高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 3.4.1 曲線與方程課件 北師大版選修2-1.ppt

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4曲線與方程4 1曲線與方程 學(xué)課前預(yù)習(xí)學(xué)案 某森林公園修建連接?xùn)| 西兩座高山的索道 兩端掛起的纜線自然下垂近似成拋物線形 纜線兩端各離地面100m 兩端間的水平距離為400m 現(xiàn)某人乘坐的空中客運(yùn)纜車行走100m處的高度為70m 那么 纜線的中點(diǎn) 即拋物線頂點(diǎn) 最低處距地面的高度是多少呢 方程的曲線與曲線的方程在平面直角坐標(biāo)系中 如果某曲線C 看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 上的點(diǎn)與一個(gè) 的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系 1 都是這個(gè)方程的解 2 的點(diǎn)都在曲線上 那么這條曲線叫作方程的曲線 這個(gè)方程叫作曲線的方程 二元方程 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo) 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo) 強(qiáng)化拓展 1 定義中兩個(gè)條件是軌跡的性質(zhì)的體現(xiàn) 條件 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解 它的含義是曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不適合方程的點(diǎn) 也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)都適合這個(gè)條件而毫無(wú)例外 這通常稱之為軌跡的純粹性 而條件 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上 它的含義是符合條件的點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏 這通常稱之為軌跡的完備性 二者缺一不可 2 如果曲線C的方程是f x y 0 那么點(diǎn)P x0 y0 在曲線C上的充要條件是f x0 y0 0 3 求曲線的方程的一般步驟 建系 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 用有序?qū)崝?shù)對(duì) x y 表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo) 分析 寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P M P M 翻譯 用坐標(biāo)表示條件P M 列出方程f x y 0 化簡(jiǎn) 化方程f x y 0為最簡(jiǎn)形式 證明 說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上 解析 考察每一組曲線方程中x和y的取值范圍 不難發(fā)現(xiàn)A B C中各對(duì)曲線的x與y的取值范圍不一致 故選D 答案 D 2 方程x2 xy x 0表示的曲線是 A 一個(gè)點(diǎn)B 一條直線C 兩條直線D 一個(gè)點(diǎn)和一條直線解析 方程化為x x y 1 0 x 0或x y 1 0 故方程表示兩條直線 答案 C 3 到兩個(gè)坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)所滿足的方程是 解析 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 x y 則 y x 答案 y x 講課堂互動(dòng)講義 B ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)A 0 3 B 2 0 C 2 0 BC邊上的中線方程為x 0C 到x軸距離等于5的點(diǎn)的軌跡方程是y 5D 曲線2x2 3y2 2x m 0過(guò)原點(diǎn)的充要條件是m 0 思路導(dǎo)引 可從兩個(gè)方面來(lái)判斷 一方面以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上 另一方面曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)是否都是方程的解 邊聽(tīng)邊記 在A的方程中要求y 2 因此漏掉 0 2 在B中BC邊上的中線是線段x 0 0 y 3 而不是直線x 0 在C中滿足條件軌跡為y 5或y 5 對(duì)于D 當(dāng)曲線過(guò)原點(diǎn)時(shí) 一定有m 0 若m 0 則方程一定過(guò)原點(diǎn) 故選D 答案 D 名師妙點(diǎn) 解決這類問(wèn)題 應(yīng)該緊扣定義 如果曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解 即 點(diǎn)不比解多 稱為純粹性 如果以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上 即 解不比點(diǎn)多 稱為完備性 只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng) 才能說(shuō)曲線的方程 方程的曲線 答案 1 D 思路導(dǎo)引 本題可用直接法 也可用定義法 坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法 參數(shù)法求解 名師妙點(diǎn) 求曲線軌跡方程的常用方法 1 直接法 如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系或者可以推出某個(gè)等量關(guān)系 即可用求曲線方程的五個(gè)步驟直接求解 2 定義法 如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義 則可依定義寫(xiě)出軌跡方程 3 代入法 如果動(dòng)點(diǎn)P x y 依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q x1 y1 而Q x1 y1 又在某已知曲線上 則可先列出關(guān)于x y x1 y1的方程組 利用x y表示x1 y1 把x1 y1代入已知曲線方程即得所求 4 參數(shù)法 如果動(dòng)點(diǎn)P x y 的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到 可考慮將x y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來(lái)表示 消去參數(shù)即得其軌跡方程 5 交軌法 寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)所滿足的兩個(gè)軌跡方程后 組成方程組消參即可得解 此法常適用于求兩動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡方程 2 過(guò)點(diǎn)P 2 4 作兩條互相垂直的直線l1 l2 若l1交x軸于A點(diǎn) l2交y軸于B點(diǎn) 求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程 解析 方法一 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 x y 因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn) 所以A的坐標(biāo)為 2x 0 B的坐標(biāo)為 0 2y 當(dāng)x 1時(shí) 因?yàn)閘1 l2 且l1 l2過(guò)點(diǎn)P 2 4 所以kPA kPB 1 過(guò)原點(diǎn)作直線l與曲線y x2 4x 6交于A B兩點(diǎn) 求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程 錯(cuò)因 這位同學(xué)在解題過(guò)程中犯的錯(cuò)誤是忽視了變量的取值范圍 求軌跡方程時(shí) 一定要清除 多余 彌補(bǔ) 遺漏 以保證相應(yīng)軌跡的純粹性與完備性