數列習題集、等差數列、等比數列、求通項方法、求和方法總結.doc

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數列教案 1．數列的概念 （1）數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列； 數列中的每個數都叫這個數列的項。記作，在數列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作； 數列的一般形式：，，，……，，……，簡記作 。 例：判斷下列各組元素能否構成數列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省參加高考的考生人數。 （2）通項公式的定義：如果數列的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：… 數列①的通項公式是= （7，）， 數列②的通項公式是= （）。 說明： ①表示數列，表示數列中的第項，= 表示數列的通項公式； ② 同一個數列的通項公式的形式不一定唯一。例如，= =； ③不是每個數列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）數列的函數特征與圖象表示： 序號：1 2 3 4 5 6 項 ：4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數集的映射。從函數觀點看，數列實質上是定義域為正整數集（或它的有限子集）的函數當自變量從1開始依次取值時對應的一系列函數值……，，……．通常用來代替，其圖象是一群孤立點。 例：畫出數列的圖像. （4）數列分類：①按數列項數是有限還是無限分：有窮數列和無窮數列；②按數列項與項之間的大小關系分：單調數列（遞增數列、遞減數列）、常數列和擺動數列。 例：下列的數列，哪些是遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）數列{}的前項和與通項的關系： 例：已知數列的前n項和，求數列的通項公式 練習 1．根據數列前4項，寫出它的通項公式： （1）1，3，5，7……； （2），，，； （3），，，。 （4）9，99，999，9999… （5）7，77，777，7777，… (6)8, 88, 888, 8888… 2．數列中，已知 （1）寫出，，，，； （2）是否是數列中的項？若是，是第幾項？ 3．（2003京春理14，文15）在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統(tǒng)計數據如下表.觀察表中數據的特點，用適當的數填入表中空白（_____）內。 4、由前幾項猜想通項： 根據下面的圖形及相應的點數，在空格及括號中分別填上適當的圖形和數，寫出點數的通項公式.（1） （4） （7） （ ） （ ） 5.觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交，交點的個數最多是（ ），其通項公式為 . 2條直線相交，最多有1個交點 3條直線相交，最多有3個交點 4條直線相交，最多有6個交點 A．40個 B．45個 C．50個 D．55個 等差數列 1、等差數列定義：一般地，如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。 例：等差數列， 2、等差數列的通項公式：； 說明：等差數列（通?？煞Q為數列）的單調性：為遞增數列，為常數列， 為遞減數列。 例：1.已知等差數列中，等于（ ） A．15 B．30 C．31 D．64 2.是首項，公差的等差數列，如果，則序號等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差數列，則為 為 （填“遞增數列”或“遞減數列”） 3、等差中項的概念： 定義：如果，，成等差數列，那么叫做與的等差中項。其中 ，，成等差數列 即： （） 例：1．（06全國I）設是公差為正數的等差數列，若，，則 （ ） A． B． C． D． 2.設數列是單調遞增的等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ） A．1 B.2 C.4 D.8 4、等差數列的性質： （1）在等差數列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項； （2）在等差數列中，相隔等距離的項組成的數列是等差數列； （3）在等差數列中，對任意，，，； （4）在等差數列中，若，，，且，則； 5、等差數列的前和的求和公式：。(是等差數列 ) 遞推公式： 例：1.如果等差數列中，，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 2.（2009湖南卷文）設是等差數列的前n項和，已知，，則等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63 3.（2009全國卷Ⅰ理） 設等差數列的前項和為，若,則= 4.（2010重慶文）（2）在等差數列中，，則的值為（ ） （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 5.若一個等差數列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列有（ ） A.13項 B.12項 C.11項 D.10項 6.已知等差數列的前項和為，若 7.（2009全國卷Ⅱ理）設等差數列的前項和為，若則 8．（98全國）已知數列｛bn｝是等差數列，b1=1，b1+b2+…+b10=100. （Ⅰ）求數列｛bn｝的通項bn； 9.已知數列是等差數列，，其前10項的和，則其公差等于( ) C. D. 10.（2009陜西卷文）設等差數列的前n項和為,若,則 11．（00全國）設｛an｝為等差數列，Sn為數列｛an｝的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數列｛｝的前n項和，求Tn。 12.等差數列的前項和記為，已知 ①求通項；②若=242，求 13.在等差數列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知 6.對于一個等差數列： （1）若項數為偶數，設共有項，則①偶奇； ② ； （2）若項數為奇數，設共有項，則①奇偶；②。 7.對與一個等差數列，仍成等差數列。 例：1.等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 2.一個等差數列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為 。 