2019高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題5 解析幾何 第8講 直線與圓學案 文.doc

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第8講直線與圓高考統(tǒng)計定方向熱點題型真題統(tǒng)計命題規(guī)律題型1：圓的方程2018全國卷T20；2017全國卷T201.高考中對此部分內(nèi)部的考查以“一小”或“一大”的形式呈現(xiàn).2.重點考查直線與圓的位置關系，圓的方程常與圓錐曲線交匯命題.題型2：直線與圓、圓與圓的位置關系2018全國卷T15；2018全國卷T8；2017全國卷T112016全國卷T15；2016全國卷T6；2016全國卷T152015全國卷T20；2014全國卷T20；2014全國卷T12題型1圓的方程核心知識儲備1圓的標準方程當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2y2r2.2圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以為圓心，為半徑的圓高考考法示例【例1】(1)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是()A(，2)B.C(2,0) D.(2)(2018廈門模擬)圓C與x軸相切于T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B，且|AB|2，則圓C的標準方程為()A(x1)2(y)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y)24D(x1)2(y)24(3)(2018黃山模擬)已知圓C關于y軸對稱，經(jīng)過點A(1，0)，且被x軸分成的兩段弧長之比為12，則圓C的方程為_(1)D(2)A(3)x22(1)方程可化為2(ya)21a，由題意知1a0，解得2a，故選D.(2)由題意得，圓C的半徑為，圓心坐標為(1，)，圓C的標準方程為(x1)2(y)22，故選A.(3)因為圓C關于y軸對稱，所以圓C的圓心C在y軸上， 可設C(0，b)，設圓C的半徑為r, 則圓C的方程為x2(yb)2r2.依題意，得解得所以圓C的方程為x2.方法歸納求圓的方程的兩種方法1幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程2代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)對點即時訓練1(2018青島模擬)與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標準方程是()A(x2)2(y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22D由題意知，曲線為(x6)2(y6)218，過圓心(6,6)作直線xy20的垂線，垂線方程為yx，則所求的最小圓的圓心必在直線yx上，又(6,6)到直線xy20的距離d5，故最小圓的半徑為，圓心坐標為(2,2)，所以標準方程為(x2)2(y2)22.2一束光線從圓C的圓心C(1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C1：(x2)2(y3)21上的最短路程剛好是圓C的直徑，則圓C的方程為()A(x1)2(y1)24B(x1)2(y1)25C(x1)2(y1)216D(x1)2(y1)225A圓C1的圓心C1的坐標為(2,3)，半徑為r11.點C(1,1)關于x軸的對稱點C的坐標為(1，1)因為C在反射線上，所以最短路程為|CC1|r1，即14.故圓C的半徑為r42，所以圓C的方程為(x1)2(y1)24，故選A.題型2直線與圓、圓與圓的位置關系核心知識儲備1直線和圓的位置關系的判斷方法直線l：AxByC0(A2B20)與圓：(xa)2(yb)2r2(r0)的位置關系如表方法位置關系幾何法：根據(jù)d與r的大小關系代數(shù)法：消元得一元二次方程，根據(jù)判別式的符號判斷相交dr0相切dr0相離dr02弦長與切線長的計算方法(1)弦長的計算：直線l與圓C相交于A，B兩點，則|AB|2(其中d為弦心距)(2)切線長的計算：過點P向圓引切線PA，則|PA|(其中C為圓心)3圓與圓的位置關系設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|d，則(1)dr1r2兩圓外離4條公切線；(2)dr1r2兩圓外切3條公切線；(3)|r1r2|dr1r2兩圓相交2條公切線；(4)d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)切1條公切線；(5)0d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)含無公切線高考考法示例【例2】(2016全國卷)已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|_.思路點撥法一：法二：4法一：作出平面圖形，利用數(shù)形結合求解如圖所示，直線AB的方程為xy60，kAB，BPD30，從而BDP60.在RtBOD中，|OB|2，|OD|2.取AB的中點H，連接OH，則OHAB，OH為直角梯形ABDC的中位線，|OC|OD|，|CD|2|OD|224.法二：圓心O(0,0)到直線xy60的距離為d3，|AB|22.如圖所示，過點C作CEBD于點E.直線l的斜率為，ECD30，|CD|4.(2)(2018全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|8.