九年級(jí)數(shù)學(xué) 第5講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與特殊平行四邊形的綜合問題教案.doc

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二次函數(shù)與特殊平行四邊形的綜合問題知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)綜合；矩形的性質(zhì)及判定；菱形的性質(zhì)及判定；正方形形的性質(zhì)及判定；教學(xué)目標(biāo)1. 熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問題2靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)重點(diǎn)巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題；教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問題；知識(shí)講解考點(diǎn)1 二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的三種表達(dá)形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式；頂點(diǎn)式：y=a（xh）2+k，通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點(diǎn)式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)x1，x2才能求出此解析式；對(duì)于y=ax2+bx+c而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）對(duì)于y=a（xh）2+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)考點(diǎn)2 矩形的性質(zhì)及判定1. 矩形定義：有一角是直角的平行四邊形叫做矩形注意：矩形（1）是平行四邊形；（2）四個(gè)角是直角2. 矩形的性質(zhì)性質(zhì)1 矩形的四個(gè)角都是直角；性質(zhì)2 矩形的對(duì)角線相等，具有平行四邊形的所以性質(zhì)。；3. 矩形的判定矩形判定方法1:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)平行四邊形；（2）對(duì)角線相等矩形判定方法2:四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形矩形判斷方法3：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。考點(diǎn)3 菱形的性質(zhì)及判定1菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形注意：菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等2菱形的性質(zhì)性質(zhì)1 菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2 菱形的對(duì)角線互相平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；3菱形的判定菱形判定方法1:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)平行四邊形；（2）兩條對(duì)角線互相垂直菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形考點(diǎn)4 正方形的性質(zhì)及判定1. 正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：有一組鄰邊相等的平行四邊形 （菱形）有一個(gè)角是直角的平行四邊形 （矩形）都可以得到正方形；正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形2. 正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形 正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是對(duì)邊中點(diǎn)的連線和對(duì)角線所在直線，共有四條對(duì)稱軸；3. 因?yàn)檎叫问瞧叫兴倪呅巍⒕匦?，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對(duì)邊平行，四邊相等；角：四個(gè)角都是直角；對(duì)角線：對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角注意：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45；正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì)正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)4. 正方形的判定方法：(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形注意：1、正方形概念的三個(gè)要點(diǎn)：（1）是平行四邊形；（2）有一個(gè)角是直角；（3）有一組鄰邊相等2、要確定一個(gè)四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形.考點(diǎn)5 探究特殊平行四邊形的一般思路解答特殊平行四邊形的存在性問題時(shí)，要具備分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出特殊平行四邊形的分類標(biāo)準(zhǔn)，一般涉及到動(dòng)態(tài)問題要以靜制動(dòng)，動(dòng)中求靜，由于特殊平行四邊形分為矩形、菱形和正方形，故我們可以從這些特殊平行四邊形的性質(zhì)及題干信息入手，具體如下：（1）假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論，抓住每類圖形的特殊性質(zhì)入手，由于特殊的平行四邊形也是平行四邊形，可先證明出是平行四邊形，在適當(dāng)加入一些特征便可以得到矩形、菱形或是正方形。（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)：在分類時(shí)，先要找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，看看已知的邊是作為四邊形的邊還是作為四邊形的對(duì)角線，再按各自的性質(zhì)入手尋找即可；（3）建立關(guān)系式并計(jì)算。可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，要具體情況具體分析，有時(shí)也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解。例題精析例1 已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖象上，且MOMA二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、M（1）求線段AM的長(zhǎng)；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)例2如圖，已知點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，若四邊形A ABB為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AB 的交點(diǎn)為C，試在x軸上找一個(gè)點(diǎn)D，使得以點(diǎn)B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似例3將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖所示（1）請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式；（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由例4 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，ABC的面積SABC=15，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長(zhǎng)；（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M，使MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由課程小結(jié)有針對(duì)性的對(duì)特殊平行四邊形的性質(zhì)及判定、二次函數(shù)的基本知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與特殊平行四邊形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與特殊平行四邊形的綜合問題時(shí)，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出矩形、菱形或是正方形，并能運(yùn)用各自的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。