高中數(shù)學(xué) 階段質(zhì)量檢測（二）新人教A版選修2-1

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階段質(zhì)量檢測（二）(A卷學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo))(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本題共10小題，每小題6分，共60分)1拋物線y4x2的準(zhǔn)線方程是()Ax1Bx1Cy Dy解析：選D由拋物線方程x2y，可知拋物線的準(zhǔn)線方程是y.2(新課標(biāo)全國卷)已知雙曲線1(a0)的離心率為2，則a()A2 B.C. D1解析：選D因?yàn)殡p曲線的方程為1，所以e214，因此a21，a1.3是任意實(shí)數(shù)，則方程x2y2sin 4的曲線不可能是()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D圓解析：選C由于R，對(duì)sin 的值舉例代入判斷：sin 可以等于1，這時(shí)曲線表示圓；sin 可以小于0，這時(shí)曲線表示雙曲線；sin 可以大于0且小于1，這時(shí)曲線表示橢圓4設(shè)雙曲線1(a0，b0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為()Ayx By2xCyx Dyx解析：選C由已知得到b1，c，a，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故漸近線方程為yxx.5設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線C的離心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或解析：選A設(shè)|PF1|4k，|F1F2|3k，|PF2|2k.若曲線C為橢圓，則2a6k,2c3k，e；若曲線C為雙曲線，則2a2k,2c3k，e.6若點(diǎn)P到直線x1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線解析：選D由題意得點(diǎn)P到直線x2的距離與它到點(diǎn)(2,0)的距離相等，因此點(diǎn)P的軌跡是拋物線7(山東高考)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選D因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.雙曲線的漸近線方程為yx，代入橢圓方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，y b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為4 b bb216，所以b25，所以橢圓方程為1.8已知|3，點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，O為原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是()A.y21 Bx21C.y21 Dx21解析：選A設(shè)P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)(0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，所以x0x，y03y.因?yàn)閨3，所以xy9，即2(3y)29，化簡整理得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是y21.9探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑為60 cm，燈深40 cm，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()Ay2x By2xCx2y Dx2y解析：選C如果設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，則拋物線過點(diǎn)(40,30)，從而有3022p40，即2p，所以所求拋物線方程為y2x.雖然選項(xiàng)中沒有y2x，但C中的2p，符合題意10已知直線yk(x2)(k0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|2|FB|，則k()A. B.C. D.解析：選D將yk(x2)代入y28x，得k2x2(4k28)x4k20.設(shè)A(x1，y1), B(x2，y2)，則x1x2，x1x24.拋物線y28x的準(zhǔn)線方程為x2，由|FA|2|FB|及拋物線定義得x122(x22)，即x122x2，代入x1x24，整理得xx220，解得x21或x22(舍去)所以x14，5，解得k2.又因?yàn)閗0，所以k.二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)11以雙曲線1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為_解析：雙曲線焦點(diǎn)(4,0)，頂點(diǎn)(2,0)，故橢圓的焦點(diǎn)為(2,0)，頂點(diǎn)(4,0)答案：112設(shè)F1，F(xiàn)2為曲線C1：1的焦點(diǎn)，P是曲線C2：y21與C1的一個(gè)交點(diǎn)，則PF1F2的面積為_解析：由題意知|F1F2|24，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)由得則SPF1F2|F1F2|y|4.答案：13已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：y2x4.點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)若，則點(diǎn)P的軌跡方程為_解析：設(shè)P(x，y)，R(a,2a4)，則(1a,42a)，(x1，y)，消去a得y2x.答案：y2x14已知二次曲線1，當(dāng)m2，1時(shí)，該曲線的離心率的取值范圍是_解析：m2，1，曲線方程化為1，曲線為雙曲線，e.m2，1，e.答案：，三、解答題(本題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分10分)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，并且這條準(zhǔn)線與雙曲線的兩焦點(diǎn)的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點(diǎn)P，求拋物線的方程和雙曲線的方程解：依題意，設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，點(diǎn)P在拋物線上，62p，p2，所求拋物線的方程為y24x.雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x1上，c1，即a2b21.又點(diǎn)P在雙曲線上，1，解方程組得或(舍去)所求雙曲線的方程為4x2y21.16(本小題滿分12分)已知拋物線方程為y22x，在y軸上截距為2的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若OMON，求直線l的方程解：設(shè)直線l的方程為ykx2，由消去x得ky22y40.直線l與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，解得k且k0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2，從而x1x2.OMON，x1x2y1y20，即0，解得k1符合題意，直線l的方程為yx2.17(本小題滿分12分)已知橢圓C的焦點(diǎn)F1(，0)和F2(，0)，長軸長為4，設(shè)直線yx2交橢圓C于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)求弦AB的長解：(1)橢圓C的焦點(diǎn)為F1(，0)和F2(，0)，長軸長為4，設(shè)所求橢圓的方程為1(ab0)，則依題意有a2，c，b2a2c22.橢圓C的方程為：1.(2)聯(lián)立消去y得3x28x40，設(shè)直線與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則由根與系數(shù)的關(guān)系有x1x2，x1x2，所以由弦長公式：|AB| .18(本小題滿分12分)已知橢圓1及直線l：yxm，(1)當(dāng)直線l與該橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值解：(1)由消去y，并整理得9x26mx2m2180.上面方程的判別式36m236(2m218)36(m218)直線l與橢圓有公共點(diǎn)，0，據(jù)此可解得3 m3 .故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為3 ，3 (2)設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x1x2，x1x2，故|AB| ，當(dāng)m0時(shí)，直線l被橢圓截得的弦長的最大值為.19(本小題滿分12分)設(shè)有一顆彗星繞地球沿一拋物線型軌道運(yùn)行，地球恰好位于該拋物線軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球?yàn)閐(萬千米)時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為60，求這顆彗星與地球的最短距離解：設(shè)彗星的軌道方程為y22px(p0)，焦點(diǎn)為F(，0)，彗星位于點(diǎn)P(x0，y0)處，直線PF的方程為y，解方程組消去y得12x220px3p20.