求l的方程；求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程思路點撥解由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k0)設A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程為yx1.由得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.方法歸納1解決直線與圓、圓與圓位置關系問題的指導思想討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數(shù)形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量2求圓中有關距離的常用方法圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到圓心的距離問題(教師備選)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓被直線xy40截得的弦長為2.(1)求圓O的方程；(2)若斜率為2的直線l與圓O相交于A，B兩點，且點D(1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，求直線l在y軸上的截距的取值范圍解(1)設x2y2r2，圓心(0,0)到直線xy40的距離d2，又因為截得的弦長為2，所以r，圓O的方程為x2y27.(2)設斜率為2的直線l的方程為y2xb，與圓相交于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)由得5x24bxb270，則已知點D(1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，所以0，即(x11，y1)(x21，y2)5x1x2(2b1)(x1x2)b2160，解得3b5，滿足0.所以直線l在y軸上的截距的取值范圍為(3,5)對點即時訓練1(2018福州模擬)直線xya與圓x2y2a2(a1)2相交于點A，B，點O是坐標原點，若AOB是正三角形，則實數(shù)a的值為()A1B1C.DC由題意得，直線被圓截得的弦長等于半徑，圓的圓心坐標O(0,0)，設圓半徑為r，圓心到直線的距離為d，則d，由條件得2r，整理得4d23r2.所以6a23a23(a1)2，解得a.選C.2(2018徐州模擬)如圖251，已知圓心坐標為M(，1)的圓M與x軸及直線yx均相切，切點分別為A，B，另一圓N與圓M相切，且與x軸及直線yx均相切，切點分別為C，D.圖251(1)求圓M與圓N的方程；(2)過點B作MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦長解(1)由于圓M與BOA的兩邊相切，故M到OA，OB的距離相等，則M在BOA的平分線上，同理，N也在BOA的平分線上，即O，M，N三點共線，且直線ON為BOA的平分線，因為M(，1)，所以M到x軸的距離為1，即圓M的半徑為1，所以圓M的方程為(x)2(y1)21.設圓N的半徑為r，連接AM，CN，如圖所示，則RtOAMRtOCN，得，即，解得r3，OC3，所以圓N的方程為(x3)2(y3)29.(2)由對稱性可知，所求弦長為過點A的MN的平行線被圓N截得的弦長，此弦所在直線的方程為y(x)，即xy0，圓心N到該直線的距離d，故弦長為2.1(2016全國卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()ABC. D2A將圓的方程化為標準方程，根據(jù)點到直線距離公式求解圓x2y22x8y130的標準方程為(x1)2(y4)24，由圓心到直線axy10的距離為1可知1，解得a，故選A.2(2018全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6 B4,8C，3 D2，3A由題意知圓心的坐標為(2,0)，半徑r，圓心到直線xy20的距離d2，所以圓上的點到直線的最大距離是dr3，最小距離是dr.易知A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以2SABP6.故選A.3(2014全國卷)設點M(x0,1)，若在圓O：x2y21上存在點N，使得OMN45，則x0的取值范圍是()A1,1 B.C， D.A如圖，過點M作O的切線，切點為N，連接ON.M點的縱坐標為1，MN與O相切于點N.設OMN，則45，即sin ，即.而ON1，OM.M為(x0,1)，x1，1x01，x0的取值范圍為1,14(2015全國卷)一個圓經(jīng)過橢圓1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_2y2由橢圓的標準方程可求出其四個頂點的坐標，由圓心在x軸的正半軸上知該圓過上、下頂點和右頂點由題意知a4，b2，上、下頂點的坐標分別為(0,2)，(0，2)，右頂點的坐標為(4,0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2)，(0，2)，(4,0)三點設圓的標準方程為(xm)2y2r2(0m0)，則解得所以圓的標準方程為2y2.5(2016全國卷)設直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若|AB|2，則圓C的面積為_4圓C：x2y22ay20化為標準方程是C：x2(ya)2a22，所以圓心C(0，a)，半徑r.|AB|2，點C到直線yx2a即xy2a0的距離d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圓C的面積為224.