1.2 瞬時變化率瞬時變化率20222022年年4 4月月1111日星期一日星期一修遠中學修遠中學 梁成陽梁成陽導數導數平均變化率平均變化率 )(xf一般的，函數在區(qū)間上一般的，函數在區(qū)間上 的的平均變化率平均變化率為為 ,21xx2121)()(xxxfxf復習PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T如何求曲線上一點的切線如何求曲線上一點的切線?(1)(1)概念概念: :曲線的曲線的割線割線和和切線切線結論結論: :當當Q Q點無限逼近點無限逼近P P點時點時, ,此時此時直線直線PQPQ就是就是P P點處的切線點處的切線. .PQoxyy=f(x)(2)(2)如何求如何求割

2、線的斜率割線的斜率? ?xxfxxfxxxxfxxfkPQ)()()()()(PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T(3)如何求切線的斜率如何求切線的斜率?)斜率無限趨限趨近點P處切,時0無限趨限當(PQkx)()(xxfxxfkPQ例例1:1:已知已知 , ,求曲線求曲線y=f(xy=f(x) )在在x=2x=2處的切線的斜率處的切線的斜率. .2)(xxf4)4 , 2(4,042)2(4)2(),)2( ,2(),4 , 2()4 , 2(:22處的切線斜率為所以點無限趨近于常數時無限趨近于當則點的任意一條割線入手先求過解PkxxxxkxxQPPQPQ利利 用用 割割 線線 求求 切切

3、 線線例例2:2:求曲線求曲線y=f(xy=f(x)=x)=x2 2+1+1在點在點P(1,2)P(1,2)處的切線方程處的切線方程. .因此因此, ,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),y-2=2(x-1),即即y=2x.y=2x.2)4 , 2(2,021)1 (21)1 (),1)1 ( ,1 (),2 , 1 (:22處的切線斜率為所以點無限趨近于常數時無限趨近于當則解PkxxxxkxxQPPQPQ1 1、先利用直線斜率的定義求出先利用直線斜率的定義求出割線線的斜率；割線線的斜率；2.2.求出當求出當x x趨近于趨近于0 0時切線的斜時切線的斜率率3 3、然后利用點斜式求切線方程

4、然后利用點斜式求切線方程. .求曲線在某點處的求曲線在某點處的切線方程切線方程的基本步驟的基本步驟: :課堂練習課堂練習拓展研究拓展研究求此點坐標.求此點坐標.某點的切線斜率為2,某點的切線斜率為2,2x在2x在x x已知曲線y已知曲線y2 2二、物理意義二、物理意義瞬時速度瞬時速度svt在物理學中，我們學過平均速度在物理學中，我們學過平均速度新課講解新課講解 平均速度反映了在某一段時間內平均速度反映了在某一段時間內運動的快慢程度運動的快慢程度, ,那么那么, ,如何刻畫在如何刻畫在某一時刻某一時刻運動的快慢程度呢運動的快慢程度呢? ?實例實例:212sgt老師去蹦極老師去蹦極, ,假設老師下

5、降的運動假設老師下降的運動符合方程符合方程 , ,請同學們計算請同學們計算老師從老師從3 3秒到秒到5 5秒間的平均速度秒間的平均速度, ,如何如何計算出在第計算出在第3 3秒時的速度秒時的速度, ,即即t=3t=3時的時的瞬時速度呢瞬時速度呢? ?212sgt瞬時時速秒時3此即,3無限趨,時0無限趨當)6(213)3(321)3(21,時間內的平均速度3到3先計:解22的近于常數近于算tgvttgtgtgtsvttt(s(s表示位移表示位移,t,t表示時間表示時間) ) 設物體作直線運動所經過的路程設物體作直線運動所經過的路程為為s s= =s s( (t t). ). 以以t t0 0為起

