九年級(jí)數(shù)學(xué) 第11講 幾何問題探究-相似與比例相關(guān)問題教案.doc

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幾何問題探究相似與比例相關(guān)問題知識(shí)點(diǎn)相似三角形的性質(zhì)與判定；相似三角形的綜合；教學(xué)目標(biāo)熟練掌握?qǐng)D形相似的證明方法；教學(xué)重點(diǎn)能夠靈活的運(yùn)用圖形的性質(zhì)去證明圖形中線段的關(guān)系；教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用相似、旋轉(zhuǎn)、全等證明方法探究圖形的線段問題；知識(shí)講解考點(diǎn)1 兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系在數(shù)量關(guān)系的猜想中，證明兩條線段相等的情況較多，有時(shí)也出現(xiàn)證明兩條線段的倍數(shù)關(guān)系，如AB=2CD或AB=CD等。在證明兩條線短相等的過程中，可以根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)證明兩條線段相等，也可以證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明兩條線段相等。證明兩條線段的倍分關(guān)系時(shí)，利用構(gòu)造基本圖形模型證明，具體情況如下：1.利用三角形的中位線或直角三角形證明a=b；2.利用等腰三角形證明a=b；3.利用含30角的直角三角形證明a=b等；考點(diǎn)2 兩條線段之間的位置關(guān)系在位置關(guān)系猜想中，兩條線段是垂直關(guān)系還是平行關(guān)系一目了然，關(guān)鍵是如何證明，方法如下：1.在證明垂直關(guān)系時(shí)，由垂直定義，即兩條線段相交，所夾的角是90，一般利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余的角度進(jìn)行證明；2.在證明兩條線段平行時(shí)，大多是根據(jù)平行線的判定方法進(jìn)行證明即可；總之證明位置關(guān)系，需要根據(jù)圖形的性質(zhì)，利用三角形全等進(jìn)行證明，有時(shí)利用相似。在解答時(shí)，根據(jù)具體的題目條件，分解出基本圖形，靈活掌握并選擇方法證明。考點(diǎn)3 相似三角形的判定定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似考點(diǎn)4 證明題常用方法歸納（1）總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似”（2）找相似： 通過“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.（3）找中間比： 若沒有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這幾個(gè)字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。（4） 添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。（5）比例問題：常用處理方法是將“一份”看著k;對(duì)于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（6）對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來的辦法處理。例題精析例1 已知：如圖，若以ABC邊AB、AC為邊向外作矩形ABDE和矩形ACGF，AC=k AF,AB=k AE ,M、N分別為BC和DG的中點(diǎn).試探究線段MN、BC之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.例2如圖11，在OAB和OCD中，A 1)，AOB =COD，OAB與OCD互補(bǔ)試探索線段AB與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論說明：如果你反復(fù)探索沒有解決問題，可以選取中的一個(gè)條件k = 1(如圖12)；點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合(如圖13)例3已知點(diǎn)E在ABC內(nèi)，ABCEBD，ACBEDB60，AEB150，BEC90（1）當(dāng)60時(shí)（如圖17），判斷ABC的形狀，并說明理由；求證：BDAE；（2）當(dāng)90時(shí)（如圖18），求的值例4已知ABC是等邊三角形，CDAC，AECD，且EAED，BE與AD相交于點(diǎn)F（1）若CADDAE（如圖14），試判斷BF與FE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若CAD2DAE（如圖15），求的值例5在ABC中，A90，點(diǎn)D在線段BC上，EDBC，BEDE，垂足為E，DE與AB相交于點(diǎn)F（1）當(dāng)ABAC時(shí)，（如圖13）， EBF_； 探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）當(dāng)ABkAC時(shí)（如圖14），求的值（用含k的式子表示）課程小結(jié)本節(jié)課主要研究了相似與比例相關(guān)問題，抓住題干所提供的信息，利用證明所缺條件構(gòu)造出全等形或是相似形是本節(jié)課的重點(diǎn)，幾何問題的探究，是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過程，注重幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，積累基本型是重中之重。例1【規(guī)范解答】證明：延長(zhǎng)BN使得BN=NH，連接HG、HC、NC,又 ND=NG , DNB=GNH DNBGNH BD=HG延長(zhǎng)BA交HG于Q點(diǎn) BDHG AQG=ACG=90在四邊形ACGQ中，AQG+ACG=180，則 HGC+QAC=180又BAC+QAC=180, HGC=BAC又AC=kAF,AB=kAE , BACHGC, BC=kHCM、N分別為BC和DG的中點(diǎn)MNHC, MNBC, HC=2MNBC=2kMN【總結(jié)與反思】延長(zhǎng)BN，構(gòu)造八字形全等，得到與BD相等的邊HG，構(gòu)造BACHGC，從而可以得到HC與BC的關(guān)系，進(jìn)而得到BC與MN的關(guān)系。