2019高考數(shù)學全冊精準培優(yōu)專練(打包20套)文.zip
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培優(yōu)點十五 平行垂直關系的證明
1.平行關系的證明
例1:如圖,,,,分別是正方體的棱,,,的中點.
求證:
(1)平面;
(2)平面平面.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】證明(1)如圖,取的中點,連接,,
因為,所以,所以四邊形為平行四邊形,故,
因為平面,平面,所以平面.
(2)由題意可知.連接,,
因為,所以四邊形是平行四邊形,故
又,,所以平面平面.
2.垂直關系的證明
例2:如圖,在三棱柱中,側棱底面,為棱的中點.,,.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)在棱上是否存在點,使得平面平面?如果存在,求此時的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)存在,.
【解析】(1)證明:連接與,兩線交于點,連接.
在中,∵,分別為,的中點,∴,
又∵平面,平面,∴平面.
(2)證明:∵側棱底面,平面,∴,
又∵為棱的中點,,∴.
∵,,平面,∴平面,∴
∵,∴.又∵,∴在和中,,
∴,
即,∴
∵,,平面,∴平面.
(3)解:當點為的中點,即時,平面平面
證明如下:
設的中點為,連接,,∵,分別為,的中點,∴,
且.又∵為的中點,∴,且,
∴四邊形為平行四邊形,∴,
∵平面,∴平面.又∵平面,
∴平面平面.
對點增分集訓
一、單選題
1.平面外有兩條直線和,如果和在平面內(nèi)的射影分別是和,給出下列四個命題:
①;②;③與相交與相交或重合;④與平行與平行或重合;其中不正確的命題個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】結合題意逐一分析所給的四個說法,在如圖所示的正方體中:
對于說法①:若取平面為,,分別為,,分別為,
滿足,但是不滿足,該說法錯誤;對于說法②:若取平面為,,分別為,分別為,滿足,但是不滿足,
該說法錯誤;對于說法③:若取平面為,,分別為,分別為,
滿足與相交,但是與異面,該說法錯誤;對于說法④:若取平面為,
、分別為,、分別為,滿足與平行,
但是與異面,該說法錯誤;綜上可得:不正確的命題個數(shù)是4.本題選擇D選項.
2.已知、為兩條不同的直線,、為兩個不同的平面,則下列命題中正確的是( )
A.若,,且,則
B.若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等,則
C.若,,則
D.若,,則
【答案】D
【解析】對于選項A,若,,且,則l不一定垂直平面,∵有可能和平行,
∴該選項錯誤;
對于選項B,若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等,則、可能相交或平行,∴該選項錯誤;
對于選項C,若,則有可能在平面內(nèi),∴該選項錯誤;
對于選項D,由于兩平行線中有一條垂直平面,則另一條也垂直平面,∴該選項正確,故答案為D.
3.給出下列四種說法:
①若平面,直線,則;
②若直線,直線,直線,則;
③若平面,直線,則;
④若直線,,則.其中正確說法的個數(shù)為( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
【答案】D
【解析】若平面,直線,則可異面;
若直線,直線,直線,則可相交,此時平行兩平面的交線;
若直線,,則可相交,此時平行兩平面的交線;
若平面,直線,則無交點,即;故選D.
4.已知、為兩條不同的直線,、為兩個不同的平面,則下列命題中正確的有( )
(1),,,
(2),
(3),,(4),
A.0個 B.1個 C.2個 D.3
【答案】B
【解析】由,,,,若相交,則可得,若,則與可能平行也可能相交,故(1)錯誤;
若,根據(jù)線面垂直的第二判定定理可得,故(2)正確;
若,,,則或異面,故(3)錯誤;
若,,則或,故(4)錯誤;故選B.
5.如圖,在正方體中,分別是的中點,則下列命題正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A:和是異面直線,故選項不正確;
B:和是異面直線,故選項不正確;
C:記.∵正方體中,分別是的中點,
∴,,∴為平行四邊形,∴,
∵平面,平面,∴平面.
