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突破點2 解三角形
提煉1
常見解三角形的題型及解法
(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解．
(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一．
(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解．
(4)已知三邊，利用余弦定理求解.
提煉2
三角形形狀的判斷
(1)從邊出發(fā)，全部轉化為邊之間的關系進行判斷．
(2)從角出發(fā)，全部轉化為角之間的關系，然后進行恒等變形，再判斷．
注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個數(shù)時要注意該數(shù)是否為零，避免漏解.
提煉3
三角形的常用面積公式
設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，其面積為S.
(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形ABC內切圓的半徑)．
回訪1 正、余弦定理的應用
1．(2016全國甲卷)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________.
在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，
∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝.
又∵＝，∴b＝＝＝.]
2．(2015全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75，BC＝2，則AB的取值范圍是________．
(－，＋) 如圖所示，延長BA與CD相交于點E，過點C作CF∥AD交AB于點F，則BF
0)．
則a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，2分
即sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).4分
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C．6分
(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根據(jù)余弦定理，有
cos A＝＝，8分
所以sin A＝＝.9分
由(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋ sin B，11分
故tan B＝＝4.12分
關于解三角形問題，一般要用到三角形的內角和定理，正、余弦定理及有關三角形的性質，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結構”，這是使問題獲得解決的突破口．
變式訓練1] (1)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，已知a＝2，c＝3，cos B＝，則＝__________.
【導學號：85952013】
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝22＋32－223＝10，所以b＝.
由余弦定理，得cos C＝＝＝.
因為B是△ABC的內角，
所以sin B＝＝.
由正弦定理＝，得sin A＝，所以＝.]
(2)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且acos B＋bcos(B＋C)＝0.
①證明：△ABC為等腰三角形；
②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值．
解]?、僮C明：∵acos B＋bcos (B＋C)＝0，
∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos(π－A)＝0，
即sin Acos B－sin Bcos A＝0，3分
∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.4分
∵A，B是△ABC的兩內角，
∴A－B＝0，即A＝B，5分
∴△ABC是等腰三角形.6分
②由2(b2＋c2－a2)＝bc，
得＝，7分
由余弦定理得cos A＝，8分
cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝1－2cos2 A＝.10分
∵A＝B，∴cos B＝cos A＝，11分
∴cos B＋cos C＝＋＝.12分
熱點題型2 三角形面積的求解問題
題型分析：三角形面積的計算及與三角形面積有關的最值問題是解三角形的重要命題點之一，本質上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等.
(2015山東高考)設f(x)＝sin xcos x－cos2.
(1)求f(x)的單調區(qū)間；
(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值．
【解題指導】 (1)
―→
(2)
解] (1)由題意知
f(x)＝－
＝－＝sin 2x－.2分
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.4分
所以f(x)的單調遞增區(qū)間是－＋kπ，＋kπ(k∈Z)；單調遞減區(qū)間是(k∈Z).6分
(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，7分
由題意知A為銳角，所以cos A＝.8分
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，10分
即bc≤2＋，當且僅當b＝c時等號成立．
因此bcsin A≤，
所以△ABC面積的最大值為.12分
1．在研究三角函數(shù)的圖象與性質時常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B，y＝Atan(ωx＋φ)＋B)的形式，進而利用函數(shù)y＝sin x(或y＝cos x，y＝tan x)的圖象與性質解決問題．
2．在三角形中，正、余弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有a2＋c2和ac兩項，二者的關系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac經常用到，有時還可利用基本不等式求最值．
變式訓練2] (名師押題)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1.
(1)若sin C＝，求a，c；
(2)若△ABC是直角三角形，求△ABC的面積．
解] (1)∵sin C＝，∴cos2C＝1－sin2C＝，cos C＝.1分
∵4cos C＝a＋，
∴＝a＋，解得a＝或a＝.3分
又＋a＝4cos C＝4＝4，
∴a2＋1＝2(a2＋1－c2)，即2c2＝a2＋1.5分
∴當a＝時，c＝2；當a＝時，c＝.6分
(2)由(1)可知2c2＝a2＋1.
又△ABC為直角三角形，C不可能為直角．
①若角A為直角，則a2＝b2＋c2＝c2＋1，
∴2c2－1＝c2＋1，
∴c＝，a＝，8分
∴S＝bc＝1＝.9分
②若角B為直角，則b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1.
∴2c2＝a2＋1＝(1－c2)＋1，
∴c2＝，a2＝，即c＝，a＝，11分
∴S＝ac＝＝.12分
高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題1 突破點2 解三角形教師用書 理
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