數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.2 一次函數(shù)和二次函數(shù) 2.2.2 二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 新人教B版必修1

《數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.2 一次函數(shù)和二次函數(shù) 2.2.2 二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 新人教B版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.2 一次函數(shù)和二次函數(shù) 2.2.2 二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 新人教B版必修1（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2 2.2 2.2 2二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象一二一二二、二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【問題思考】 1.二次函數(shù)y=ax2+c在y軸左側(cè)是減函數(shù),在右側(cè)是增函數(shù),對嗎?提示:不對.當(dāng)a0時,函數(shù)在y軸左側(cè)是減函數(shù),在右側(cè)是增函數(shù);當(dāng)a0)的最值問題,首先應(yīng)采用配方法,化為y=a(x-h)2+k(a0)的形式.其解法是:抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合,該討論時要討論.這里的“三點(diǎn)”指的是區(qū)間的兩個端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn),“一軸”指的是對稱軸.對于二次函數(shù)f(x)=a(x-h)2+k(a0)在區(qū)間p,q上的最值問題可作如下討論:(1)對稱軸x=h在區(qū)間p,q的左側(cè),即當(dāng)hq時,f(x)max=f(p),

2、f(x)min=f(q).一二4.填寫下表: 一二一二一二一二一二5.做一做:(1)二次函數(shù)y=2x2-x+1圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是()答案:B (2)函數(shù)f(x)=ax2+4(a+1)x-3在2,+)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是.思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“”,錯誤的打“”.(1)二次函數(shù)y=3x2與y軸不相交. ()(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口一定向上.()(3)將函數(shù)y=f(x+a)(a0)的圖象向左平移a個單位長度即得到y(tǒng)=f(x)的圖象. ()(4)所有的二次函數(shù)在定義域R上一定有最大值和最小值. ()(5)如果二次函數(shù)f(x)的圖象關(guān)

3、于直線x=a對稱,則f(x)一定滿足關(guān)系式f(a+x)=f(a-x). ()(6)如果二次函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)=f(2a-x),則說明該二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x=2a. ()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)探究一探究二探究三探究四思想方法二次函數(shù)的定義二次函數(shù)的定義 分析:根據(jù)二次函數(shù)的定義,只要保證二次項系數(shù)2-m0且x的指數(shù)m2+m-4=2即可.探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0),當(dāng)b=c=0時,函數(shù)變?yōu)閥=ax2(a0),它的圖象是一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn),y軸為對稱軸的拋物線;另外二次函數(shù)有以下幾種形式:(1)頂點(diǎn)式:f(x

4、)=a(x-h)2+k(a0),其中(h,k)為其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).(2)交點(diǎn)式(也稱兩根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),其中x1,x2是其圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(3)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0).探究一探究二探究三探究四思想方法二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例2】 已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3.(1)用配方法求出函數(shù)圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo),并作出圖象,指出其單調(diào)區(qū)間;(2)由圖象寫出當(dāng)y0時x的取值范圍.分析:本題考查配方法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是配方,完成配方后再結(jié)合圖象研究其性質(zhì).探究一探究二探究三探究四思想方法解:(1)f

5、(x)=-x2+2x+3=-(x2-2x)+3=-(x-1)2+4,則該函數(shù)圖象的對稱軸為x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),其圖象如圖所示.其單調(diào)增區(qū)間為(-,1,單調(diào)減區(qū)間為1,+).(2)由圖象知當(dāng)y=0時,x=-1或x=3;當(dāng)y0時,-1x0(a0)的解;同樣二次函數(shù)圖象在x軸下方部分對應(yīng)的x取值范圍,即為不等式ax2+bx+c0(a0)的解.探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,a0),若a=c,則如圖所示的圖象不可能為y=f(x)的圖象的是() 解析:由a=c可知函數(shù)圖象與x軸的兩交點(diǎn)(包含交點(diǎn)重合的情況)的橫坐標(biāo)乘積為1.由四

6、個選項看,圖象與x軸均有交點(diǎn),記兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,若只有一個交點(diǎn),則x1=x2,因為a=c,所以x1x2= =1,比較四個選項,發(fā)現(xiàn)選項D中x1-1,x21,所以D不滿足.故選D.答案:D探究一探究二探究三探究四思想方法二次函數(shù)單調(diào)性與對稱性的應(yīng)用二次函數(shù)單調(diào)性與對稱性的應(yīng)用【例3】 (1)若函數(shù)f(x)=x2+2mx+1在區(qū)間-1,2上是單調(diào)的,則實數(shù)m的取值范圍是;(2)如果函數(shù)f(x)=x2+bx+1對任意實數(shù)x都有f(2+x)=f(2-x),求f(1),f(2)的值.(1)解析:函數(shù)f(x)=x2+2mx+1=(x+m)2+1-m2,其圖象的對稱軸為x=-m,若函數(shù)在-1

7、,2上單調(diào),說明對稱軸不在區(qū)間-1,2內(nèi)部,故有-m-1或-m2,得m1或m-2.答案:m1或m-2(2)解:由題意知,函數(shù)圖象關(guān)于x=2對稱,故- =2,得b=-4,所以f(x)=x2-4x+1,f(1)=1-4+1=-2,f(2)=4-8+1=-3.探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.利用二次函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法:已知函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)解析式中參數(shù)的范圍,是函數(shù)單調(diào)性的逆向思維問題.解答此類問題的關(guān)鍵在于先找出函數(shù)圖象的對稱軸,通過集合間的關(guān)系來建立變量間的關(guān)系.2.函數(shù)的對稱性:(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f(a+x)=f(a-x)對任意x

