高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題三 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第3講 平面向量練習 文

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第3講平面向量1(2016課標全國丙改編)已知向量，則ABC_.答案30解析|1，|1，cosABC，ABC30.2(2016山東改編)已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，則實數(shù)t的值為_答案4解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4.3(2016天津改編)已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連結(jié)DE并延長到點F，使得DE2EF，則的值為_答案解析如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點，且DE2EF，所以，所以.又，則()2222.又|1，BAC60，故11.4(2016浙江)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若對任意單位向量e，均有|ae|be|，則ab的最大值是_答案解析由已知可得：|ae|be|aebe|(ab)e|，由于上式對任意單位向量e都成立|ab|成立6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.1.考查平面向量的基本定理及基本運算，多以熟知的平面圖形為背景進行考查，多為填空題，難度中低檔.2.考查平面向量的數(shù)量積，以填空題為主，難度低；向量作為工具，還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合，以解答題形式出現(xiàn).熱點一平面向量的線性運算1在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化2在用三角形加法法則時，要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所得的向量；在用三角形減法法則時，要保證“同起點”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量例1(1)設0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan _.(2)如圖，在ABC中，已知2，以向量，向量作為基底，則向量可表示為_答案(1)(2)解析(1)因為ab，所以sin 2cos2，即2sin cos cos2.因為00，得2sin cos ，tan .(2)根據(jù)平面向量的運算法則及已知圖形可知().思維升華(1)對于平面向量的線性運算，要先選擇一組基底；同時注意共線向量定理的靈活運用(2)運算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關系跟蹤演練1(1)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么以向量和向量為基底，向量可表示為_(2)如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中點，若，則的值為_答案(1)(2)解析(1)在CEF中，有.因為點E為DC的中點，所以.因為點F為BC的一個三等分點，所以.所以.(2)因為E為DC的中點，所以，即，所以，1，所以.熱點二平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義：ab|a|b|cos .2三個結(jié)論(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .例2(1)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值是_(2)若b，|a|2|b|，且(ab)b2，則向量a，b的夾角為_答案(1)(2)解析(1)以A為原點，建立如圖所示的坐標系，可得A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)，(，0)，(x,2)，x，解得x1，F(xiàn)(1,2)(，1)，(1，2)，(1)12.(2)b2cos2cos2cos2sin21，所以|b|1，|a|2.由(ab)b2，可得abb22，故ab，故cosa，b.又a，b0，所以a，b.思維升華(1)數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標運算，數(shù)量積的幾何意義；(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進行計算跟蹤演練2(1)已知點A，B，C，D在邊長為1的方格點圖的位置如圖所示，則向量在方向上的投影為_(2)如圖，在ABC中，ABAC3，cosBAC，2，則的值為_答案(1)(2)2解析(1)不妨以點A為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，易得(2,3)，(4,2)，所以向量在方向上的投影為.(2)()()()()()226132.熱點三平面向量與三角函數(shù)平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件例3已知函數(shù)f(x)2cos2x2sin xcos x(xR)(1)當x0，)時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c3，f(C)2，若向量m(1，sin A)與向量n(2，sin B)共線，求a，b的值解(1)f(x)2cos2xsin 2xcos 2xsin 2x12sin(2x)1，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，因為x0，)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，(2)由f(C)2sin(2C)12，得sin(2C)，而C(0，)，所以2C(，)，所以2C，解得C.因為向量m(1，sin A)與向量n(2，sin B)共線，所以.由正弦定理得，由余弦定理得c2a2b22abcos，即a2b2ab9.聯(lián)立，解得a，b2.思維升華在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題跟蹤演練3已知ABC是銳角三角形，向量m，n，且mn.(1)求AB的值；(2)若cos B，AC8，求BC的長解(1)因為mn，所以mncoscos Bsinsin Bcos0，又A，B，所以，所以AB，即AB.(2)因為cos B，B，所以sin B，所以sin Asinsin Bcoscos Bsin ，由正弦定理，得BCAC843.1如圖，在ABC中，DEBC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設a，b，用a，b表示向量，則_.