高中數學 第二章 函數 2.2 一次函數和二次函數 2.2.2 二次函數的性質與圖象課件 新人教B版必修1

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1、2 2.2 2.2 2二次函數的性質與圖二次函數的性質與圖象象課前篇自主預習課前篇自主預習一二課前篇自主預習一二二、二次函數的性質與圖象【問題思考】 1.二次函數y=ax2+c在y軸左側是減函數,在右側是增函數,對嗎?提示:不對.當a0時,函數在y軸左側是減函數,在右側是增函數;當a0)的最值問題,首先應采用配方法,化為y=a(x-h)2+k(a0)的形式.其解法是:抓住“三點一軸”數形結合,該討論時要討論.這里的“三點”指的是區(qū)間的兩個端點和區(qū)間中點,“一軸”指的是對稱軸.對于二次函數f(x)=a(x-h)2+k(a0)在區(qū)間p,q上的最值問題可作如下討論:(1)對稱軸x=h在區(qū)間p,q的左

2、側,即當hq時,f(x)max=f(p),f(x)min=f(q).課前篇自主預習一二4.填寫下表: 課前篇自主預習一二課前篇自主預習一二課前篇自主預習一二課前篇自主預習一二課前篇自主預習一二5.做一做:(1)二次函數y=2x2-x+1圖象的對稱軸和頂點坐標分別是()答案:B (2)函數f(x)=ax2+4(a+1)x-3在2,+)內單調遞減,則a的取值范圍是.課前篇自主預習思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“”,錯誤的打“”.(1)二次函數y=3x2與y軸不相交. ()(2)二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口一定向上.()(3)將函數y=f(x+a)(a0)的圖象向左平

3、移a個單位長度即得到y(tǒng)=f(x)的圖象. ()(4)所有的二次函數在定義域R上一定有最大值和最小值. ()(5)如果二次函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱,則f(x)一定滿足關系式f(a+x)=f(a-x). ()(6)如果二次函數f(x)滿足關系式f(x)=f(2a-x),則說明該二次函數f(x)圖象的對稱軸為x=2a. ()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法二次函數的定義二次函數的定義 分析:根據二次函數的定義,只要保證二次項系數2-m0且x的指數m2+m-4=2即可.課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟二次函數y=

4、ax2+bx+c(a0),當b=c=0時,函數變?yōu)閥=ax2(a0),它的圖象是一條以原點為頂點,y軸為對稱軸的拋物線;另外二次函數有以下幾種形式:(1)頂點式:f(x)=a(x-h)2+k(a0),其中(h,k)為其圖象的頂點坐標.(2)交點式(也稱兩根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),其中x1,x2是其圖象與x軸交點的橫坐標.(3)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0).課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法二次函數的圖象和性質二次函數的圖象和性質【例2】 已知函數f(x)=-x2+2x+3.(1)用配方法求出函數圖象的對稱軸、頂點坐標,并作出圖象,指出其單調

5、區(qū)間;(2)由圖象寫出當y0時x的取值范圍.分析:本題考查配方法和二次函數的圖象與性質.解題的關鍵是配方,完成配方后再結合圖象研究其性質.課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法解:(1)f(x)=-x2+2x+3=-(x2-2x)+3=-(x-1)2+4,則該函數圖象的對稱軸為x=1,頂點坐標為(1,4),其圖象如圖所示.其單調增區(qū)間為(-,1,單調減區(qū)間為1,+).(2)由圖象知當y=0時,x=-1或x=3;當y0時,-1x0(a0)的解;同樣二次函數圖象在x軸下方部分對應的x取值范圍,即為不等式ax2+bx+c0(a0)的解.課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓練變

6、式訓練1設函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,a0),若a=c,則如圖所示的圖象不可能為y=f(x)的圖象的是() 解析:由a=c可知函數圖象與x軸的兩交點(包含交點重合的情況)的橫坐標乘積為1.由四個選項看,圖象與x軸均有交點,記兩交點的橫坐標分別為x1,x2,若只有一個交點,則x1=x2,因為a=c,所以x1x2= =1,比較四個選項,發(fā)現選項D中x1-1,x21,所以D不滿足.故選D.答案:D課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法二次函數單調性與對稱性的應用二次函數單調性與對稱性的應用【例3】 (1)若函數f(x)=x2+2mx+1在區(qū)間-1,2上是單調的,則實數m的取

7、值范圍是;(2)如果函數f(x)=x2+bx+1對任意實數x都有f(2+x)=f(2-x),求f(1),f(2)的值.(1)解析:函數f(x)=x2+2mx+1=(x+m)2+1-m2,其圖象的對稱軸為x=-m,若函數在-1,2上單調,說明對稱軸不在區(qū)間-1,2內部,故有-m-1或-m2,得m1或m-2.答案:m1或m-2(2)解:由題意知,函數圖象關于x=2對稱,故- =2,得b=-4,所以f(x)=x2-4x+1,f(1)=1-4+1=-2,f(2)=4-8+1=-3.課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.利用二次函數的單調性求參數的取值范圍的方法:已知函數的單調性,求

8、函數解析式中參數的范圍,是函數單調性的逆向思維問題.解答此類問題的關鍵在于先找出函數圖象的對稱軸,通過集合間的關系來建立變量間的關系.2.函數的對稱性:(1)若函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱,則f(a+x)=f(a-x)對任意x都成立,這個關系式我們也常常表示為:f(x)=f(2a-x),也說明函數圖象關于直線x=a對稱.(2)若函數f(x)對任意x有f(a-x)=f(b+x),則函數f(x)圖象的對稱軸為課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法(1)若將上題(1)中條件“在區(qū)間-1,2上是單調的”改為“在-1,2上是單調遞減的”,m的取值又將如何?(2)如果函數f(x)=x2

