六年級奧數(shù). 數(shù)論.整除問題 (ABC級).學生版

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1、 數(shù)的整除 知識框架 一、 整除的定義： 當兩個整數(shù)a和b（b≠0），a被b除的余數(shù)為零時（商為整數(shù)），則稱a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍數(shù)，b叫a的約數(shù)，記作b|a，如果a被b除所得的余數(shù)不為零，則稱a不能被b整除，或b不整除a，記作b a. 二、 常見數(shù)字的整除判定方法 1. 一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除； 一個數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除； 一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除； 2. 一個位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除； 一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)

2、就能被9整除； 3. 如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被11整除； 4. 如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、11或13整除； 5. 如果一個數(shù)從數(shù)的任何一個位置隨意切開所組成的所有數(shù)之和是9的倍數(shù)，那么這個數(shù)能被9整除； 6. 如果一個數(shù)能被99整除，這個數(shù)從后兩位開始兩位一截所得的所有數(shù)（如果有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個數(shù)字，如果是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個有兩個數(shù)字還有一個是一位數(shù)）的和是99的倍數(shù)，這個數(shù)一定是99的倍數(shù)。 7. 若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去

3、個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。 8. 若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加個位數(shù)的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。 9. 若一個整數(shù)的個位

4、數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。 10. 若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果和是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。 11. 若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。 12. 若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19整除. 13

5、. 若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個數(shù)能被23整除。 【備注】（以上規(guī)律僅在十進制數(shù)中成立.） 三、整除性質 性質1 如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除．即如果c︱a， c︱b，那么c︱(a±b)． 性質2 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a， c∣b，那么c∣a． 用同樣的方法，我們還可以得出： 性質3 如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那 么b∣a，c∣a． 性質4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質，那么a一

6、定能被b 與c的乘積整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性質5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m為非0整數(shù)）； 性質6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac； 四、其他重要結論 1、 能被2和5，4和25，8和125整除的數(shù)的特征是分別在這個數(shù)的未一位、未兩位、未三位上。我們可以概括成一個性質：未n位數(shù)能被(或)整除的數(shù)，本身必能被(或)整除；反過來

7、，末n位數(shù)不能被(或)整除的數(shù)，本身必不能被(或)整除。例如，判斷19973216、91688169能否能被16整除，只需考慮未四位數(shù)能否被16（因為16=）整除便可，這樣便可以舉一反三，運用自如。 2、 利用連續(xù)整數(shù)之積的性質： 任意兩個連續(xù)整數(shù)之積必定是一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之積，因此一定可被2整除； 任意三個連續(xù)整數(shù)之中至少有一個偶數(shù)且至少有一個是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。 這個性質可以推廣到任意個整數(shù)連續(xù)之積。 3、 一個奇位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是99的倍數(shù)，一個偶位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是9的倍數(shù)。 4、 ；

8、，這樣的數(shù)一定能被7、11、13整除。 5、 等等。 重難點 數(shù)的整除概念、性質及整除特征為解決一些整除問題帶來了很大方便，在實際問題中應用廣泛。要學好數(shù)的整除問題，就必須找到規(guī)律，牢記上面的整除性質，不可似是而非。 例題精講 【例 1】 ，要使這個連乘積的最后4個數(shù)字都是0，那么在方框內最小應填什么數(shù)？ 【鞏固】 從50到100的這51個自然數(shù)的乘積的末尾有多少個連續(xù)的0？ 【例 2】 把若干個自然數(shù)1、2、3、……連乘到一起，如果已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應該是多少？

9、 【鞏固】 的結果除以，所得到的商再除以……重復這樣的操作，在第____次除以時，首次出現(xiàn)余數(shù). 【例 3】 11個連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被343整除，且乘積的末4位都是0，那么這11個數(shù)的平均數(shù)是多少？ 【鞏固】 用1～9這九個數(shù)字組成三個三位數(shù)(每個數(shù)字都要用)，每個數(shù)都是4的倍數(shù)。這三個三位數(shù)中最小的一個最大是 。 【例 4】 在方框中填上兩個數(shù)字，可以相同也可以不同，使432是9的倍數(shù). 請隨便填出一種，并檢查自己填的是否正確。 【鞏固】 一個