押題依據(jù)平面向量基本定理是向量表示的基本依據(jù)，而向量表示(用基底或坐標)是向量應用的基礎答案(ab)解析因為DEBC，所以DNBM，則ANDAMB，所以.因為，所以.因為M為BC的中點，所以()(ab)，所以(ab)2如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，2，則_.押題依據(jù)數(shù)量積是平面向量最重要的概念，平面向量數(shù)量積的運算是高考的必考內(nèi)容，和平面幾何知識的結(jié)合是向量考查的常見形式答案解析2，圓O的半徑為1，|，()()2()()201.3在ABC中，(cos 32，cos 58)，(sin 60sin 118，sin 120sin 208)，則ABC的面積為_押題依據(jù)平面向量作為數(shù)學解題工具，通過向量的運算給出條件解決三角函數(shù)問題已成為近幾年高考的熱點答案解析|1，所以| .則cos 32cos 28sin 32sin 28(cos 32cos 28sin 32sin 28)cos(3228)cos 60，故cos，.又，0，180，所以，60，故B180，18060120.故ABC的面積為S|sin B1sin 120.4如圖，在半徑為1的扇形AOB中，AOB60，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則的最小值是_押題依據(jù)本題將向量與平面幾何、最值問題等有機結(jié)合，體現(xiàn)了高考在知識交匯點命題的方向，本題解法靈活，難度適中答案解析因為，所以()2.又因為AOB60，OAOB，所以OBA60，OB1.所以|cos 120|，所以|2(|)2，當且僅當|時，取得最小值.A組專題通關1在ABC中，已知D是AB邊上一點，若2，則_.答案解析在ABC中，已知D是AB邊上一點，2，()，.2ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的是_|b|1; ab；ab1; (4ab).答案解析在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab).3在等腰ABC中，BAC90，ABAC2，2，3，則_.答案解析由已知得到()()22，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC2，所以220022.4(2016天津薊縣期中)已知向量a，b滿足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為_答案解析設a與b的夾角為，(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，1ab86，ab1|a|b|cos ，cos ，又0，.5(2016安徽江淮十校第二次聯(lián)考)已知平面向量a、b(a0，ab)滿足|a|3，且b與ba的夾角為30，則|b|的最大值為_答案6解析令a，b，則ba，如圖，b與ba的夾角為30，OBA30，|a|3，由正弦定理得，|b|6sinOAB6.6已知向量a(2,1)，b(1，2)，若a，b在向量c方向上的投影相等，且(ca)(cb)，則向量c的坐標為_答案(，)解析設c(x，y)，根據(jù)題意有解得7設向量(5cos ，4sin )，(2,0)，則|的取值范圍是_答案4,6解析(3cos ，4sin )，|2(3cos )2(4sin )26cos 8sin 2610sin()26，其中tan ，16|236，4|6.8設向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種向量積ab(a1b1，a2b2)，已知向量m(2，)，n(，0)，點P(x，y)在ysin x的圖象上運動，Q是函數(shù)yf(x)圖象上的點，且滿足mn(其中O為坐標原點)，則函數(shù)yf(x)的值域是_答案，解析令Q(c，d)，由新的運算可得mn(2x，sin x)(，0)(2x，sin x)，消去x得dsin(c)，yf(x)sin(x)，易知yf(x)的值域是，9設向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，(1)若|a|b|，求x的值；(2)設函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值解(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x0，從而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin(2x)，當x0，時，sin(2x)取最大值1，所以f(x)的最大值為.10已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函數(shù)f(x)bc的最小值及相應x的值；(2)若a與b的夾角為，且ac，求tan 2的值解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，則2sin xcos xt21，且1t.則yt2t12，1t，t時，ymin，此時sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函數(shù)f(x)的最小值為，相應x的值為.(2)a與b的夾角為，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.B組能力提高11已知非零單位向量a與非零向量b滿足|ab|ab|，則向量ba在向量a上的投影為_答案1解析因為|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，解得ab0，所以向量ba在向量a上的投影為|ba|cosa，ba|a|1.12已知點P為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足()(R)，則直線AP必經(jīng)過ABC的_心答案垂解析()|0，與()垂直，點P在BC的高線上，即直線AP經(jīng)過ABC的垂心13若a(2，1)，b(3，)，若a，b為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是_答案(，3)(3，)解析a(2，1)，b(3，)，ab3(2)0，得.若a，b共線，則(2)30，解得3或1.即當3時，a，b方向相反，又a，b為鈍角，則且3.14在直角坐標系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點P(x，y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上(1)若0，求|；(2)設mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值解(1)方法一0，又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)，解得即(2,2)，故|2.方法二0，則()()()0，()(2,2)，|2.(2)mn，(x，y)(m2n，2mn)，兩式相減得，mnyx.令yxt，由圖知，當直線yxt過點B(2,3)時，t取得最大值1，故mn的最大值為1.