數(shù)列習(xí)題集、等差數(shù)列、等比數(shù)列、求通項方法、求和方法總結(jié).doc

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數(shù)列教案 1．?dāng)?shù)列的概念 （1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列； 數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作，在數(shù)列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作； 數(shù)列的一般形式：，，，……，，……，簡記作 。 例：判斷下列各組元素能否構(gòu)成數(shù)列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省參加高考的考生人數(shù)。 （2）通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：… 數(shù)列①的通項公式是= （7，）， 數(shù)列②的通項公式是= （）。 說明： ①表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項，= 表示數(shù)列的通項公式； ② 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，= =； ③不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示： 序號：1 2 3 4 5 6 項 ：4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值……，，……．通常用來代替，其圖象是一群孤立點。 例：畫出數(shù)列的圖像. （4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。 例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）數(shù)列{}的前項和與通項的關(guān)系： 例：已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的通項公式 練習(xí) 1．根據(jù)數(shù)列前4項，寫出它的通項公式： （1）1，3，5，7……； （2），，，； （3），，，。 （4）9，99，999，9999… （5）7，77，777，7777，… (6)8, 88, 888, 8888… 2．?dāng)?shù)列中，已知 （1）寫出，，，，； （2）是否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？ 3．（2003京春理14，文15）在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（_____）內(nèi)。 4、由前幾項猜想通項： 根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，在空格及括號中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù)，寫出點數(shù)的通項公式.（1） （4） （7） （ ） （ ） 5.觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交，交點的個數(shù)最多是（ ），其通項公式為 . 2條直線相交，最多有1個交點 3條直線相交，最多有3個交點 4條直線相交，最多有6個交點 A．40個 B．45個 C．50個 D．55個 等差數(shù)列 1、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。 例：等差數(shù)列， 2、等差數(shù)列的通項公式：； 說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。 例：1.已知等差數(shù)列中，等于（ ） A．15 B．30 C．31 D．64 2.是首項，公差的等差數(shù)列，如果，則序號等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差數(shù)列，則為 為 （填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”） 3、等差中項的概念： 定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。其中 ，，成等差數(shù)列 即： （） 例：1．（06全國I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則 （ ） A． B． C． D． 2.設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ） A．1 B.2 C.4 D.8 4、等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項； （2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列； （3）在等差數(shù)列中，對任意，，，； （4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則； 5、等差數(shù)列的前和的求和公式：。(是等差數(shù)列 ) 遞推公式： 例：1.如果等差數(shù)列中，，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 2.（2009湖南卷文）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知，，則等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63 3.（2009全國卷Ⅰ理） 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則= 4.（2010重慶文）（2）在等差數(shù)列中，，則的值為（ ） （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 5.若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（ ） A.13項 B.12項 C.11項 D.10項 6.已知等差數(shù)列的前項和為，若 7.（2009全國卷Ⅱ理）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若則 8．（98全國）已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+…+b10=100. （Ⅰ）求數(shù)列｛bn｝的通項bn； 9.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其前10項的和，則其公差等于( ) C. D. 10.（2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則 11．（00全國）設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列｛｝的前n項和，求Tn。 12.等差數(shù)列的前項和記為，已知 ①求通項；②若=242，求 13.在等差數(shù)列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知 6.對于一個等差數(shù)列： （1）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項，則①偶奇； ② ； （2）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則①奇偶；②。 7.對與一個等差數(shù)列，仍成等差數(shù)列。 例：1.等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 2.一個等差數(shù)列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為 。 3．已知等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為 4.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，= 5．（06全國II）設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若＝，則＝ A． B． C． D． 8．判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法： ①定義法： 是等差數(shù)列 ②中項法： 是等差數(shù)列 ③通項公式法： 是等差數(shù)列 ④前項和公式法： 是等差數(shù)列 例：1.