高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題3_1 導(dǎo)數(shù)以及運算、應(yīng)用試題 理（含解析）

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專題3.1 導(dǎo)數(shù)以及運算、應(yīng)用 【三年高考】 1. 【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 2．【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ． 【答案】 3．【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）證明． 【解析】（Ⅰ）． （Ⅱ）當(dāng)時，,因此，．當(dāng)時，將變形為．令，則是在上的最大值，，，且當(dāng)時，取得極小值，極小值為．令，解得（舍去），．（?。┊?dāng)時，在內(nèi)無極值點，，，，所以．（ⅱ）當(dāng)時，由，知．又，所以．綜上，． （Ⅲ）由（Ⅰ）得.當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以. 當(dāng)時，，所以. 4．【2016高考山東理數(shù)】已知. （I）討論的單調(diào)性； （II）當(dāng)時，證明對于任意的成立. 當(dāng)時，，單調(diào)遞減. 綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. 5．【2016高考新課標(biāo)1卷】已知函數(shù)有兩個零點. (I)求a的取值范圍； (II)設(shè)x1,x2是的兩個零點,證明：. 【解析】 （Ⅰ）．（i）設(shè),則,只有一個零點．（ii）設(shè),則當(dāng)時,；當(dāng)時,．所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．又,,取滿足且,則,故存在兩個零點．（iii）設(shè),由得或．若,則,故當(dāng)時,,因此在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時,,所以不存在兩個零點．若,則,故當(dāng)時,；當(dāng)時,．因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．又當(dāng)時,,所以不存在兩個零點．綜上,的取值范圍為． （Ⅱ）不妨設(shè),由（Ⅰ）知,,在上單調(diào)遞減,所以等價于,即．由于,而,所以．設(shè),則．所以當(dāng)時,,而,故當(dāng)時,．從而,故． 6. 【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 7.【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 【答案】A 8.【2015高考新課標(biāo)1，理12】設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（ ） (A)[-，1） (B)[-，） (C)[，） (D)[，1） 【答案】D 【解析】設(shè)=，，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方.因為，所以當(dāng)時，＜0，當(dāng)時，＞0，所以當(dāng)時，=，當(dāng)時，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D. 9. 【2015高考新課標(biāo)1，理21】已知函數(shù)f（x）=. (Ⅰ)當(dāng)a為何值時，x軸為曲線 的切線； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h（x）零點的個數(shù). 【解析】設(shè)曲線與軸相切于點，則，，即，解得.因此，當(dāng)時，軸是曲線的切線. （Ⅱ）當(dāng)時，，從而， ∴在（1，+∞）無零點. 當(dāng)=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點.當(dāng)時，，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù). 10.【2014江西高考理第14題】若曲線上點處的切線平行于直線，則點的坐標(biāo)是________. 【答案】 【解析】設(shè)切點，則由得：，所以點的坐標(biāo)是. 11. 【2014高考遼寧理第21題】已知函數(shù)，. 證明：（Ⅰ）存在唯一，使； (Ⅱ)存在唯一，使，且對（1）中的. 12. 【2014高考大綱理第22題】函數(shù). （I）討論的單調(diào)性； （II）設(shè)，證明：. 【解析】（I）的定義域為． （i）當(dāng)時，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)． （ii）當(dāng)時,成立當(dāng)且僅當(dāng)在上是增函數(shù)． （iii）當(dāng)時，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)． 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題,導(dǎo)數(shù)的幾何意義與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考的熱點，年年都出題，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中檔左右，解答題作為把關(guān)題存在，在考查導(dǎo)數(shù)的概念及其運算的基礎(chǔ)上，又注重考查解析幾何的相關(guān)知識． 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，導(dǎo)數(shù)進入新教材之后，給函數(shù)問題注入了生機和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對函數(shù)問題的命題空間．所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情，對函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等，對研究函數(shù)的目標(biāo)也不僅限于求定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性等，而是把高次多項式函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)型，對數(shù)型函數(shù)，以及初等基本函數(shù)的和、差、積、商都成為命題的對象，試題的命制往往融函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式，方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏．解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想．因此在2017年高考備考中應(yīng)狠下功夫,抓好基礎(chǔ),提高自己的解題能力,掌握好解題技巧,特別是構(gòu)造函數(shù)的靈活運用. 