高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題三 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第3講 平面向量練習(xí) 理

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第3講平面向量1(2016課標(biāo)全國(guó)丙)已知向量，則ABC等于()A30 B45 C60 D120答案A解析|1，|1，cosABC，ABC30.2(2016山東)已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，則實(shí)數(shù)t的值為()A4 B4 C. D答案B解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4，故選B.3(2016天津)已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE2EF，則的值為()A B.C. D.答案B解析如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且DE2EF，所以，所以.又，則()2222.又|1，BAC60，故11.故選B.4(2016浙江)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若對(duì)任意單位向量e，均有|ae|be|，則ab的最大值是_答案解析由已知可得：|ae|be|aebe|(ab)e|，由于上式對(duì)任意單位向量e都成立|ab|成立6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.1.考查平面向量的基本定理及基本運(yùn)算，多以熟知的平面圖形為背景進(jìn)行考查，多為選擇題、填空題，難度中低檔.2.考查平面向量的數(shù)量積，以選擇題、填空題為主，難度低；向量作為工具，還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合，以解答題形式出現(xiàn).熱點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算1在平面向量的化簡(jiǎn)或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化2在用三角形加法法則時(shí)，要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)所得的向量；在用三角形減法法則時(shí)，要保證“同起點(diǎn)”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量例1(1)設(shè)0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan _.(2)(2016課標(biāo)全國(guó)乙)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A. B.C. D.答案(1)(2)A解析(1)因?yàn)閍b，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因?yàn)?0，得2sin cos ，tan .(2)3，3()，即43，.思維升華(1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算，要先選擇一組基底；同時(shí)注意共線向量定理的靈活運(yùn)用(2)運(yùn)算過(guò)程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系跟蹤演練1(1)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若，則等于()A1 B.C. D.(2)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么等于()A.B.C.D.答案(1)D(2)D解析(1)，2，即.故.(2)在CEF中，有.因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以.所以，故選D.熱點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義：ab|a|b|cos .2三個(gè)結(jié)論(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .例2(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，則的值是_(2)若b，|a|2|b|，且(ab)b2，則向量a，b的夾角為()A. B.C. D.答案(1)22(2)C解析(1)由3，得，.因?yàn)?，所以()()2，即222.又因?yàn)?25，264，所以22.(2)b2cos2cos2cos2sin21，所以|b|1，|a|2.由(ab)b2，可得abb22，故ab.故cosa，b.又a，b0，所以a，b，故選C.思維升華(1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的幾何意義；(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算跟蹤演練2(1)已知點(diǎn)A，B，C，D在邊長(zhǎng)為1的方格點(diǎn)圖的位置如圖所示，則向量在方向上的投影為()A B1C D.(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_(kāi)；的最大值為_(kāi)答案(1)A(2)11解析(1)不妨以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，易得(2,3)，(4,2)，所以向量在方向上的投影為.故選A.(2)方法一分別以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t0,1，則(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因?yàn)?1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值為1.方法二由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB1，|11，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為DC1，()max|11.熱點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)平面向量作為解決問(wèn)題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過(guò)向量運(yùn)算作為題目條件例3已知函數(shù)f(x)2cos2x2sin xcos x(xR)(1)當(dāng)x0，)時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c3，f(C)2，若向量m(1，sin A)與向量n(2，sin B)共線，求a，b的值解(1)f(x)2cos2xsin 2xcos 2xsin 2x12sin(2x)1，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，因?yàn)閤0，)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，(2)由f(C)2sin(2C)12，得sin(2C)，而C(0，)，所以2C(，)，所以2C，解得C.因?yàn)橄蛄縨(1，sin A)與向量n(2，sin B)共線，所以.由正弦定理得，由余弦定理得c2a2b22abcos，即a2b2ab9.聯(lián)立，解得a，b2.思維升華在平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題中，一方面用平面向量的語(yǔ)言表述三角函數(shù)中的問(wèn)題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識(shí)解決平面向量問(wèn)題，在解決此類問(wèn)題的過(guò)程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題跟蹤演練3已知平面向量a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，xR，函數(shù)f(x)a(bc)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f，求sin 的值解(1)因?yàn)閍(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，所以bc(sin xcos x，sin xcos x)，f(x)a(bc)sin x(sin xcos x)cos x(sin xcos x)則f(x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.