8、都成立,這個關(guān)系式我們也常常表示為:f(x)=f(2a-x),也說明函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)若函數(shù)f(x)對任意x有f(a-x)=f(b+x),則函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為探究一探究二探究三探究四思想方法(1)若將上題(1)中條件“在區(qū)間-1,2上是單調(diào)的”改為“在-1,2上是單調(diào)遞減的”,m的取值又將如何?(2)如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對于任意實數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t),那么()A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(4)f(2)f(1)D.f(2)f(4)f(1)解析:(1)由新變換的條件可知對稱軸x=-m2即m-2.(2)由f(2+t)

9、=f(2-t)可知,拋物線y=x2+bx+c的對稱軸是直線x=2,由函數(shù)的單調(diào)性可得f(2)f(1)f(4).答案:(1)m-2(2)A探究一探究二探究三探究四思想方法二次函數(shù)的最值二次函數(shù)的最值(值域值域)【例4】已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+2.(1)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間-5,5上的最大值和最小值;(2)用a表示出函數(shù)f(x)在區(qū)間-5,5上的最值.分析:將原函數(shù)先配方,對于第(2)問還要結(jié)合圖象進(jìn)行分類討論.解:(1)當(dāng)a=-1時,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,因為1-5,5,故當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1;當(dāng)x=-5時,f(

10、x)取得最大值,f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37.(2)函數(shù)f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的圖象開口向上,對稱軸為x=-a.當(dāng)-a-5,即a5時,函數(shù)在區(qū)間-5,5上是增函數(shù),所以f(x)max=f(5)=27+10a,f(x)min=f(-5)=27-10a;探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)-5-a0,即0a5時,函數(shù)圖象如圖所示,由圖象可得f(x)min=f(-a)=2-a2,f(x)max=f(5)=27+10a;當(dāng)0-a5,即-5a0時,函數(shù)圖象如圖所示,由圖象可得f(x)max=f(-5)=27-10a,f(x)min=f(-a)=2-a2;

11、當(dāng)-a5,即a-5時,函數(shù)在區(qū)間-5,5上是減函數(shù),所以f(x)min=f(5)=27+10a,f(x)max=f(-5)=27-10a.綜上可得,當(dāng)a5時,f(x)在區(qū)間-5,5上的最大值為27+10a,最小值為27-10a;探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)0a5時,f(x)在區(qū)間-5,5上的最大值為27+10a,最小值為2-a2;當(dāng)-5a0)的最值問題,首先應(yīng)采用配方法,化為y=a(x-h)2+k的形式.(1)求二次函數(shù)在定義域R上的最值;(2)求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值共有三種類型:頂點(diǎn)固定,區(qū)間也固定.此種類型是較為簡單的一種,只要找到對稱軸,畫出圖象,將區(qū)間標(biāo)出,最值一目了然.頂點(diǎn)

12、變動,區(qū)間固定.這種類型是比較重要的,在高考題中多次出現(xiàn),主要是討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)即對稱軸在區(qū)間左側(cè)、在區(qū)間內(nèi)部以及在區(qū)間右側(cè)等情況,然后根據(jù)不同情況寫出最值.頂點(diǎn)固定,區(qū)間變動.此種情況用的較少,在區(qū)間里含有參數(shù),根據(jù)區(qū)間分別在對稱軸的左側(cè)、包含對稱軸以及在對稱軸右側(cè)進(jìn)行討論.探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2設(shè)f(x)=x2-4x-4,xt,t+1(tR),求函數(shù)f(x)的最小值g(t)的解析式.分析:本題屬于軸定區(qū)間動的情形,分三種情況討論f(x)的最小值.解:f(x)=(x-2)2-8,xt,t+1,當(dāng)2t,t+1,即1t2時,g(t)=f(2)=-8.當(dāng)t+12,即t2時

13、,f(x)在t,t+1上是增函數(shù),g(t)=f(t)=t2-4t-4.探究一探究二探究三探究四思想方法數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用【典例】 若方程x2-2x-3=a有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍.思路點(diǎn)撥:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,將方程有兩個不相等的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn).探究一探究二探究三探究四思想方法解:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,作出f(x)的圖象如圖所示.f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù)即為方程x2-2x-3=a根的個數(shù).由圖可知當(dāng)a-4時,f(x)與g(x)有兩個公共點(diǎn),即方程x2-2x-3=a有兩個實根.綜上所述,當(dāng)方

14、程x2-2x-3=a有兩個實數(shù)根時,實數(shù)a的取值范圍是(-4,+).探究一探究二探究三探究四思想方法方法點(diǎn)睛若討論f(x)=g(x)根的情況,不妨適當(dāng)變形后令y=f(x)與y=g(x)兩個函數(shù),然后把方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)問題,體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合.探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練已知方程x2-4|x|+5=m有四個全不相等的實根,則實數(shù)m的取值范圍是.1.函數(shù)y=-x2+2的最值情況為()A.有最小值2,無最大值B.有最大值2,無最小值C.有最小值0,無最大值D.有最大值2,有最小值0答案:B2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+1的圖象的對稱軸是x=1,并且通過點(diǎn)A(-1,7),則a,b的值分別是()A.2,4B.2,-4 C.-2,4D.-2,-43.若一次函數(shù)y=ax+b(a0)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,則二次函數(shù)y=ax2+bx(a0)的圖象只可能是()解析:由y=ax+b(a0)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,得a0,b0,所以y=ax2+bx(a0)的圖象開口向下,且對稱軸 ,故選C.答案:C4.若函數(shù)f(x)=ax2+2x-4的圖象位于x軸下方,則a的取值范圍是.5.已知二次函數(shù)圖象如圖,求其解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo).