九年級(jí)數(shù)學(xué) 第2講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問(wèn)題教案.doc

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知識(shí)講解二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)綜合；等腰三角形的性質(zhì)與判定；相似三角形的性質(zhì)；教學(xué)目標(biāo)1. 熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問(wèn)題2靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)重點(diǎn)巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問(wèn)題；教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問(wèn)題；知識(shí)講解 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的三種表達(dá)形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式；頂點(diǎn)式：y=a（xh）2+k，通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點(diǎn)式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)x1，x2才能求出此解析式；對(duì)于y=ax2+bx+c而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）對(duì)于y=a（xh）2+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)考點(diǎn)2 等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）。2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合（簡(jiǎn)寫成“等腰三角形的三線合一性質(zhì)”）。3.等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。6.等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）。7.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，（不是等邊三角形的情況下）只有一條對(duì)稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸，等邊三角形有三條對(duì)稱軸。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形的腰與它的高的直接的關(guān)系是：腰大于高。間接的關(guān)系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方?？键c(diǎn)3 探究等腰三角形的一般思路探究等腰三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，具體方法如下：（1）假設(shè)結(jié)論成立；（2）找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是等腰的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知直線上滿足條件的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫弧，若所畫弧與數(shù)軸或拋物線有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫弧與數(shù)軸或拋物線無(wú)交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長(zhǎng)的垂直平分線，若作出的垂直平分線與數(shù)軸或拋物線有交點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線與數(shù)軸或拋物線無(wú)交點(diǎn)，則滿足條件的點(diǎn)不存在。以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn)；（3）計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過(guò)添加輔助線構(gòu)造相似三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。例題精析例1 如圖，拋物線y- x2+ x-4與x軸相交于點(diǎn)、，與y軸相交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)。是拋物線在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)、不在同一條直線上）。分別過(guò)點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為、，連接、。（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果），并證明是等腰三角形；（2）能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，說(shuō)明理由；（3）若將“是拋物線在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)、不在同一條直線上）”改為“是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，其他條件不變，能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果），若不能，說(shuō)明理由。例2如圖，已知拋物線y=x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（2，0）（1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷AOC與COB是否相似？并說(shuō)明理由；（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例3如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為x=1（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0m3）得到另一個(gè)三角形，將所得的三角形與ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S 例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2（m+n）x+mn（mn）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（1）若m=2，n=1，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），求ACB的大??；（3）若m=2，ABC是等腰三角形，求n的值 例5如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過(guò)點(diǎn)M（2，），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（1，），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使QBM的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由課程小結(jié)有針對(duì)性的對(duì)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問(wèn)題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問(wèn)題時(shí)，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出等腰三角形，并能運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，掌握此類問(wèn)題的解題思路及技巧是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例1【規(guī)范解答】（1）拋物線解析式為y=x2+ x4，令y=0，即x2+ x4=0，解得x=1或x=5，A（1，0），B（5，0）如答圖1所示，分別延長(zhǎng)AD與EM，交于點(diǎn)F；ADPC，BEPC，ADBE，MAF=MBE；在AMF與BME中，MAF=MBE，MA=MB,AMF=BME；AMFBME（ASA），ME=MF，即點(diǎn)M為RtEDF斜邊EF的中點(diǎn)，MD=ME，即MDE是等腰三角形（2）能；拋物線解析式為y=x2+ x4=（x3）2+ ，對(duì)稱軸是直線x=3，M（3，0）；令x=0，得y=4，C（0，4）MDE為等腰直角三角形，有3種可能的情形；若DEEM，由DEBE，可知點(diǎn)E、M、B在一條直線上，而點(diǎn)B、M在x軸上，因此點(diǎn)E必然在x軸上，由DEBE，可知點(diǎn)E只能與點(diǎn)O重合，即直線PC與y軸重合，不符合題意，故此種情況不存在；若DEDM，與同理可知，此種情況不存在；若EMDM，如答圖2所示 設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，EMDM，MNAM，EMN=DMA在ADM與NEM中，EMN=DMA，EM=DM,ADM=NEM=135；ADMNEM（ASA），MN=MA拋物線解析式為y=x2+x4=（x3）2+，故對(duì)稱軸是直線x=3，M（3，0），MN=MA=2，N（3，2）設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，點(diǎn)N（3，2），C（0，4）在拋物線上， ，解得k=2，b=4，y=2x4，將y=2x4代入拋物線解析式得2x4=x2+x4解得x=0或x=，當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)C；當(dāng)x=時(shí)，y=2x4=3P（ ，3）綜上所述，MDE能成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（ ，3）（3）能；如答題3所示，設(shè)對(duì)稱軸與直線PC交于點(diǎn)N；與（2）同理，可知若MDE為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M；MDME，MAMN，DMN=EMB在DMN與EMB中，DMN=EMB，MD=MB,MDN=MEB=45；DMNEMB（ASA），MN=MB；N（3，2）設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，點(diǎn)N（3，2），C（0，4）在拋物線上，解得k=，b=4，y=x4，將y=x4代入拋物線解析式得x4=x2+x4，解得x=0或x= ，當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)C；當(dāng)x= 時(shí)，y=x4=，P（，）綜上所述，MDE能成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（ ， ）【總結(jié)與反思】（1）在拋物線解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造全等三角形AMFBME，得到點(diǎn)M為為RtEDF斜邊EF的中點(diǎn)，從而得到MD=ME，問(wèn)題得證；（2）首先分析，若MDE為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M；如答圖2所示，設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，首先證明ADMNEM，得到MN=AM，從而求得點(diǎn)N坐標(biāo)為（3，2）；其次利用點(diǎn)N、點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線PC的解析式；最后聯(lián)立直線PC與拋物線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，解題思路與（2）完全相同；例2【規(guī)范解答】（1）拋物線y=x2+bx+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，拋物線解析式為 y=x2+x+4，又y=x2+x+4=（x3）2+，對(duì)稱軸方程為：x=3（2）在y=x2+x+4中，令x=0，得y=4，C（0，4）；令y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=0，解得：x=8或x=2，A（2，0），B（8，0）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：，解得k=，b=4，直線BC的解析式為：y=x+4（3）可判定AOCCOB成立理由如下：在AOC與COB中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90，AOCCOB（4）拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=3，可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：AC=，AQ=，CQ=當(dāng)AQ=CQ時(shí)，有=，25+t2=t28t+16+9，解得t=0，Q1（3，0）；當(dāng)AC=AQ時(shí)，有=，t2=5，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，此時(shí)ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；當(dāng)AC=CQ時(shí)，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4，點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+），Q3（3，4）綜上所述，存在點(diǎn)Q，使ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）【總結(jié)與反思】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對(duì)稱軸方程；（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0，可求出點(diǎn)B坐標(biāo)再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；（3）根據(jù)，AOC=BOC=90，可以判定AOCCOB；（4）本問(wèn)為存在型問(wèn)題若ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計(jì)算，避免漏解例3【規(guī)范解答】解：（1）由題意可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則，解得故拋物線的解析式為y=x2+2x+3（2）當(dāng)MA=MB時(shí)，M（0，0）；當(dāng)AB=AM時(shí)，M（0，3）；當(dāng)AB=BM時(shí)，M（0，3+3）或M（0，33）所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，0）、（0，3）、（0，3+3）、（0，33）（3）平移后的三角形記為PEF設