則當(dāng)2k2x2k，kZ，即kxk，kZ時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.(2)由(1)知，f(x)sin，又f，則sin，sin.因?yàn)閟in2cos21，所以cos.又sin sinsincos cossin ，所以當(dāng)cos時(shí)，sin ；當(dāng)cos時(shí)，sin .1如圖，在ABC中，DEBC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設(shè)a，b，用a，b表示向量.則等于()A.(ab) B.(ab)C.(ab) D.(ab)押題依據(jù)平面向量基本定理是向量表示的基本依據(jù)，而向量表示(用基底或坐標(biāo))是向量應(yīng)用的基礎(chǔ)答案C解析因?yàn)镈EBC，所以DNBM，則ANDAMB，所以.因?yàn)椋?因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以()(ab)，所以(ab)故選C.2如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，2，則等于()A BC D押題依據(jù)數(shù)量積是平面向量最重要的概念，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是高考的必考內(nèi)容，和平面幾何知識(shí)的結(jié)合是向量考查的常見(jiàn)形式答案B解析2，圓O的半徑為1，|，()()2()()201.3在ABC中，(cos 32，cos 58)，(sin 60sin 118，sin 120sin 208)，則ABC的面積為()A. B.C. D.押題依據(jù)平面向量作為數(shù)學(xué)解題工具，通過(guò)向量的運(yùn)算給出條件解決三角函數(shù)問(wèn)題已成為近幾年高考的熱點(diǎn)答案B解析|1，所以| .則cos 32cos 28sin 32sin 28(cos 32cos 28sin 32sin 28)cos(3228)cos 60，故cos，.又，0，180，所以，60，故B180，18060120.故ABC的面積為S|sin B1sin 120.故選B.4如圖，在半徑為1的扇形AOB中，AOB60，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P，則的最小值是_押題依據(jù)本題將向量與平面幾何、最值問(wèn)題等有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了高考在知識(shí)交匯點(diǎn)命題的方向，本題解法靈活，難度適中答案解析因?yàn)椋?)2.又因?yàn)锳OB60，OAOB，所以O(shè)BA60，OB1.所以|cos 120|.所以|2(|)2.當(dāng)且僅當(dāng)|時(shí)，取得最小值.A組專題通關(guān)1在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若2，則等于()A. B.C D答案A解析在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，2，()，.2ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)答案D解析在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故選D.3在等腰ABC中，BAC90，ABAC2，2，3，則的值為()A BC. D.答案A解析由已知得到()()22，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC2，所以220022，故選A.4已知向量a，b滿足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為()A. B.C. D.答案B解析設(shè)a與b的夾角為，(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，1ab86，ab1|a|b|cos ，cos ，又0，故選B.5已知平面向量a、b(a0，ab)滿足|a|3，且b與ba的夾角為30，則|b|的最大值為()A2 B4 C6 D8答案C解析令a，b，則ba，如圖，b與ba的夾角為30，OBA30，|a|3，由正弦定理得，|b|6sinOAB6，故選C.6若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足53，則ABM與ABC的面積比值為_(kāi)答案解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由53，得3322，即32.如圖所示，故C，M，D三點(diǎn)共線，且，也就是ABM與ABC對(duì)于邊AB的兩高之比為35，則ABM與ABC的面積比值為.7設(shè)向量(5cos ，4sin )，(2,0)，則|的取值范圍是_答案4,6解析(3cos ，4sin )，|2(3cos )2(4sin )26cos 8sin 2610sin()26，其中tan ，16|236，4|6.8設(shè)向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種向量積ab(a1b1，a2b2)，已知向量m(2，)，n(，0)，點(diǎn)P(x，y)在ysin x的圖象上運(yùn)動(dòng)，Q是函數(shù)yf(x)圖象上的點(diǎn)，且滿足mn(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則函數(shù)yf(x)的值域是_答案，解析令Q(c，d)，由新的運(yùn)算可得mn(2x，sin x)(，0)(2x，sin x)，消去x得dsin(c)，yf(x)sin(x)，易知yf(x)的值域是，9已知函數(shù)f(x)sin xcos xsin2x(xR)(1)當(dāng)x時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值和最大值；(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c，f(C)2，若向量m(1，a)與向量n(2，b)共線，求a，b的值解(1)函數(shù)f(x)sin xcos xsin2x (xR)，f(x)sin 2xsin 2xcos 2x1sin1.x，2x，sin1，1sin12，f(x)的最小值是1，最大值是2.(2)f(C)sin12，sin1，0C，2C，2C，解得C.向量m(1，a)與向量n(2，b)共線，b2a0，即b2a.由余弦定理得，c2a2b22abcos ，即a2b2ab3.由得a1，b2.10已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函數(shù)f(x)bc的最小值及相應(yīng)x的值；(2)若a與b的夾角為，且ac，求tan 2的值解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，則2sin xcos xt21，且1t.則yt2t12，1t，t時(shí)，ymin，此時(shí)sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函數(shù)f(x)的最小值為，相應(yīng)x的值為.(2)a與b的夾角為，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.B組能力提高11已知非零單位向量a與非零向量b滿足|ab|ab|，則向量ba在向量a上的投影為()A1 B.C1 D答案C解析因?yàn)閨ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，解得ab0，所以向量ba在向量a上的投影為|ba|cosa，ba|a|1.12(2015課標(biāo)全國(guó))已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析由題意知a，b1，c，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線上，y1，即x22y，22y3y0，y00，a與b的夾角，且ab和ba都在集合|nZ中，則ab_.答案解析因?yàn)閍bcos cos ，bacos cos 1，又ab和ba都在集合|nZ中，所以bacos ，即，所以abcos 2cos21，所以1ab2，即ab.14在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點(diǎn)P(x，y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上(1)若0，求|；(2)設(shè)mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值解(1)方法一0，又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)，解得即(2,2)，故|2.方法二0，則()()()0，()(2,2)，|2.(2)mn，(x，y)(m2n，2mn)，兩式相減得，mnyx.令yxt，由圖知，當(dāng)直線yxt過(guò)點(diǎn)B(2,3)時(shí)，t取得最大值1，故mn的最大值為1.