10、六位數(shù)被3除余l(xiāng)，被9除余4，這個數(shù)最小是 。 【例 5】 連續(xù)寫出從1開始的自然數(shù)，寫到2008時停止，得到一個多位數(shù)：1234567891011……20072008，請說明：這個多位數(shù)除以3，得到的余數(shù)是幾？為什么？ 【鞏固】 1234567891011121314…20082009除以9，商的個位數(shù)字是_________ 。 【例 6】 1至9這9個數(shù)字，按圖所示的次序排成一個圓圈．請你在某兩個數(shù)字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數(shù)(例如，在1和7之間剪開，得到兩個數(shù)

11、是和)．如果要求剪開后所得到的兩個九位數(shù)的差能被整除，那么剪開處左右兩個數(shù)字的乘積是多少? 【鞏固】 ，，，等首位是，個位是，中間數(shù)字全部是的數(shù)字中，能被整除而不被整除的最小數(shù)是 。 三、7、11、13系列 【例 7】 一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構成一個新的4位數(shù).已知這兩個4位數(shù)的和是以下5個數(shù)的一個：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.這兩個4位數(shù)的和到底是多少? 【鞏固】 是77的倍數(shù)，則最大為_________? 【例 8】 三位數(shù)的百位、十

12、位和個位的數(shù)字分別是5，a和b，將它連續(xù)重復寫2008次成為：.如果此數(shù)能被91整除，那么這個三位數(shù)是多少？ 【鞏固】 稱一個兩頭（首位與末尾）都是的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”。一個四位數(shù)的“兩頭蛇數(shù)”去掉兩頭，得到一個兩位數(shù)，它恰好是這個“兩頭蛇數(shù)”的約數(shù)。這個“兩頭蛇數(shù)”是 。（寫出所有可能） 【例 9】 學生問數(shù)學老師的年齡老師說：“由三個相同數(shù)字組成的三位數(shù)除以這三個數(shù)字的和，所得結果就是我的年齡?！崩蠋熃衲? 歲。

13、【鞏固】 已知兩個三位數(shù)與的和能被37整除，試說明：六位數(shù)也能被37整除． 【例 10】 一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構成一個新的4位數(shù).再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構成一個更新的四位數(shù)，已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下5個數(shù)的一個：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.這兩個4位數(shù)的和到底是多少? 【鞏固】 一個六位數(shù)各個數(shù)字都不相同，且這個數(shù)字能被17整除，則這個數(shù)最小是________？ 【例 11】 在六位數(shù)1111中的兩個方框內各填入一個數(shù)字，使此數(shù)能被17和

14、19整除，那么方框中的兩位數(shù)是多少? 【鞏固】 將數(shù)字4，5，6，7，8，9各使用一次，組成一個被667整除的6位數(shù)，那么，這個6位數(shù)除以667的結果是多少？ 【例 12】 若，試問能否被8整除?請說明理由． 【鞏固】 證明能被6整除，那么也能被6整除． 【例 13】 甲、乙兩個三位數(shù)的乘積是一個五位數(shù)，這個五位數(shù)的后四位為1031．如果甲數(shù)的數(shù)字和為10，乙數(shù)的數(shù)字和為8，那么甲乙兩數(shù)之和是_________． 【鞏固】 有5個不同的正整數(shù)，它們中任

15、意兩數(shù)的乘積都是12的倍數(shù)，那么這5個數(shù)之和的最小值是________． 【例 14】 某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1，2，…，12．他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除，問：這一家的電話號碼是什么數(shù)？ 【鞏固】 用數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一個十位數(shù)。要求前1位數(shù)能被2整除，前2位數(shù)能被3整除，……，前9位數(shù)能被10整除．已知最高位數(shù)為8．這個十位數(shù)是