6、始時刻，物體在為起始時刻，物體在 t t時間內的平均速度為時間內的平均速度為 vttfttfts)()(00 這個常數就是物體在這個常數就是物體在t t0 0時刻時刻的的瞬時速度瞬時速度. . 當當 t t0 0時，時，ttfttfts)()(00。結論結論: :常數v二、物理意義二、物理意義瞬時加速度瞬時加速度 設一輛轎車在公路上做加速直設一輛轎車在公路上做加速直線運動線運動, ,假設假設t t秒時的速度為秒時的速度為 求求t=5t=5秒時轎車的秒時轎車的加加速度速度. .3)(2 ttv( 10 )( 10 )小結小結: :(1)(1)求曲線上一點切線的斜率時求曲線上一點切線的斜率時, ,

7、先利用先利用平均變化率平均變化率求出割線的斜率求出割線的斜率, ,再令再令求出求出切線的斜率切線的斜率0 x(2)(2)在求瞬時速度時在求瞬時速度時, ,先利用先利用平均變化率平均變化率求求出平均速度出平均速度, ,再令再令 , ,求出求出瞬時速度瞬時速度0 x(3)(3)在求瞬時加速度時在求瞬時加速度時, ,先利用先利用平均變化平均變化率率求出平均速度求出平均速度, ,再令再令 , ,求出求出瞬時瞬時加速度加速度. .0 x0 x平均變化率平均變化率 瞬時變化率瞬時變化率重要結論重要結論: :處的在點叫做函數并把0)(xxfyA一一. .導數的概念導數的概念0,)()()(0000 xxxf

8、xxfxyxfyxx當有定義，有定義，在區(qū)間（在區(qū)間（函數函數),)(baxfy ),0bax（ ，處有增量處有增量在在如果自變量如果自變量xxx 0);()(00 xfxxfy 增量增量之間的之間的到到在在xxxxfy 00)(.)()(00 xxfxxfxy 時，時，如果當如果當0 xAxy處處在點在點我們就說函數我們就說函數0)(xxfy 相應地有相應地有那么函數那么函數 y就叫做函數就叫做函數比值比值xy 平均變化率平均變化率即即,可導，可導，導數導數0,xxy 記為記為由定義求導數（三步法由定義求導數（三步法）步驟步驟:);()()1(00 xfxxfy 求增量求增量;)()()2(

9、00 xxfxxfxy 算比值算比值時在求0.) 3(0 xxyyxx例例1.1.求求y=xy=x2 2+2+2在點在點x=1x=1處的導數處的導數解：解：222)(2)21(2)1(xxxy xxxxxy 2)(222|0,21xyxxxy時當變題變題. .求求y=xy=x2 2+2+2在點在點x=ax=a處的導數處的導數2.( )(1) ,(2)(2)f xxff例3 若求和二、函數在一區(qū)間上的導數：二、函數在一區(qū)間上的導數： 如果函數如果函數 f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間 (a,b) 內每一點都可導，就說內每一點都可導，就說f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間 (a,b)內可導這時，對于開區(qū)間內可導這時

10、，對于開區(qū)間 (a,b)內每內每一個確定的值一個確定的值 x0，都對應著一個確定的導數，都對應著一個確定的導數 f (x0)，這，這樣就在開區(qū)間樣就在開區(qū)間(a,b)內構成了一個新的函數，我們把這一內構成了一個新的函數，我們把這一新函數叫做新函數叫做 f(x) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內的內的導函數導函數，簡稱為，簡稱為導數導數，記作記作)()(xyyxf需指明自變量時記作或即即時的值當0,)()()(xxxfxxfxyyxff (x0)與與f (x)之間的關系：之間的關系： f (x 0)f (x)0 xx 當當x0(a,b)時時,函數函數y=f(x)在點在點x0處的導數處的導數f (x0)等于等于函數函數f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內的導數內的導數f (x)在點在點x0處的函數值處的函數值 如果函數如果函數y=f(x)在點在點x0處可導處可導,那么函數那么函數y=f(x)在點在點X0處連續(xù)處連續(xù).例例4:已知已知.2,處的切線方程在并求出函數求xyxy解解:xxxxxyxxxy,時的值。當0,211xxxxxxxxxxyy