D:由C知,而面和面相交,故選項不正確;故選C.
6.已知是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是( )
A.若垂直于同一平面,則平行
B.若平行于同一平面,則平行
C.若不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線
D.若不平行,則不可能垂直于同一平面
【答案】D
【解析】垂直于同一平面的兩平面相交或平行,A不正確;
平行于同一平面的兩直線可相交、平行或異面,B不正確;
平面不平行即相交,在一個平面內(nèi)平行兩平面交線的直線與另一平面平行,C不正確;
D為直線與平面垂直性質(zhì)定理的逆否命題,故D正確.故選D.
7.已知是兩條不重合的直線,,,是三個兩兩不重合的平面,給出下列四個命題:
①若,則;
②若,則;
③若,則;
④若是異面直線,,則.其中真命題是( )
A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④
【答案】D
【解析】逐一考查所給的命題:
①由線面垂直的性質(zhì)定理可得若,則,命題正確;
②如圖所示的正方體中,取平面分別為平面,
滿足,但是不滿足,命題錯誤;
③如圖所示的正方體中,取平面分別為平面,
直線分別為,滿足,但是不滿足,命題錯誤;
④若是異面直線,,由面面平行的性質(zhì)定理易知,命題正確;
綜上可得,真命題是①和④,本題選擇D選項.
8.如圖,正方體的棱長為1,線段上有兩個動點,且;則下列結論錯誤的是( ).
A. B.
C.三棱錐的體積為定值 D.的面積與的面積相等
【答案】D
【解析】在正方體中,平面,
而平面,故,故A正確.
又平面,因此平面,故B正確.
當變化時,三角形的面積不變,點到平面的距離就是到平面的距離,它是一個定值,故三棱錐的體積為定值(此時可看成三棱錐的體積),故C正確.
在正方體中,點到的距離為,而到的距離為1,D是錯誤的,故選D.
9.如圖所示,是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,點是圓周上不同于的任意一點,分別為的中點,則下列結論正確的是( )
A. B.與所成的角為
C.平面 D.平面平面
【答案】D
【解析】對于A項,與異面,故A項錯;
對于B項,可證平面,故,∴所成的角為,因此B項錯;
對于C項,與不垂直,∴不可能垂直平面,故C項錯;
對于D項,由于,平面,平面,∴,
∵,∴平面,平面,∴平面平面,故選D.
10.如圖,在三棱柱中,側棱底面,底面三角形是正三角形,是中點,則下列敘述正確的是( )
A.與是異面直線 B.平面
C.,為異面直線且 D.平面
【答案】C
【解析】對于A項,與在同一個側面中,故不是異面直線,∴A錯;
對于B項,由題意知,上底面是一個正三角形,故平面不可能,∴B錯;
對于C項,∵,為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線,故它們是異面直線,∴C正確;
對于D項,∵所在的平面與平面相交,且與交線有公共點,
故平面不正確,∴D項不正確;故選C.
11.設分別是正方體的棱上兩點,且,給出下列四個命題:
①三棱錐的體積為定值;②異面直線與所成的角為;③平面;④直線與平面所成的角為.其中正確的命題為( )
A.①② B.②③ C.①②④ D.①④
【答案】A
【解析】由題意得,如圖所示,
①中,三棱錐的體積的為,∴體積為定值;
②中,在正方體中,,∴異面直線與所成的角就是直線與所成的角,
即,∴這正確的;
③中,由②可知,直線與不垂直,∴面不成立,∴是錯誤的;
④中,根據(jù)斜線與平面所成的角,可知與平面所成的角,即為,∴不正確.