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為 （ ） A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 2.已知數(shù)列的通項為，則數(shù)列為 （ ） A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 3.已知一個數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為（ ） A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 4.已知一個數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為（ ） A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 5.已知一個數(shù)列滿足，則數(shù)列為（ ） A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 6.數(shù)列滿足=8， （） ①求數(shù)列的通項公式； 7．（01天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn=n2，則{an}是（ ） A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 9.數(shù)列最值 （1），時，有最大值；，時，有最小值； （2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值； 可用二次函數(shù)最值的求法（）；②或者求出中的正、負(fù)分界項，即： 若已知，則最值時的值（）可如下確定或。 例：1．等差數(shù)列中，，則前 項的和最大。 2．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知 ①求出公差的范圍， ②指出中哪一個值最大，并說明理由。 3．（02上海）設(shè)｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6與S7均為Sn的最大值 4．已知數(shù)列的通項（），則數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是 5.已知是等差數(shù)列，其中，公差。 （1）數(shù)列從哪一項開始小于0？ （2）求數(shù)列前項和的最大值，并求出對應(yīng)的值． 6.已知是各項不為零的等差數(shù)列，其中，公差，若,求數(shù)列前項和的最大值． 7.在等差數(shù)列中，，，求的最大值． 利用求通項． 1.數(shù)列的前項和．（1）試寫出數(shù)列的前5項；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫出數(shù)列的通項公式嗎？ 2．已知數(shù)列的前項和則 3.（2005湖北卷）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn=2n2，求數(shù)列的通項公式； 4.已知數(shù)列中，前和 ①求證：數(shù)列是等差數(shù)列 ②求數(shù)列的通項公式 5.（2010安徽文）設(shè)數(shù)列的前n項和，則的值為（ ） （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 等比數(shù)列 1．等比數(shù)列定義 一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：：。 1． 遞推關(guān)系與通項公式 1． 在等比數(shù)列中,，則 2． 在等比數(shù)列中,,則 3.（07重慶文）在等比數(shù)列{an}中，a2＝8，a1＝64，，則公比q為（ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）8 4.在等比數(shù)列中，，，則= 5.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項，前三項和為21，則（ ） A 33 B 72 C 84 D 189 2． 等比中項：若三個數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的等比中項，且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件. 例：1.和的等比中項為( ) 2.（2009重慶卷文）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和=（ ） A． B． C． D． 3． 等比數(shù)列的基本性質(zhì)， （1） （2） （3）為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列. （4）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列. 例：1．在等比數(shù)列中,和是方程的兩個根,則( ) 2. 在等比數(shù)列，已知，，則= 3.在等比數(shù)列中， ①求 ②若 4.等比數(shù)列的各項為正數(shù)，且（ ） A．12 B．10 C．8 D．2+ 5.（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時， （ ） A. B. C. D. 4． 前項和公式 例：1.已知等比數(shù)列的首相，公比，則其前n項和 2.已知等比數(shù)列的首相，公比，當(dāng)項數(shù)n趨近與無窮大時，其前n項 和 3.設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，已，求和 4．（2006年北京卷）設(shè)，則等于（ ） A． B． C． D． 5．（1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求數(shù)列的公比q； 6．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q 的值為 . 5.若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，，那么，，成等比數(shù)列. 如下圖所示： 例：1.（2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列{ }的前n 項和為，若 =3 ，則 = A. 2 B. C. D.3 2.一個等比數(shù)列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為（ ） A．83 B．108 C．75 D．63 3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且 6.等比數(shù)列的判定法 （1）定義法：為等比數(shù)列； （2）中項法：為等比數(shù)列； （3）通項公式法：為等比數(shù)列； （4）前項和法：為等比數(shù)列。 為等比數(shù)列。 例：1.已知數(shù)列的通項為，則數(shù)列為 （ ） A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 2.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為 （ ） A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 3.已知一個數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為（ ） A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 7.利用求通項． 例：1.（2005北京卷）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項公式． 2.（2005山東卷）已知數(shù)列的首項前項和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列． 求數(shù)列通項公式方法 （1）．公式法（定義法） 根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項 例：1已知等差數(shù)列滿足：， 求； 2.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式； 3.數(shù)列滿足=8， （），求數(shù)列的通項公式； 4. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式； 5.設(shè)數(shù)列滿足且，求的通項公式 6. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 7.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，，求數(shù)列的通項公式 8. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式； 9.已知數(shù)列滿足 （），求數(shù)列的通項公式； 10.已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項公式； 11. 已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項公式； 12.數(shù)列已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項公式= （2）累加法 1、累加法 適用于： 若，則 兩邊分別相加得 例：1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 3.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 4.設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式 （3）累乘法 適用于： 若，則 兩邊分別相乘得， 例：1. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 2.已知數(shù)列滿足，，求。 3.已知， ，求。 （4）待定系數(shù)法 適用于 解題基本步驟： 1、確定 2、設(shè)等比數(shù)列，公比為 3、列出關(guān)系式 4、比較系數(shù)求， 5、解得數(shù)列的通項公式 6、解得數(shù)列的通項公式 例：1. 已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式。 2.（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_______________ 3.（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式； 4.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 解：設(shè) 5. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 解：設(shè) 6.已知數(shù)列中，,，求 7. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 解：設(shè) 8. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。 先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 其中s，t滿足 9. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 （5）遞推公式中既有 分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。 1.（2005北京卷）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項公式． 2.（2005山東卷）已知數(shù)列的首項前項和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列． 3．已知數(shù)列中，前和 ①求證：數(shù)列是等差數(shù)列 ②求數(shù)列的通項公式 4. 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前n項和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。 （6）根據(jù)條件找與項關(guān)系 例1.已知數(shù)列中，，若，求數(shù)列的通項公式 2.（2009全國卷Ⅰ理）在數(shù)列中， （I）設(shè)，求數(shù)列的通項公式 （7）倒數(shù)變換法 適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項 例：1. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 （8）對無窮遞推數(shù)列 消項得到第與項的關(guān)系 例：1. （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項公式。 2.設(shè)數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項； （8）、迭代法 例：1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 解：因為，所以 又，所以數(shù)列的通項公式為。 （9）、變性轉(zhuǎn)化法 1、對數(shù)變換法 適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式 例： 已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式。 解：因為，所以。 兩邊取常用對數(shù)得 2、換元法 適用于含根式的遞推關(guān)系 例： 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 解：令，則 數(shù)列求和 1．直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。 公比含字母時一定要討論 (理)無窮遞縮等比數(shù)列時， 例：1.已知等差數(shù)列滿足，求前項和 2. 等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和Sn=100,則n=（　?。? A．9 B．10 C．11 D．12 3.已知等比數(shù)列滿足，求前項和 4.設(shè)，則等于（ ） A. B. C. D. 2．錯位相減法求和：如： 例：1．求和 2.求和： 3.設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，， （Ⅰ）求，的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和． 3．裂項相消法求和：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項。 常見拆項： 數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項和 例：1.數(shù)列的前項和為，若，則等于（　B?。? A．1 B． C． D． 2.已知數(shù)列的通項公式為，求前項的和； 3.已知數(shù)列的通項公式為，求前項的和． 4.已知數(shù)列的通項公式為＝，設(shè)，求． 5．求。 6．已知，數(shù)列是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項和。 4．倒序相加法求和 例：1. 求 2.求證： 3．設(shè)數(shù)列是公差為，且首項為的等差數(shù)列， 求和： 綜合練習(xí)： 1.設(shè)數(shù)列滿足且 （1）求的通項公式 （2）設(shè)記，證明： 2.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且， （1）求數(shù)列的通項公式 （2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和 3.已知等差數(shù)列滿足, . (1)求數(shù)列的通項公式及 （2）求數(shù)列的前n項和 4.已知兩個等比數(shù)列，，滿足，，， （1）若求數(shù)列的通項公式 （2）若數(shù)列唯一，求的值 5.設(shè)數(shù)列滿足， （1）求數(shù)列的通項公式 （2）令，求數(shù)列的前n項和 6.已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，… （1） 證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列； （2） 設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項； （3） 記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項和Sn，并證明Sn+=1. 7.已知等差數(shù)列滿足：，的前n項和 （1）求及 （2）令（），求數(shù)列前n項和 8．已知數(shù)列中，前和 ①求證：數(shù)列是等差數(shù)列 ②求數(shù)列的通項公式 ③設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。 9.數(shù)列滿足=8， （）， （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設(shè)，是否存在最大的整數(shù)m，使得任意的n均有總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．