預(yù)測2017年高考仍將以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為背景設(shè)置成的導(dǎo)數(shù)的綜合題為主要考點．也有可能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義出一道中等難度試題，如求切線，或求參數(shù)值，重點考查運算及數(shù)形結(jié)合能力，以及構(gòu)造新函數(shù)等能力．也有可能考查恒成立與存在性問題. 【2017年高考考點定位】 高考對導(dǎo)數(shù)的考查主要有導(dǎo)數(shù)的運算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值，證明不等式，證明恒成立，以及存在性問題等，難度較大，往往作為把關(guān)題存在． 考點一、導(dǎo)數(shù)的基本運算 【備考知識梳理】1．常見函數(shù)的求導(dǎo)公式． （１）（C為常數(shù)）；（２）；（３）；（４）；（5）；（6）；（7）且；（8）． 2．兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則 法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： ( 法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個 函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即： 若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 法則3兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：‘=（v0）． 3.形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解——求導(dǎo)——回代．法則：y＇|= y＇| u＇| 【規(guī)律方法技巧】 (1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯； (2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導(dǎo)，有時可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量； (3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，通過設(shè)中間變量，確定復(fù)合過程，然后求導(dǎo)． 【考點針對訓(xùn)練】 （1）求的導(dǎo)數(shù)； （2）求的導(dǎo)數(shù)； （3）求的導(dǎo)數(shù)；（4）求y=的導(dǎo)數(shù)；（5）求y＝的導(dǎo)數(shù). 考點二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 【備考知識梳理】函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率．也就是說，曲線在點處的切線的斜率是．相應(yīng)地，切線方程為． 【規(guī)律方法技巧】 求曲線切線方程的步驟：（1）求出函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點處切線的斜率；（2）在已知切點和斜率的條件下，求得切線方程 特別地，當(dāng)曲線在點處的切線平行于軸時（此時導(dǎo)數(shù)不存在），可由切線的定義知切線方程為；當(dāng)切點未知時，可以先設(shè)出切點坐標(biāo)，再求解. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016年河南鄭州高三二?！壳€在點處的切線平行于直線，則點的坐標(biāo)為（ ） A． B． C．和 D． 【答案】C. 2. 【河南八市2016年4月高三質(zhì)檢卷】.已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍為________ 【答案】 【解析】的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為設(shè)與曲線相切的切點為相切的切點為則有公共切線斜率為又即有即為即有則有即為令則，當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增．即有處取得極大值，也為最大值，且為由恰好存在兩條公切線，即有兩解，可得的范圍是故答案為 考點三、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 【備考知識梳理】一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 【規(guī)律方法技巧】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）令解不等式，得的范圍就是單調(diào)增區(qū)間;令解不等式，得的范圍就是單調(diào)減區(qū)間（3）對照定義域得出結(jié)論. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016年山西四校第三次聯(lián)考】已知函數(shù),若對任意，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2016年山西四市高三四模】設(shè)函數(shù). （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）若為整數(shù)，且當(dāng)時，恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最 大值. 【解析】（1）函數(shù)f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f′（x）=ex-a， 若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增 ,若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，lna）時，f′（x）=ex-a＜0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時，f′（x）=ex-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增. 考點五、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【備考知識梳理】若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點，是極小值 【規(guī)律方法技巧】求函數(shù)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x) .(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2015-2016學(xué)年度唐山市高三第一?！恳阎瘮?shù)的極大值為m，極小值為n，則m+n=（ ） (A)0 (B)2 (C) -4 (D) -2 【答案】D 【解析】因為，令，解得，所以當(dāng) 時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時函數(shù)取得極大值，當(dāng)時函數(shù)取得極小值，所以，故選D． 