九年級(jí)數(shù)學(xué) 第4講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題教案.doc

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復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)綜合；平行四邊形的性質(zhì)及判定； 教學(xué)目標(biāo)1. 熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問題2靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)重點(diǎn)巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題；教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問題；復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1. 定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2. 性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行； 平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等； 平行四邊形兩組對(duì)角分別相等； 平行四邊形的對(duì)角線互相平分；3. 判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形； 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形； 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形； 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；知識(shí)講解考點(diǎn)1 二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的三種表達(dá)形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式；頂點(diǎn)式：y=a（xh）2+k，通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點(diǎn)式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)x1，x2才能求出此解析式；對(duì)于y=ax2+bx+c而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）對(duì)于y=a（xh）2+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)考點(diǎn)2 探究平行四邊形的一般思路在探究平行四邊形的存在性問題時(shí)，具體方法如下：（1）假設(shè)結(jié)論成立；（2）探究平行四邊形存在問題一般是已知平行四邊形的3個(gè)頂點(diǎn)，再去求另外一個(gè)頂點(diǎn)，具體方法有兩種：第一種是：從給定的3個(gè)頂點(diǎn)中任選2個(gè)定點(diǎn)確定的線段作為探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€分別作出平行四邊形；根據(jù)題干要求找出符合條件的平行四邊形；第二種是：以給定的3個(gè)定點(diǎn)兩兩組合成3條線段，分別以這3條線段為對(duì)角線作出平行四邊形；根據(jù)題干要求找出符合條件的平行四邊形；（3）建立關(guān)系式，并計(jì)算；根據(jù)以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，要具體情況具體分析，有時(shí)也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解。例題精析例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，MAB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線yx上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo) 例2如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；（2）連結(jié)BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF/DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？設(shè)BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系例3如圖，拋物線與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2（1）求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值；A（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由 例4如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3,0），點(diǎn)B（1,0），交y軸于點(diǎn)E（0，-3），點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸平行，直線y=-x+m過點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D.（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長度的最大值；AxBCDHEFGKOxylABCDHEFGKOyl備用圖圖（3）在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo).課程小結(jié)有針對(duì)性的對(duì)平行四邊形的性質(zhì)及判定與二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題時(shí)，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出平行四邊形，并能運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。例1【規(guī)范解答】(1) 因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4,0)、C(2,0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x4)(x2)代入點(diǎn)B(0,4)，求得所以拋物線的解析式為(2)如圖2，直線AB的解析式為yx4過點(diǎn)M作x軸的垂線交AB于D，那么所以因此當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為4(3) 如果以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況討論：當(dāng)OB為一邊時(shí)，那么PQ/OB，PQOB4設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，解得此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（如圖3），或（如圖4）當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，解得或（與點(diǎn)O重合，舍去）此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,4) （如圖5） 圖3 圖4 圖5當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，PQ、OB互相平分，PB/OQ（如圖6），此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,4) 