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則，解得則直線AB的解析式為y=x+3AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0m3）得到PEF，易得直線EF的解析式為y=x+3+m設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則，解得則直線AC的解析式為y=2x+6連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）在AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中當(dāng)0m時(shí)，如圖1所示設(shè)PE交AB于K，EF交AC于M則BE=EK=m，PK=PA=3m，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)M（3m，2m）故S=SPEFSPAKSAFM=PE2PK2AFh=（3m）2m2m=m2+3m當(dāng)m3時(shí)，如圖2所示設(shè)PE交AB于K，交AC于H因?yàn)锽E=m，所以PK=PA=3m，又因?yàn)橹本€AC的解析式為y=2x+6，所以當(dāng)x=m時(shí)，得y=62m，所以點(diǎn)H（m，62m）故S=SPAHSPAK=PAPHPA2=（3m）（62m）（3m）2=m23m+綜上所述，當(dāng)0m時(shí)，S=m2+3m；當(dāng)m3時(shí)，S=m23m+【總結(jié)與反思】（1）根據(jù)對(duì)稱軸可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=x2+2x+3（2）分三種情況：當(dāng)MA=MB時(shí)；當(dāng)AB=AM時(shí)；當(dāng)AB=BM時(shí)；三種情況討論可得點(diǎn)M的坐標(biāo)（3）平移后的三角形記為PEF根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=x+3易得直線EF的解析式為y=x+3+m根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）在AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中分二種情況：當(dāng)0m時(shí)；當(dāng)m3時(shí)；討論可得用m的代數(shù)式表示S例4【規(guī)范解答】解：（1）y=x2（m+n）x+mn=（xm）（xn），x=m或x=n時(shí)，y都為0，mn，且點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，A（m，0），B（n，0）m=2，n=1，A（2，0），B（1，0）（2）拋物線y=x2（m+n）x+mn（mn）過(guò)C（0，1），1=mn，n=，B（n，0），B（，0）AO=m，BO=，CO=1AC=，BC=，AB=AO+BO=m，（m）2=（）2+（）2，AB2=AC2+BC2，ACB=90（3）A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，A（2，0），B（n，0），C（0，2n）AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，AC=，BC=|n|，AB=xAxB=2n當(dāng)AC=BC時(shí)，=|n|，解得n=2（A、B兩點(diǎn)重合，舍去）或n=2；當(dāng)AC=AB時(shí)，=2n，解得n=0（B、C兩點(diǎn)重合，舍去）或n=；當(dāng)BC=AB時(shí)，|n|=2n，當(dāng)n0時(shí)，n=2n，解得n=，當(dāng)n0時(shí)，n=2n，解得n=綜上所述，n=2，時(shí)，ABC是等腰三角形【總結(jié)與反思】（1）已知m，n的值，即已知拋物線解析式，求解y=0時(shí)的解即可此時(shí)y=x2（m+n）x+mn=（xm）（xn），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推薦此方式，因?yàn)楹髥?wèn)用到的可能性比較大（2）求ACB，我們只能考慮討論三角形ABC的形狀來(lái)判斷，所以利用條件易得1=mn，進(jìn)而可以用m來(lái)表示A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，又C已知，則易得AB、BC、AC邊長(zhǎng)討論即可（3）ABC是等腰三角形，即有三種情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC由（2）我們可以用n表示出其三邊長(zhǎng)，則分別考慮列方程求解n即可例5【規(guī)范解答】解：（1）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（1，），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+，將M（2，）代入，得=a（2+1）2+，解得a=，故所求拋物線的解析式為y=x2x+；（2）y=x2x+，x=0時(shí)，y=，C（0，）y=0時(shí)，x2x+=0，解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），BC=2設(shè)P（1，m），顯然PBPC，所以當(dāng)CP=CB時(shí)，有CP=2，解得m=；當(dāng)BP=BC時(shí)，有BP=2，解得m=2綜上，當(dāng)PBC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，+），（1，），（1，2），（1，2）；（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC2+AC2=AB2，即BCAC連結(jié)BC并延長(zhǎng)至B，使BC=BC，連結(jié)BM，交直線AC于點(diǎn)Q，B、B關(guān)于直線AC對(duì)稱，QB=QB，QB+QM=QB+QM=MB，又BM=2，所以此時(shí)QBM的周長(zhǎng)最小由B（3，0），C（0，），易得B（3，2）設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n，將M（2，），B（3，2）代入，得，解得，即直線MB的解析式為y=x+同理可求得直線AC的解析式為y=x+由，解得，即Q（，）所以在直線AC上存在一點(diǎn)Q（，），使QBM的周長(zhǎng)最小【總結(jié)與反思】（1）先由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（1，），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+，再將M（2，）代入，得=a（2+1）2+，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式；（2）先求出拋物線y=x2x+與x軸交點(diǎn)A、B，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC=2設(shè)P（1，m），顯然PBPC，所以當(dāng)PBC為等腰三角形時(shí)分兩種情況進(jìn)行討論：CP=CB；BP=BC；（3）先由勾股定理的逆定理得出BCAC，連結(jié)BC并延長(zhǎng)至B，使BC=BC，連結(jié)BM，交直線AC于點(diǎn)Q，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知此時(shí)QBM的周長(zhǎng)最小，由B（3，0），C（0，），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B（3，2），再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線MB的解析式為y=x+，直線AC的解析式為y=x+，然后解方程組，即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)