2. 【2016年榆林二?！恳阎瘮?shù)，（且）. （1）當(dāng)時，若已知是函數(shù)的兩個極值點，且滿足：，求證：； （2）當(dāng)時，①求實數(shù)的最小值；②對于任意正實數(shù)，當(dāng)時，求證：. 考點五、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值 【備考知識梳理】求函數(shù)最值的步驟：（1）求出在上的極值.（2）求出端點函數(shù)值. （3）比較極值和端點值，確定最大值或最小值. 【規(guī)律方法技巧】 1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題是要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，這樣能使解答過程直觀條理； 2、會利用導(dǎo)函數(shù)的圖象提取相關(guān)信息； 3、極值點不一定是最值點，最值點也不一定是極值點，但若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，則這個極值點也一定是最值點. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016年安徽淮南市高三二?！亢瘮?shù)在區(qū)間上的最大值是 . 【答案】 2. 【2016屆邯鄲市一中高三第十次研】已知函數(shù)，其中．（提示：） （1）若是的極值點，求的值； （2）求的單調(diào)區(qū)間； （3）若在上的最大值是0，求的取值范圍． 【解析】（1）．依題意，令，解得．經(jīng)檢驗，時，符合題意. （2）①當(dāng)時，，故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是． ②當(dāng)時，令，得，或．當(dāng)時，與的情況如下： - 0 + 0 + 所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和．當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間是．當(dāng)時，，與的情況如下： - 0 + 0 + 所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和． ③當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是； 單調(diào)減區(qū)間是 ．綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是；當(dāng)時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；當(dāng)時，的減區(qū)間是；當(dāng)時，的增區(qū)間是；，減區(qū)間是和． 【應(yīng)試技巧點撥】 1. 利用導(dǎo)數(shù)求切線問題中的“在”與“過” 在解決曲線的切線問題時，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率是非常重要的一類方法.在求解過程中特別注意：曲線在某點處的切線若有則只有一條，曲線過某點的要切線往往不止一條；切線與曲線的公共點不一定只有一個.因此在審題時應(yīng)首先判斷是“在”還是“過”.若“在”，利用該點出的導(dǎo)數(shù)為直線的斜率，便可直接求解；若“過”，解決問題關(guān)鍵是設(shè)切點，利用“待定切點法”,即：設(shè)點A（x,y）是曲線y=f(x)上的一點，則以A為切點的切線方程為y－y=f,再根據(jù)題意求出切點. 2.函數(shù)切線的相關(guān)問題的解決，抓住兩個關(guān)鍵點：其一，切點是交點；其二，在切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率．因此，解決此類問題，一般要設(shè)出切點，建立關(guān)系——方程(組)．其三，求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異．過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上；在點P處的切線，點P是切點． 3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其單調(diào)性研究的作用：(1)當(dāng)函數(shù)在一個指定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)時，需要這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)不改變符號(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，當(dāng)函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)不單調(diào)時，這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)一定變號，如果導(dǎo)數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線，這個導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)一定存在變號的零點，可以把問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)零點的研究． (2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，在函數(shù)解析式中若含有字母參數(shù)時要進行分類討論，這種分類討論首先是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行，其次要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點在其定義域內(nèi)的情況進行，如果這樣的點不止一個，則要根據(jù)字母參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時，導(dǎo)數(shù)等于零的根的大小關(guān)系進行分類討論，最后在分類解決問題后要整合一個一般的結(jié)論．[易錯提示]　在利用“若函數(shù)單調(diào)遞增，則”求參數(shù)的范圍時，注意不要漏掉“等號”． 4．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值：(1)確定定義域． (2)求導(dǎo)數(shù)． (3)①若求極值，則先求方程的根，再檢驗在方程根左、右值的符號，求出極值．(當(dāng)根中有參數(shù)時要注意分類討論根是否在定義域內(nèi)) ②若已知極值大小或存在的情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況，從而求解． 5．求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟 (1)求函數(shù)在內(nèi)的極值； (2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 6.