3．已知等差數列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為 4.設為等差數列的前項和，= 5．（06全國II）設Sn是等差數列｛an｝的前n項和，若＝，則＝ A． B． C． D． 8．判斷或證明一個數列是等差數列的方法： ①定義法： 是等差數列 ②中項法： 是等差數列 ③通項公式法： 是等差數列 ④前項和公式法： 是等差數列 例：1.已知數列滿足，則數列為 （ ） A.等差數列 B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列 D.無法判斷 2.已知數列的通項為，則數列為 （ ） A.等差數列 B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列 D.無法判斷 3.已知一個數列的前n項和，則數列為（ ） A.等差數列 B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列 D.無法判斷 4.已知一個數列的前n項和，則數列為（ ） A.等差數列 B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列 D.無法判斷 5.已知一個數列滿足，則數列為（ ） A.等差數列 B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列 D.無法判斷 6.數列滿足=8， （） ①求數列的通項公式； 7．（01天津理，2）設Sn是數列{an}的前n項和，且Sn=n2，則{an}是（ ） A.等比數列，但不是等差數列 B.等差數列，但不是等比數列 C.等差數列，而且也是等比數列 D.既非等比數列又非等差數列 9.數列最值 （1），時，有最大值；，時，有最小值； （2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函數的最值； 可用二次函數最值的求法（）；②或者求出中的正、負分界項，即： 若已知，則最值時的值（）可如下確定或。 例：1．等差數列中，，則前 項的和最大。 2．設等差數列的前項和為，已知 ①求出公差的范圍， ②指出中哪一個值最大，并說明理由。 3．（02上海）設｛an｝（n∈N*）是等差數列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結論錯誤的是（ ） A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6與S7均為Sn的最大值 4．已知數列的通項（），則數列的前30項中最大項和最小項分別是 5.已知是等差數列，其中，公差。 （1）數列從哪一項開始小于0？ （2）求數列前項和的最大值，并求出對應的值． 6.已知是各項不為零的等差數列，其中，公差，若,求數列前項和的最大值． 7.在等差數列中，，，求的最大值． 利用求通項． 1.數列的前項和．（1）試寫出數列的前5項；（2）數列是等差數列嗎？（3）你能寫出數列的通項公式嗎？ 2．已知數列的前項和則 3.（2005湖北卷）設數列的前n項和為Sn=2n2，求數列的通項公式； 4.已知數列中，前和 ①求證：數列是等差數列 ②求數列的通項公式 5.（2010安徽文）設數列的前n項和，則的值為（ ） （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 等比數列 1．等比數列定義 一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母表示，即：：。 1． 遞推關系與通項公式 1． 在等比數列中,，則 2． 在等比數列中,,則 3.（07重慶文）在等比數列{an}中，a2＝8，a1＝64，，則公比q為（ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）8 4.在等比數列中，，，則= 5.在各項都為正數的等比數列中，首項，前三項和為21，則（ ） A 33 B 72 C 84 D 189 2． 等比中項：若三個數成等比數列，則稱為的等比中項，且為是成等比數列的必要而不充分條件. 例：1.和的等比中項為( ) 2.（2009重慶卷文）設是公差不為0的等差數列，且成等比數列，則的前項和=（ ） A． B． C． D． 3． 等比數列的基本性質， （1） （2） （3）為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列. （4）既是等差數列又是等比數列是各項不為零的常數列. 例：1．在等比數列中,和是方程的兩個根,則( ) 2. 在等比數列，已知，，則= 3.在等比數列中， ①求 ②若 4.等比數列的各項為正數，且（ ） A．12 B．10 C．8 D．2+ 5.（2009廣東卷理）已知等比數列滿足，且，則當時， （ ） A. B. C. D. 4． 前項和公式 例：1.已知等比數列的首相，公比，則其前n項和 2.已知等比數列的首相，公比，當項數n趨近與無窮大時，其前n項 和 3.設等比數列的前n項和為，已，求和 4．（2006年北京卷）設，則等于（ ） A． B． C． D． 5．（1996全國文，21）設等比數列｛an｝的前n項和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求數列的公比q； 6．設等比數列的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數列，則q 的值為 . 5.若數列是等比數列，是其前n項的和，，那么，，成等比數列. 如下圖所示： 例：1.（2009遼寧卷理）設等比數列{ }的前n 項和為，若 =3 ，則 = A. 2 B. C. D.3 2.一個等比數列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為（ ） A．83 B．108 C．75 D．63 3.已知數列是等比數列，且 6.等比數列的判定法 （1）定義法：為等比數列； （2）中項法：為等比數列； （3）通項公式法：為等比數列； （4）前項和法：為等比數列。 為等比數列。 例：1.已知數列的通項為，則數列為 （ ） A.等差數列 B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列 D.無法判斷 2.已知數列滿足，則數列為 （ ） A.等差數列 B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列 D.無法判斷 3.已知一個數列的前n項和，則數列為（ ） A.等差數列 B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列 D.