9、+bx+c對于任意實數t都有f(2+t)=f(2-t),那么()A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(4)f(2)f(1)D.f(2)f(4)f(1)解析:(1)由新變換的條件可知對稱軸x=-m2即m-2.(2)由f(2+t)=f(2-t)可知,拋物線y=x2+bx+c的對稱軸是直線x=2,由函數的單調性可得f(2)f(1)f(4).答案:(1)m-2(2)A課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法二次函數的最值二次函數的最值(值域值域)【例4】已知函數f(x)=x2+2ax+2.(1)當a=-1時,求函數f(x)在區(qū)間-5,5上的最大值和最小值;(2)用a表示

10、出函數f(x)在區(qū)間-5,5上的最值.分析:將原函數先配方,對于第(2)問還要結合圖象進行分類討論.解:(1)當a=-1時,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,因為1-5,5,故當x=1時,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1;當x=-5時,f(x)取得最大值,f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37.(2)函數f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的圖象開口向上,對稱軸為x=-a.當-a-5,即a5時,函數在區(qū)間-5,5上是增函數,所以f(x)max=f(5)=27+10a,f(x)min=f(-5)=27-10a;課前篇自主預習探究一探究二探究三

11、探究四思想方法當-5-a0,即0a5時,函數圖象如圖所示,由圖象可得f(x)min=f(-a)=2-a2,f(x)max=f(5)=27+10a;當0-a5,即-5a0時,函數圖象如圖所示,由圖象可得f(x)max=f(-5)=27-10a,f(x)min=f(-a)=2-a2;當-a5,即a-5時,函數在區(qū)間-5,5上是減函數,所以f(x)min=f(5)=27+10a,f(x)max=f(-5)=27-10a.綜上可得,當a5時,f(x)在區(qū)間-5,5上的最大值為27+10a,最小值為27-10a;課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法當0a5時,f(x)在區(qū)間-5,5上的最大值為

12、27+10a,最小值為2-a2;當-5a0)的最值問題,首先應采用配方法,化為y=a(x-h)2+k的形式.(1)求二次函數在定義域R上的最值;(2)求二次函數在閉區(qū)間上的最值共有三種類型:頂點固定,區(qū)間也固定.此種類型是較為簡單的一種,只要找到對稱軸,畫出圖象,將區(qū)間標出,最值一目了然.頂點變動,區(qū)間固定.這種類型是比較重要的,在高考題中多次出現,主要是討論頂點橫坐標即對稱軸在區(qū)間左側、在區(qū)間內部以及在區(qū)間右側等情況,然后根據不同情況寫出最值.頂點固定,區(qū)間變動.此種情況用的較少,在區(qū)間里含有參數,根據區(qū)間分別在對稱軸的左側、包含對稱軸以及在對稱軸右側進行討論.課前篇自主預習探究一探究二探究

13、三探究四思想方法變式訓練變式訓練2設f(x)=x2-4x-4,xt,t+1(tR),求函數f(x)的最小值g(t)的解析式.分析:本題屬于軸定區(qū)間動的情形,分三種情況討論f(x)的最小值.解:f(x)=(x-2)2-8,xt,t+1,當2t,t+1,即1t2時,g(t)=f(2)=-8.當t+12,即t2時,f(x)在t,t+1上是增函數,g(t)=f(t)=t2-4t-4.課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法數形結合思想在二次函數中的應用【典例】 若方程x2-2x-3=a有兩個不相等的實數根,求實數a的取值范圍.思路點撥:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,將方程有兩個不相等

14、的實數根轉化為兩個函數的圖象有兩個不同的交點.課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法解:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,作出f(x)的圖象如圖所示.f(x)與g(x)圖象的交點個數即為方程x2-2x-3=a根的個數.由圖可知當a-4時,f(x)與g(x)有兩個公共點,即方程x2-2x-3=a有兩個實根.綜上所述,當方程x2-2x-3=a有兩個實數根時,實數a的取值范圍是(-4,+).課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法方法點睛若討論f(x)=g(x)根的情況,不妨適當變形后令y=f(x)與y=g(x)兩個函數,然后把方程根的問題轉化為兩個函數圖象交點問題,體現了數與

15、形的完美結合.課前篇自主預習探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓練變式訓練已知方程x2-4|x|+5=m有四個全不相等的實根,則實數m的取值范圍是.課前篇自主預習1.函數y=-x2+2的最值情況為()A.有最小值2,無最大值B.有最大值2,無最小值C.有最小值0,無最大值D.有最大值2,有最小值0答案:B2.已知二次函數y=ax2+bx+1的圖象的對稱軸是x=1,并且通過點A(-1,7),則a,b的值分別是()A.2,4B.2,-4 C.-2,4D.-2,-4課前篇自主預習3.若一次函數y=ax+b(a0)的圖象經過第二、三、四象限,則二次函數y=ax2+bx(a0)的圖象只可能是()解析:由y=ax+b(a0)的圖象經過第二、三、四象限,得a0,b0,所以y=ax2+bx(a0)的圖象開口向下,且對稱軸 ,故選C.答案:C4.若函數f(x)=ax2+2x-4的圖象位于x軸下方,則a的取值范圍是.課前篇自主預習5.已知二次函數圖象如圖,求其解析式及頂點M的坐標.