16、 【例 15】 在六位數(shù)中，不同的字母表示不同的數(shù)字，且滿足，，，，，依次能被2，3，5，7，11，13整除．則的最小值是 ；已知當取得最大值時，，那么的最大值是________． 【鞏固】 有一個九位數(shù)的各位數(shù)字都不相同且全都不為0，并且二位數(shù)可被2整除，三位數(shù)可被3整除，四位數(shù)可被4整除，……依此類推，九位數(shù)可被9整除．請問這個九位數(shù)是多少？ 【例 16】 N是一個各位數(shù)字互不相等的自然數(shù)，它能被它的每個數(shù)字整除．N的最大值是 ．

17、 【鞏固】 ，，，各代表一個不同的非零數(shù)字，如果是的倍數(shù)，是的倍數(shù)， 是的倍數(shù)，是的倍數(shù)，那么是 。 課堂檢測 【隨練1】 若9位數(shù)20082008能夠被3整除，則里的數(shù)是__________ 【隨練2】 六位數(shù)能被99整除，是多少？ 【隨練3】 應當在如下的問號“？”的位置上填上哪一個數(shù)碼，才能使得所得的整數(shù)可被7整除？ 【隨練4】 王老師在黑板上寫了這樣的乘法算式:,然后說道:“只要同學們告訴我你們喜歡1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪個數(shù)，我在括號里填

18、上適當?shù)某藬?shù)，右邊的積一定全由你喜歡的數(shù)字組成?！毙∶鲹屩f：“我喜歡3?！蓖趵蠋熖钌铣藬?shù)“27”結果積就出現(xiàn)九個3；小宇舉手說：“我喜歡7。”只見王老師填上乘數(shù)“63”，積久出現(xiàn)九個7：，小麗說：“我喜歡8。”那么算式中應填上的乘數(shù)是 . 【隨練5】 有四個非零自然數(shù)，其中， .如果能被2整除， 能被3整除， 能被5整除， 能被7整除，那么最小是 ． 家庭作業(yè) 【作業(yè)1】 一個收銀員下班前查賬時發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)金比賬面記錄少了153元，她知道實際收錢不會錯，只能是記賬時有一個數(shù)點錯了小數(shù)點，那么記錯的那筆

19、帳實際收到的現(xiàn)金是__________元。 【作業(yè)2】 一個五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的2007倍，則這個五位數(shù)是 ． 【作業(yè)3】 一個19位數(shù)能被13整除，求О內的數(shù)字． 【作業(yè)4】 已知四十一位數(shù)（其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內的數(shù)字是多少？ 【作業(yè)5】 一位后勤人員買了72本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這筆帳的總數(shù)燒去兩個數(shù)字.帳本是這樣的：72本筆記本，共□□元(□為被燒掉的數(shù)字)，請把□處數(shù)字補上，并求筆記本

20、的單價. 【作業(yè)6】 小紅為班里買了33個筆記本。班長發(fā)現(xiàn)購物單上沒有表明單價，總金額的字跡模糊，只看到元，班長問小紅用了多少錢，小紅只記得不超過95元，她實際用了 元。 【作業(yè)7】 是2008的倍數(shù)．_________ 【作業(yè)8】 有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號，1號同學寫了一個自然數(shù)，其余各位同學都說這個數(shù)能被自己的編號數(shù)整除．1號作了檢驗：只有編號連續(xù)的兩位同學說的不對，其余同學都對，問：⑴說的不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？⑵如果告訴你1號寫的數(shù)

21、是五位數(shù)，請找出這個數(shù)． 【作業(yè)9】 若四位數(shù)能被15整除，則代表的數(shù)字是多少？ 【作業(yè)10】 0～6這7個數(shù)字能組成許多個沒有重復數(shù)字的7位數(shù)，其中有些是55的倍數(shù)，最大的一個是（ ）。 教學反饋 學生對本次課的評價 ○特別滿意 ○滿意 ○一般 家長意見及建議 家長簽字： MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論. 整除問題（ABC級）.學生版 Page 14 of 14