12.如下圖,梯形中,,,將沿對角線折起.設折起后點的位置為,并且平面平面.給出下面四個命題:
①;②三棱錐的體積為;③平面;
④平面平面.其中正確命題的序號是( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【答案】B
【解析】①∵,∴,
∵,∴,
∵平面平面,且平面平面,∴平面,
∵平面,∴,故不成立,故①錯誤;
②棱錐的體積為,故②錯誤;
③由①知平面,故③正確;
④由①知平面,又∵平面,∴,
又,且、平面,,
∴平面,又平面,
∴平面平面,故④正確.故選B.
二、填空題
13.設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是________.(填序號)
①若,,則;②若,,則;
③若,,則;④若,,則.
【答案】③
【解析】,,則,與可能相交也可能異面,∴①不正確;
,,則,還有與可能相交,∴②不正確;
,,則,滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理,故③正確;
,,則,也可能,也可能,∴④不正確;
故答案為③.
14.一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結論
①;②與所成的角為;③與是異面直線;④.
以上四個命題中,正確命題的序號是_________.
【答案】①③
【解析】把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體,如圖:
則,與異面,,只有①③正確.故答案為①③.
15.若四面體的三組對棱分別相等,即,給出下列結論:
①四面體每組對棱相互垂直;
②四面體每個面的面積相等;
③從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于;
④連接四面體每組對棱中點的線段相互垂直平分.
其中正確結論的序號是__________.(寫出所有正確結論的序號)
【答案】②④
【解析】①將四面體的三組對棱分別看作平行六面體的對角線,由于三組對棱分別相等,
∴平行六面體為長方體.
由于長方體的各面不一定為正方形,∴同一面上的面對角線不一定垂直,從而每組對棱不一定相互垂直.①錯誤;
②四面體的每個面是全等的三角形,面積是相等的.②正確;
③由②,四面體的每個面是全等的三角形,從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個三角形內(nèi)的三個內(nèi)角,它們之和為.③錯誤;
④連接四面體每組對棱中點構成菱形,線段互垂直平分④正確,故答案為②④.
16.如圖,一張矩形白紙,,,分別為的中點,現(xiàn)分別將,沿折起,且在平面同側,下列命題正確的是____________(寫出所有正確命題的序號).
①當平面平面時,平面
②當平面平面時,
③當重合于點時,
④當重合于點時,三棱錐的外接球的表面積為
【答案】①④
【解析】在中,,在中,,
∴,由題意,將沿折起,
且在平面同側,
此時四點在同一平面內(nèi),平面平面,
平面平面,當平面平面時,得到,
顯然,∴四邊形是平行四邊形,∴,
進而得到平面,∴①正確的;
由于折疊后,直線與直線為異面直線,∴與不平行,∴②錯誤的;
折疊后,可得,,其中,,
∴和不垂直,∴③不正確;
當重合于點時,在三棱錐中,和均為直角三角形,
∴為外接球的直徑,即,
則三棱錐的外接球的表面積為,∴④是正確,
綜上正確命題的序號為①④.
三、解答題
17.如圖,四棱錐中,,,,為正三角形.
且.
(1)證明:平面平面;
(2)若點到底面的距離為2,是線段上一點,且平面,求四面體的體積.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】(1)證明:∵,且,∴,
又為正三角形,∴,又∵,,∴,
又∵,,∴,,
∴平面,又∵平面,
∴平面平面.
(2)如圖,連接,交于點,∵,
且,∴,連接,
∵平面,∴,則,
由(1)點到平面的距離為2,
∴點到平面的距離為,
∴,
即四面體的體積為.
18.如圖,四邊形為正方形,平面,,,,.
(1)求證:;
(2)若點在線段上,且滿足,求證:平面;
(3)求證:平面.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】(1)∵,∴與確定平面,
∵平面,∴.由已知得且,
∴平面.又平面,∴.
(2)過作,垂足為,連接,則.
又,∴.又且,
∴且,∴四邊形為平行四邊形,∴.
又平面,平面,∴平面.
(3)由(1)可知,.
在四邊形中,,,,,
∴,則.
設,∵,
故,則,即.
又∵,∴平面.
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