例2【規(guī)范解答】結(jié)論：AB =kCD證明：（方法一）在OA上取一點(diǎn)E，使OE=k OC，連接EB， OB= k OD，AOB=COD， OEBOCD，即EB=kCD，OEB=OCDOAB+OCD=180 ，OAB+OEB=180 ，AEB+OEB=180 ，OAB=AEBEB =AB， AB =kCD （方法二）延長(zhǎng)OC到點(diǎn)E，使OE=OA，連接DE證明DOEBOA，再證明DCE是等腰三角形，進(jìn)而證出結(jié)論（方法三）作DEOC交OC的延長(zhǎng)線于E，作BFOA于F，證明DOEBOF，再證明DCEBAF，進(jìn)而證出結(jié)論（評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)參照證法一）選擇（1）結(jié)論：AB =CD證明：（方法一）在OA上取一點(diǎn)E，使OE= OC，連接EBOB=OD，AOB=COD，OEBOCDEB=CD，OEB=OCD，OAB+OCD=1800，OAB+OEB=1800AEB+OEB=1800，OAB=AEB，EB =ABAB =CD（方法二）延長(zhǎng)OC到點(diǎn)E，使OE=OA，連接DE證明DOEBOA，再證明DCE是等腰三角形，進(jìn)而證出結(jié)論。（方法三）作DEOC交OC的延長(zhǎng)線于E，作BFOA于F，證明DOEBOF，再證明DCEBAF，進(jìn)而證出結(jié)論。（評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)參照證法一）選擇（2）結(jié)論：AB =CD證明：OAB+OCB=1800，ACB+OCB=1800，OAB=ACB，CB =AB即AB =CD【總結(jié)與反思】ABDCE圖17方法一是截取圖形構(gòu)造相似形，方法二是補(bǔ)出圖形構(gòu)造相似形，方法三是作垂創(chuàng)造條件構(gòu)造相似形。我們介紹的這三種證明方法，同時(shí)也適用于后面附加條件的證明。本題如若選擇條件證明會(huì)相應(yīng)的減掉一些分值。例3【規(guī)范解答】（1）判斷：ABC是等邊三角形 證明：ABC是等邊三角形同理EBD也是等邊三角形連接DC，則AB=BC，BE=BD，圖18CEABDABE CBD，AE=CD，在RtEDC中 ，（2）連接DC，ABC EBD ， ，又，ABE CBD ，設(shè)BD=x 在RtEBD中，DE=2x，BE=在RtEDC中，CD=，即【總結(jié)與反思】（1）題中給出了特殊角60，我們通過導(dǎo)角便可以得出ABC是等邊三角形，同理EBD也是等邊三角形.由圖形全等可以得到一個(gè)特殊三角形RtEDC，從而得到BD=AE.（2）補(bǔ)全圖形，仿照（1），證明相似，通過邊之間的關(guān)系便可以確定BD與AE的比值了。例4【規(guī)范解答】解(1) 判斷：BF=FE證明：作BQAC，交AC于點(diǎn)P ，交AD于點(diǎn)Q CDAC，ACD =90，AECD ，EAC= 90，CAD=DAE，CAD =30，DAE=60EA=ED，EAD是等邊三角形，EA=AD=2 CD，又ABC是等邊三角形AP=PC，APB=90=EAC=ACD，AEBQCD， 即Q是AD中點(diǎn)EAF=BQF，AEF=QBF，PQ=CD，AC=CD在RtABP中，BP=AP=AC=CD，BQ= BP+ PQ=2CD=EAAFE QFB，BF=FE（2）作BQAC，交AC于點(diǎn)P ，交AD于點(diǎn)Q ,連接EQ同理P、Q為AC、AD的中點(diǎn)，EAF=BQF，AEF=QBFAFEQFB，EAC= 90,CAD=2DAE，CAD =60，DAE=30PQ=CD, AC=CD, AD=CD，BQ= BP+ PQ= AC+CD=CD+CD=CDAQ=AD=CD ，又EA=ED，EQADEA= AQ=CD= CD【總結(jié)與反思】（1）作垂線，通過題干所提供的信息得到BQ與AE的關(guān)系，從而構(gòu)造全等AFE QFB，去證明BF=FE。（2）作垂線，過題干所提供的信息，從而構(gòu)造全等AFEQFB，去證明BF與EF的比值是3：2.例5【規(guī)范解答】解：（1）22.5 結(jié)論：BEFD證明：如圖1，過點(diǎn)D作DGCA，與BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，與AB相交于點(diǎn)H則GDBC BHDA90GHB，EDBCGDBEDG又DEDE，DEBDEG90，DEBDEG，BEGEGB，ABAC A90，ABCCGDB，HBHDDEBBHD90 BFEDFH，EBFHDF，GBHFDH，GBFD，BEFD（2）如圖1，過點(diǎn)D作DGCA，與BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，與AB相交于點(diǎn)H同理可證：DEBDEG，BEGB，BHDGHB90，EBFHDF，GBHFDH 即，又DGCA，BHDBAC， 即k第二種解法：解：（1）ABACA90，ABCC45，EDB C，EDB22.5BEDE，EBD67.5，EBF67.54522.5在BEF和DEB中，EE90，EBFEDB22.5，BEFDEB如圖：BG平分ABC，BGGDBEG是等腰直角三角形，設(shè)EFx，BEy，則：BGGD y，F(xiàn)D yyxBEFDEB， ，即： ，得：x（ 1）y，F(xiàn)D yy（ 1）y2yFD2BE（2）如圖：作ACB的平分線CG，交AB于點(diǎn)G，ABkAC，設(shè)ACb，ABkb，BC b利用角平分線的性質(zhì)有： ，即： ，得：AG EDB ACB，tanEDBtanACG ，EDB ACB ABC90ACB，EBF90ABCEDB ACB，BEFDEB，EF BEED BEEFFD，F(xiàn)D BE BE BE 【總結(jié)與反思】我們介紹了兩種方法一種是作平行線，目的是將半角變成倍角，另一種方法是作角平分線，目的是將倍角變成半角，無論哪種方式，最終的目的都是為了構(gòu)造全等形或是相似形。