高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 3.4.1 曲線與方程課件 北師大版選修2-1.ppt

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4曲線與方程4 1曲線與方程 學課前預習學案 某森林公園修建連接東 西兩座高山的索道 兩端掛起的纜線自然下垂近似成拋物線形 纜線兩端各離地面100m 兩端間的水平距離為400m 現(xiàn)某人乘坐的空中客運纜車行走100m處的高度為70m 那么 纜線的中點 即拋物線頂點 最低處距地面的高度是多少呢 方程的曲線與曲線的方程在平面直角坐標系中 如果某曲線C 看作滿足某種條件的點的集合或軌跡 上的點與一個 的實數(shù)解建立了如下的關系 1 都是這個方程的解 2 的點都在曲線上 那么這條曲線叫作方程的曲線 這個方程叫作曲線的方程 二元方程 曲線上點的坐標 以這個方程的解為坐標 強化拓展 1 定義中兩個條件是軌跡的性質的體現(xiàn) 條件 曲線上點的坐標都是這個方程的解 它的含義是曲線上沒有坐標不適合方程的點 也就是說曲線上所有的點都適合這個條件而毫無例外 這通常稱之為軌跡的純粹性 而條件 以這個方程的解為坐標的點都在曲線上 它的含義是符合條件的點都在曲線上而毫無遺漏 這通常稱之為軌跡的完備性 二者缺一不可 2 如果曲線C的方程是f x y 0 那么點P x0 y0 在曲線C上的充要條件是f x0 y0 0 3 求曲線的方程的一般步驟 建系 建立適當?shù)淖鴺讼?用有序實數(shù)對 x y 表示曲線上任意一點M的坐標 分析 寫出適合條件P的點M的集合P M P M 翻譯 用坐標表示條件P M 列出方程f x y 0 化簡 化方程f x y 0為最簡形式 證明 說明以化簡后的解為坐標的點都在曲線上 解析 考察每一組曲線方程中x和y的取值范圍 不難發(fā)現(xiàn)A B C中各對曲線的x與y的取值范圍不一致 故選D 答案 D 2 方程x2 xy x 0表示的曲線是 A 一個點B 一條直線C 兩條直線D 一個點和一條直線解析 方程化為x x y 1 0 x 0或x y 1 0 故方程表示兩條直線 答案 C 3 到兩個坐標軸距離相等的點所滿足的方程是 解析 設點的坐標為 x y 則 y x 答案 y x 講課堂互動講義 B ABC三個頂點的坐標A 0 3 B 2 0 C 2 0 BC邊上的中線方程為x 0C 到x軸距離等于5的點的軌跡方程是y 5D 曲線2x2 3y2 2x m 0過原點的充要條件是m 0 思路導引 可從兩個方面來判斷 一方面以方程的解為坐標的點是否都在曲線上 另一方面曲線上點的坐標是否都是方程的解 邊聽邊記 在A的方程中要求y 2 因此漏掉 0 2 在B中BC邊上的中線是線段x 0 0 y 3 而不是直線x 0 在C中滿足條件軌跡為y 5或y 5 對于D 當曲線過原點時 一定有m 0 若m 0 則方程一定過原點 故選D 答案 D 名師妙點 解決這類問題 應該緊扣定義 如果曲線上點的坐標都是方程的解 即 點不比解多 稱為純粹性 如果以這個方程的解為坐標的點都在曲線上 即 解不比點多 稱為完備性 只有點和解一一對應 才能說曲線的方程 方程的曲線 答案 1 D 思路導引 本題可用直接法 也可用定義法 坐標轉移法 參數(shù)法求解 名師妙點 求曲線軌跡方程的常用方法 1 直接法 如果題目中的條件有明顯的等量關系或者可以推出某個等量關系 即可用求曲線方程的五個步驟直接求解 2 定義法 如果動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義 則可依定義寫出軌跡方程 3 代入法 如果動點P x y 依賴于另一動點Q x1 y1 而Q x1 y1 又在某已知曲線上 則可先列出關于x y x1 y1的方程組 利用x y表示x1 y1 把x1 y1代入已知曲線方程即得所求 4 參數(shù)法 如果動點P x y 的坐標之間的關系不易找到 可考慮將x y用一個或幾個參數(shù)來表示 消去參數(shù)即得其軌跡方程 5 交軌法 寫出動點所滿足的兩個軌跡方程后 組成方程組消參即可得解 此法常適用于求兩動直線交點的軌跡方程 2 過點P 2 4 作兩條互相垂直的直線l1 l2 若l1交x軸于A點 l2交y軸于B點 求線段AB的中點M的軌跡方程 解析 方法一 設點M的坐標為 x y 因為M為線段AB的中點 所以A的坐標為 2x 0 B的坐標為 0 2y 當x 1時 因為l1 l2 且l1 l2過點P 2 4 所以kPA kPB 1 過原點作直線l與曲線y x2 4x 6交于A B兩點 求線段AB中點M的軌跡方程 錯因 這位同學在解題過程中犯的錯誤是忽視了變量的取值范圍 求軌跡方程時 一定要清除 多余 彌補 遺漏 以保證相應軌跡的純粹性與完備性