利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問題 不等式在某區(qū)間的恒成立問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題來解決，函數(shù)的最值問題的求解，利用求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性是常規(guī)途徑，例如：①為增函數(shù)（為減函數(shù)）.②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立；在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立. 7.利用導(dǎo)數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題 在高考題的大題中，每年都要設(shè)計一道函數(shù)大題. 在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研究在一個區(qū)間上恒成立的不等式(實際上就是證明這個不等式)，研究不等式在一個區(qū)間上成立時不等式的某個參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個區(qū)間上的根的個數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識已經(jīng)無能為力，就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進行解決．使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數(shù)．因為導(dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點，不清楚解決技巧.解題技巧總結(jié)如下 （1）樹立服務(wù)意識：所謂“服務(wù)意識”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問要證明的不等式. （2）強化變形技巧：所謂“強化變形技巧”是指對于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對不等式進行必要的等價變形后，再去證明.例如采用兩邊取對數(shù)（指數(shù)），移項通分等等.要注意變形的方向：因為要利用函數(shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式. （3）巧妙構(gòu)造函數(shù)：所謂“巧妙構(gòu)造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值進行解決.在構(gòu)造函數(shù)的時候靈活多樣，注意積累經(jīng)驗，體現(xiàn)一個“巧妙”. 二年模擬 1. 【2016屆海南省農(nóng)墾中學(xué)高三考前押題】曲線在點處的切線的傾斜角為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2. 【2016屆吉林大學(xué)附中高三第二次模擬】已知為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的取值范圍（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】，，令，，為增函數(shù)，所以． 3. 【2016年江西三校第二次聯(lián)考】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因為，所以當(dāng)時，，即在上遞減，所以，．故選A． 4. 【湖北2016年9月三校聯(lián)考】已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 5. 【2016年江西師大附中高三月考】已知函數(shù)，其在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 6. 【2016年江西六校聯(lián)考】已知，又，若滿足的有四個，則的取值范圍為( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，當(dāng)時，恒成立，所以在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，由，得，當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，所以函數(shù)在上有一個最大值為，要使方程，即有四個實數(shù)根，令，則方程應(yīng)有兩個不等根，且一個根在內(nèi)，一個根在內(nèi)，再令，因為，則只需，即，解得：；所以，使得函數(shù)，方程有四個實數(shù)根的的取值范圍是；故選A． 7. 【河南六市高2016年高三三模】已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，又∵，，不等式只有兩個整數(shù)解，∴，即實數(shù)的取值范圍是故選C． 8.【2016年河北石家莊高三二?！恳阎瘮?shù)，若過點可作曲線的兩條切線，且點不在函數(shù)的圖象上，則實數(shù)的值為______. 【答案】或 9. 【2016屆山西省忻州一中等四校高三下第四次聯(lián)考】設(shè)函數(shù) (Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)的極值； (Ⅱ)若對任意及任意，恒有 成立，求實數(shù)的取值范圍. 10. 【2016屆安徽師大附中高三最后一卷】定義在上的函數(shù)滿足，. （1）求函數(shù)的解析式； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）如果滿足，那么稱比更靠近.當(dāng)且時，試比較和哪個更靠近，并說明理由． 【解析】（1），令解得由，令得，，所以，. （2）因為，所以=，①當(dāng)時，總有，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得函數(shù)在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，總有，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減. 11. 【湖北省重點中學(xué)2015屆高三上學(xué)期第三次月考試題】已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（ ） A. B.2 C. D. 【答案】C. 【解析】因為，所以，所以，解之得.故應(yīng)選C. 12.【吉林市普通高中 2014—2015 學(xué)年度高三畢業(yè)年級摸底】 已知曲線 在點 P(1, 4) 處的切線與直線 l 平行且距離為，則直線 l 的方程為（ ） A.或 B. C.或 D. 以上都不對 【答案】C 【解析】因為曲線，所以，所以在點P（1，4）處的切線的斜率為-4，方程為4x+y-8=0，與直線l平行且距離為的直線方程為4x+y+c=0，則，所以c=9或-25，因此直線的方程為4x+y+9=0或4x+y-25=0，故選C． 13.【雅安中學(xué)2014－2015學(xué)年上期9月試題】已知函數(shù)的兩個極值點分別為，且，點表示的平面區(qū)域為，若函數(shù)（）的圖象上存在區(qū)域內(nèi)的點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 14.