例1【規(guī)范解答】（1）當(dāng)x0時(shí)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，OA3如圖2，因?yàn)镸OMA，所以點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為將代入，得x1所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為因此（2）因?yàn)閽佄锞€yx2bxc經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，所以二次函數(shù)的解析式為（3）如圖3，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點(diǎn)A作AECD，垂足為E在RtADE中，設(shè)AE4m，DE3m，那么AD5m因此點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(4m，32m)將點(diǎn)C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2） 圖2 圖3【總結(jié)與反思】1本題最大的障礙是沒有圖形，準(zhǔn)確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對(duì)拋物線的位置要心中有數(shù)2根據(jù)MOMA確定點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，并且求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，是整個(gè)題目成敗的一個(gè)決定性步驟3第（3）題求點(diǎn)C的坐標(biāo)，先根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)、直線的斜率，用待定字母m表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式求待定的字母m例2【規(guī)范解答】(1) 因?yàn)辄c(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線上，所以 解得，(2)如圖2，由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)，可得AB5因?yàn)樗倪呅蜛 ABB為菱形，所以A ABB AB5因?yàn)?，所以原拋物線的對(duì)稱軸x1向右平移5個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)的直線為x4因此平移后的拋物線的解析式為圖2(3) 由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (6，0)，可得A B如圖2，由AM/CN，可得，即解得所以根據(jù)菱形的性質(zhì)，在ABC與BCD中，BACCBD如圖3，當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)OD3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）如圖4，當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)OD，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0） 【總結(jié)與反思】1點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)在3個(gè)題目中處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計(jì)算平移的距離；第（3）題用來求點(diǎn)B 的坐標(biāo)、AC和BC的長(zhǎng)2拋物線左右平移，變化的是對(duì)稱軸，開口和形狀都不變3探求ABC與BCD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，BACCBD，因此按照夾角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況討論例3【規(guī)范解答】解：（1）拋物線c2的表達(dá)式為（2）拋物線c1：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為拋物線c2：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)也為(1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，AB2拋物線c2向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、所以AE(1m)(1m)2(1m)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，存在兩種情況：情形一，如圖2，B在D的左側(cè)，此時(shí)，AE6所以2(1m)6解得m2情形二，如圖3，B在D的右側(cè)，此時(shí)，AE3所以2(1m)3解得圖2 圖3 圖4如果以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，那么AEMN2OM而OM2m23，所以4(1m)24(m23)解得m1（如圖4）【總結(jié)與反思】1把A、B、D、E、M、N六個(gè)點(diǎn)起始位置的坐標(biāo)羅列出來，用m的式子把這六個(gè)點(diǎn)平移過程中的坐標(biāo)羅列出來2B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關(guān)系列關(guān)于m的方程3根據(jù)矩形的對(duì)角線相等列方程例4【規(guī)范解答】（1）|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，由SABC=ABOC=15，得6m5m=15，解得m=1（舍去負(fù)值），A（1，0），B（5，0），C（0，5），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x5），將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a=1，拋物線解析式為y=（x+1）（x5），即y=x24x5；（2）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m24m5），拋物線對(duì)稱軸為x=2，由2（m2）=EH，得2（m2）=（m24m5）或2（m2）=m24m5，解得m=1或m=3，m2，m=1+或m=3+，邊長(zhǎng)EF=2（m2）=22或2+2；（3）存在由（1）可知OB=OC=5，OBC為等腰直角三角形，直線BC解析式為y=x5，依題意，直線y=x+9或直線y=x19與BC的距離為7，聯(lián)立，解得或，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，7），（7，16）【總結(jié)與反思】1. 知設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，由ABC=ABOC=15，可求m的值，確定A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線交點(diǎn)式，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；2. 坐標(biāo)為（m，m24m5），拋物線對(duì)稱軸為x=2，根據(jù)2（m2）=EH，列方程求解；3. 因?yàn)镺B=OC=5，OBC為等腰直角三角形，直線BC解析式為y=x5，則直線y=x+9或直線y=x19與BC的距離為7，將直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，求M點(diǎn)的坐標(biāo)即可