無法判斷 7.利用求通項． 例：1.（2005北京卷）數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及數列{an}的通項公式． 2.（2005山東卷）已知數列的首項前項和為，且，證明數列是等比數列． 求數列通項公式方法 （1）．公式法（定義法） 根據等差數列、等比數列的定義求通項 例：1已知等差數列滿足：， 求； 2.已知數列滿足，求數列的通項公式； 3.數列滿足=8， （），求數列的通項公式； 4. 已知數列滿足，求數列的通項公式； 5.設數列滿足且，求的通項公式 6. 已知數列滿足，求數列的通項公式。 7.等比數列的各項均為正數，且，，求數列的通項公式 8. 已知數列滿足，求數列的通項公式； 9.已知數列滿足 （），求數列的通項公式； 10.已知數列滿足且（），求數列的通項公式； 11. 已知數列滿足且（），求數列的通項公式； 12.數列已知數列滿足則數列的通項公式= （2）累加法 1、累加法 適用于： 若，則 兩邊分別相加得 例：1.已知數列滿足，求數列的通項公式。 2. 已知數列滿足，求數列的通項公式。 3.已知數列滿足，求數列的通項公式。 4.設數列滿足，，求數列的通項公式 （3）累乘法 適用于： 若，則 兩邊分別相乘得， 例：1. 已知數列滿足，求數列的通項公式。 2.已知數列滿足，，求。 3.已知， ，求。 （4）待定系數法 適用于 解題基本步驟： 1、確定 2、設等比數列，公比為 3、列出關系式 4、比較系數求， 5、解得數列的通項公式 6、解得數列的通項公式 例：1. 已知數列中，，求數列的通項公式。 2.（2006，重慶,文,14）在數列中，若，則該數列的通項_______________ 3.（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數列滿足求數列的通項公式； 4.已知數列滿足，求數列的通項公式。 解：設 5. 已知數列滿足，求數列的通項公式。 解：設 6.已知數列中，,，求 7. 已知數列滿足，求數列的通項公式。 解：設 8. 已知數列滿足，求數列的通項公式。 遞推公式為（其中p，q均為常數）。 先把原遞推公式轉化為 其中s，t滿足 9. 已知數列滿足，求數列的通項公式。 （5）遞推公式中既有 分析：把已知關系通過轉化為數列或的遞推關系，然后采用相應的方法求解。 1.（2005北京卷）數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及數列{an}的通項公式． 2.（2005山東卷）已知數列的首項前項和為，且，證明數列是等比數列． 3．已知數列中，前和 ①求證：數列是等差數列 ②求數列的通項公式 4. 已知數列的各項均為正數，且前n項和滿足，且成等比數列，求數列的通項公式。 （6）根據條件找與項關系 例1.已知數列中，，若，求數列的通項公式 2.（2009全國卷Ⅰ理）在數列中， （I）設，求數列的通項公式 （7）倒數變換法 適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項 例：1. 已知數列滿足，求數列的通項公式。 （8）對無窮遞推數列 消項得到第與項的關系 例：1. （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。 2.設數列滿足，．求數列的通項； （8）、迭代法 例：1.已知數列滿足，求數列的通項公式。 解：因為，所以 又，所以數列的通項公式為。 （9）、變性轉化法 1、對數變換法 適用于指數關系的遞推公式 例： 已知數列滿足，，求數列的通項公式。 解：因為，所以。 兩邊取常用對數得 2、換元法 適用于含根式的遞推關系 例： 已知數列滿足，求數列的通項公式。 解：令，則 數列求和 1．直接用等差、等比數列的求和公式求和。 公比含字母時一定要討論 (理)無窮遞縮等比數列時， 例：1.已知等差數列滿足，求前項和 2. 等差數列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和Sn=100,則n=（　?。? A．9 B．10 C．11 D．12 3.已知等比數列滿足，求前項和 4.設，則等于（ ） A. B. C. D. 2．錯位相減法求和：如： 例：1．求和 2.求和： 3.設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，， （Ⅰ）求，的通項公式；（Ⅱ）求數列的前n項和． 3．裂項相消法求和：把數列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。 常見拆項： 數列是等差數列，數列的前項和 例：1.數列的前項和為，若，則等于（　B　） A．1 B． C． D． 2.已知數列的通項公式為，求前項的和； 3.已知數列的通項公式為，求前項的和． 4.已知數列的通項公式為＝，設，求． 5．求。 6．已知，數列是首項為a，公比也為a的等比數列，令，求數列的前項和。 4．倒序相加法求和 例：1. 求 2.求證： 3．設數列是公差為，且首項為的等差數列， 求和： 綜合練習： 1.設數列滿足且 （1）求的通項公式 （2）設記，證明： 2.等比數列的各項均為正數，且， （1）求數列的通項公式 （2）設，求數列的前n項和 3.已知等差數列滿足, . (1)求數列的通項公式及 （2）求數列的前n項和 4.已知兩個等比數列，，滿足，，， （1）若求數列的通項公式 （2）若數列唯一，求的值 5.設數列滿足， （1）求數列的通項公式 （2）令，求數列的前n項和 6.已知a1=2，點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，… （1） 證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列； （2） 設Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及數列｛an｝的通項； （3） 記bn=，求｛bn｝數列的前項和Sn，并證明Sn+=1. 7.已知等差數列滿足：，的前n項和 （1）求及 （2）令（），求數列前n項和 8．已知數列中，前和 ①求證：數列是等差數列 ②求數列的通項公式 ③設數列的前項和為，是否存在實數，使得對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。 9.數列滿足=8， （）， （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）設，是否存在最大的整數m，使得任意的n均有總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．