【2015屆北京市東城區(qū)5月綜合練習(xí)】已知函數(shù) ,，（，為常數(shù)）． （Ⅰ）若在處的切線過點，求的值； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若關(guān)于的方程有唯一解，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）令，若函數(shù)存在極值，且所有極值之和大于，求實數(shù)的取值范圍． 15. 【2015屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三4月】已知函數(shù)在處取得極值． （Ⅰ）求實數(shù)的值； （Ⅱ）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立． 【解析】（Ⅰ） 時,取得極值, 故解得經(jīng)檢驗符合題意． （Ⅲ） 的定義域為,由（1）知令得,或（舍去）,當(dāng)時, ,單調(diào)遞增;當(dāng)時, ,單調(diào)遞減．為在上的最大值．,故（當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立） 對任意正整數(shù),取得, ，故． （方法二）數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時，左邊，右邊，顯然，不等式成立． 假設(shè)時，成立， 則時，有．做差比較：構(gòu)建函數(shù)，則， 單調(diào)遞減，． 取， 即，亦即， 故時，有，不等式成立． 綜上可知，對任意的正整數(shù),不等式都成立． 拓展試題以及解析 1. 已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是（ ） 【答案】A 【入選理由】本題主要考查誘導(dǎo)公式、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的圖象等知識，意在考查學(xué)生的識圖能力、邏輯思維能力.此題難度不大，出題角度較新，故選此題． 2．函數(shù)存在與直線平行的切線，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因為，直線的的斜率為，由題意知方程（）有解，因為，所以，故選D． 【入選理由】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式等基礎(chǔ)知識，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和基本運算能力．本題導(dǎo)數(shù)的幾何意義巧妙地與基本不等式結(jié)合起來，出題方式新穎，試題難度不大，同時對導(dǎo)數(shù)運算的深層次考查，體現(xiàn)靈活運用導(dǎo)數(shù)知識解決問題能力；故選此題. 3. 已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【入選理由】本題主要考查分段函數(shù)與方程的解，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值等，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,意在考查運用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運算求解能力及基本的邏輯推理能力．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是高考考試的重點與難點，此題運用構(gòu)造法，靈活的利用導(dǎo)數(shù)求最小值，構(gòu)思很巧，故選此題. 4. 設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ） A.0 B.1 C.2 D.0或 2 【答案】A 【入選理由】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點，考查構(gòu)造法以及函數(shù)與方程思想和邏輯推理能力，意在考查運用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運算求解能力及基本的邏輯推理能力．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是高考考試的重點與難點，此題函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的零點巧妙地結(jié)合起來，構(gòu)思很巧，故選此題. 5. 已知函數(shù)， ，若在上有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為 【答案】 【解析】因為，所以若，則，此時在上至多有兩個不同的實數(shù)根，因此，從而由得，因為，因此要使在上有三個不同的實數(shù)根，須滿足，即，從而實數(shù)的取值范圍為 【入選理由】本題考查函數(shù)圖象、函數(shù)與方程思想、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題與解決問題的能力、基本運算能力及推理能力．此題難度不大，綜合性較強，體現(xiàn)高考小題綜合化的特點，故選此題. 6. 已知函數(shù)（）. （Ⅰ）若函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）當(dāng)時，不等式 恒成立，求的取值范圍. 【入選理由】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立以及函數(shù)的定義域等，考查分離參數(shù)法、函數(shù)與方程的思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及基本的運算能力和邏輯推理能力等，此題難度較大，綜合性較強，符合高考試題特征，故選此題. 7. 已知函數(shù) (Ⅰ) 若函數(shù)在處的切線過點，求的值； （Ⅱ）若，求證：； （Ⅲ）若恰有三個不同的零點，求的取值范圍． 【入選理由】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力．本題比較綜合，特別是第二問證明不等式問題是高考常考題型，故選此題. 8. 已知函數(shù)，. （Ⅰ）當(dāng)時，若不等式在上恒成立，求的取值范圍； （Ⅱ）已知且，求證：. 【解析】 （1）由題意知，函數(shù)的定義域為. ，令得. 當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減， 當(dāng)時,不等式在上恒成立，等價于在上恒成立， 設(shè)函數(shù) 由上面可知，在處取得極大值，也是最大值，∴. 【入選理由】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及最值、證明不等式等知識，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力及運算求解能力.（1） 利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求解；（2） 將不等式的證明合理轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解.此題難度較大，綜合性較強，符合高考試題特征，故選此題.