圖6【總結(jié)與反思】1求拋物線的解析式，設(shè)交點(diǎn)式比較簡便2把MAB分割為共底MD的兩個(gè)三角形，高的和為定值OA3當(dāng)PQ與OB平行且相等時(shí)，以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，按照P、Q的上下位置關(guān)系，分兩種情況列方程例2【規(guī)范解答】（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）拋物線的對(duì)稱軸是x1（2）直線BC的解析式為yx3把x1代入yx3，得y2所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）把x1代入，得y4所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）因此DE=2因?yàn)镻F/DE，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，因此當(dāng)四邊形PEDF是平行四邊形時(shí)，DE=FP于是得到解得，（與點(diǎn)E重合，舍去）因此，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF是平行四邊形時(shí)設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，那么OM+BM=OB=3因此m的變化范圍是0m3 圖2 圖3【總結(jié)與反思】1數(shù)形結(jié)合，用函數(shù)的解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長2當(dāng)四邊形PEDF為平行四邊形時(shí)，根據(jù)DE=FP列關(guān)于m的方程3把BCF分割為兩個(gè)共底FP的三角形，高的和等于OB例3【規(guī)范解答】解：（1）令y=0，解得x1=1或x2=3，A（1，0），B（3，0），將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2， 代入y=x22x3，得：y=3，C（2，3）；直線AC的函數(shù)解析式是：y=x1；（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（1x2），則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，x1），E（x，x22x3），P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（x1）（x22x3）=x2+x+2=（x）2+，當(dāng)x=時(shí)，PE的最大值=；（3）存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是：F1（1，0），F(xiàn)2（3，0），F(xiàn)3（4+，0），F(xiàn)4（4，0）如圖1，連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，那么CGx軸，此時(shí)AF=CG=2，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0）；如圖2，AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；如圖3，此時(shí)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對(duì)稱，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中，即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為：y=x+h，將G點(diǎn)代入后，可得出直線的解析式為：y=x+7因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（4+，0）；如圖4，同可求出F的坐標(biāo)為：（4，0）；綜合四種情況可得出，存在4個(gè)符合條件的F點(diǎn)【總結(jié)與反思】1. 拋物線與x軸的交點(diǎn)即為A和B，再將A和C帶入求解直線方程。2. 將點(diǎn)P和點(diǎn)E坐標(biāo)設(shè)出后，求解最大值。3. 將已知AC邊作為邊或者對(duì)角線分類討論求出點(diǎn)坐標(biāo)。例4【規(guī)范解答】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-1)(x+3). 拋物線交y軸于點(diǎn)E（0，-3），將該點(diǎn)坐標(biāo)代入得a=1,拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3. (2) 點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（1,0），點(diǎn)C的坐標(biāo)（5,0）. 將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=-x+m,得m=5，直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+5.設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為（t,0）,則H點(diǎn)坐標(biāo)為(t,-t+5),點(diǎn)G的坐標(biāo)為（t,t2+2t-3）.點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，-3t1.HG=(-t+5)-(t2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+)2+.-3t1. 當(dāng)t=-時(shí)，線段HG的長度有最大值.（3）點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn).點(diǎn)B（1,），點(diǎn)C（5,0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3,0），直線l過點(diǎn)F且與y軸平行，直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3,點(diǎn)M在直線l上，點(diǎn)N在拋物線上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，m）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n,n2+2n-3）.點(diǎn)A（-3,0），點(diǎn)C（5,0）. AC=8.分情況討論：若線段AC是以點(diǎn)A,C,M,N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，則須MNAC,且MN=AC=8，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3-n，3-n=8，解得n=-5，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-5，,1）；當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN= n-3，n-3=8，解得n=11，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（11，140）.若線段AC是以點(diǎn)A,C,M,N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，由“點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)”知：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱，取點(diǎn)F關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)P，則P的坐標(biāo)為（-1,0），過P作NPx軸，交拋物線于點(diǎn)N，將x=-1代入y=x2+2x-3.得y=-4，過點(diǎn)N，B作直線NB交直線l于點(diǎn)M，在BPN與BFM中，NBP=MBF，BF=BP，BPN=BFM=90，BPNBFM, NB=MB.四邊形ANCM為平行四邊形，坐標(biāo)為（-1，-4）的點(diǎn)N符合條件.當(dāng)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5,12），（11,140），（-1，-4）時(shí)，以點(diǎn)A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.【總結(jié)與反思】1. 用交點(diǎn)式表示出二次函數(shù)的表達(dá)式，再將拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)代入求得a的值，得出二次函數(shù)的表達(dá)式；2. H、G的橫坐標(biāo)相同，用一字母t表示出H、G兩點(diǎn)的坐標(biāo)，其長度就是兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差，這樣得到長度關(guān)于t的二次三項(xiàng)式，結(jié)合t的取值范圍，求的HG的最大值；3要分AC是對(duì)角線和邊兩種情況來討論，AC為邊時(shí)，點(diǎn)M、N的左右位置不一樣，結(jié)果又不一樣，考慮要周到，運(yùn)算一定要仔細(xì)