得xp或x，故x0或x0.由拋物線定義得|PF|x02p或|PF|p.由|PF|d，得p或pd，由于拋物線的頂點(diǎn)是拋物線上距離焦點(diǎn)最近的點(diǎn)，而焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離為，所以彗星與地球的最短距離為d萬千米或d萬千米(p點(diǎn)在F點(diǎn)的左邊與右邊時(shí)，所求距離取不同的值)20(本小題滿分12分)已知橢圓1(ab0)的離心率e，過點(diǎn)A(0，b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的方程(2)已知定點(diǎn)E(1,0)，若直線ykx2(k0)與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)，請(qǐng)說明理由解：(1)直線AB方程為：bxayab0.依題意解得橢圓方程為y21.(2)假若存在這樣的k值，由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E(1,0)，當(dāng)且僅當(dāng)CEDE時(shí)，則1，即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.將式代入整理解得k.經(jīng)驗(yàn)證k使成立綜上可知，存在k，使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E.(B卷能力素養(yǎng)提升)(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本題共10小題，每小題6分，共60分)1焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，實(shí)軸長6，焦距長10，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：選D由題意得a3，c5，則b2c2a216，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.2已知過拋物線y26x焦點(diǎn)的弦長為12，則此弦所在直線的傾斜角是()A.或 B.或C.或 D.解析：選B由焦點(diǎn)弦長公式|AB|得12，sin ，或.3平面內(nèi)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足方程 ，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D直線解析：選C方程的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)(1,1)的距離與到定直線xy20的距離相等，由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是拋物線4已知點(diǎn)O(0,0)，A(1，2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|3|PO|，則點(diǎn)P的軌跡方程是()A8x28y22x4y50B8x28y22x4y50C8x28y22x4y50D8x28y22x4y50解析：選A設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則3，整理得8x28y22x4y50.5已知m是兩個(gè)正數(shù)2,8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x21的離心率是()A.或 B.C. D.或解析：選D由題意知m216，m4，當(dāng)m4時(shí)，x21表示橢圓，其離心率為e；當(dāng)m4時(shí)，x21表示雙曲線，其離心率為e.6方程mxny20與mx2ny21(mn0)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是()ABCD解析：選A把兩個(gè)方程都化為標(biāo)準(zhǔn)形式得y2x，1，由選項(xiàng)C、D知方程mx2ny21表示橢圓，則m0，n0，則y2x是焦點(diǎn)在x軸上，開口向左的拋物線，故排除C和D；由選項(xiàng)A和B知，方程mx2ny21表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則n0，m0，b0)，則漸近線方程為0，即yx，所以解得則雙曲線方程為1.(2)直線的傾斜角為，直線的斜率為， 故直線方程為y(x5)，即xy50.16(本小題滿分12分)已知橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列且它們有一個(gè)公共的焦點(diǎn)(4,0)，其中雙曲線的一條漸近線方程為yx，求三條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故其方程可設(shè)為1(a0，b0)，又因?yàn)樗囊粭l漸近線方程為yx，所以，即 .解得e2，因?yàn)閏4，所以a2，ba2，所以雙曲線方程為1.因?yàn)闄E圓、拋物線、雙曲線的離心率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，所以這個(gè)等比數(shù)列的中間項(xiàng)一定是拋物線的離心率1，由等比數(shù)列性質(zhì)可得橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，因此，橢圓的離心率為，設(shè)橢圓方程為1(a1b10)，則c4，a18，b824248.所以橢圓的方程為1.易知拋物線的方程為y216x.17(本小題滿分12分)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的正半軸的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：y2x1與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長度解：(1)由題意可知p2，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y.(2)直線l：y2x1過拋物線的焦點(diǎn)F(0,1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|y1y2py1y22，聯(lián)立得x28x40，x1x28，|AB|y1y222x112x2122(x1x2)420.18(本小題滿分12分)已知F1，F(xiàn)2是橢圓1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且F1F20，O是以F1F2為直徑的圓，直線l：ykxm與O相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求k的值解：(1)依題意，可知PF1F1F2，c1，1，a2b2c2，解得a22，b21，c21，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)直線l：ykxm與O：x2y21相切，則1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，0k20k0，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，x1x2y1y2，k1.19(本小題滿分12分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)(1)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的斜率k的取值范圍解：(1)設(shè)P(x，y)，則解得故P.(2)由題意知直線l的斜率存在，所以可設(shè)直線l的方程為ykx2，將其代入橢圓方程，得(14k2)x216kx120，0k2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由AOB為銳角可得，0x1x2y1y20(1k2)x1x22k(x1x2)40，即(1k2)2k40，解得k24，綜上，k的取值范圍為.20(本小題滿分12分)已知F1、F2為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，且有|PF1|PF2|4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F1的直線l1與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，過F2與l1平行的直線l2與橢圓E交于C、D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD的最大值解：(1)設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由已知|PF1|PF2|4得2a4，a2，又點(diǎn)P在橢圓上，1，b.橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意可知，四邊形ABCD為平行四邊形，S四邊形ABCD4SOAB，設(shè)直線AB的方程為xmy1，且A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得(3m24)y26my90，y1y2，y1y2，SOABSOF1ASOF1B|OF1|y1y2|y1y2| 6 ，令m21t，則t1，SOAB6 6 ，又g(t)9t在1，)上單調(diào)遞增，g(t)g(1)10，SOAB的最大值為，所以S四邊形ABCD的最大值為6.