2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 二 圓錐曲線的參數(shù)方程 1 橢圓的參數(shù)方程講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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1橢圓的參數(shù)方程 橢圓的參數(shù)方程(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1(ab0)的參數(shù)方程是(為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范圍是0,2)(2)中心在(h，k)的橢圓普通方程為1，則其參數(shù)方程為(為參數(shù))橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用：求最值例1已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值思路點(diǎn)撥(1)由橢圓的參數(shù)方程公式，求橢圓的參數(shù)方程，由換元法求直線的普通方程(2)將橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成參數(shù)方程的形式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題解(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos ，3sin )到l的距離為d|4cos 3sin 6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.利用橢圓的參數(shù)方程，求目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值，通常是利用輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解1已知橢圓1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)在橢圓上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離最大解：橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)P(5cos ，4sin )，則|PA|3cos 5|8，當(dāng)cos 1時(shí)，|PA|最大此時(shí)，sin 0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0).橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用：求軌跡方程例2已知A，B分別是橢圓1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，求ABC的重心G的軌跡方程思路點(diǎn)撥由條件可知，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，點(diǎn)C在橢圓上，故可設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)的橢圓參數(shù)方程形式，由三角形重心坐標(biāo)公式求解解由題意知A(6,0)、B(0,3)由于動(dòng)點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動(dòng)，故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6cos ，3sin )，點(diǎn)G的坐標(biāo)設(shè)為(x，y)，由三角形重心的坐標(biāo)公式可得即消去參數(shù)得ABC的重心G的軌跡方程為(y1)21.本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對(duì)于解決相關(guān)問題的優(yōu)越性，運(yùn)用參數(shù)方程顯得很簡單，運(yùn)算更簡便2已知橢圓方程是1，點(diǎn)A(6,6)，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)Q的軌跡方程解：設(shè)P(4cos ，3sin )，Q(x，y)，則有即(為參數(shù))，9(x3)216(y3)236即為所求3設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：1(ab0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)(1)若橢圓C上的點(diǎn)A到F1，F(xiàn)2的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)P是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1P的中點(diǎn)的軌跡方程解：(1)由橢圓上點(diǎn)A到F1，F(xiàn)2的距離之和是4，得2a4，即a2.又點(diǎn)A在橢圓上，因此1，得b23，于是c2a2b21，所以橢圓C的方程為1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)(2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos ，sin )，線段F1P的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則x，y，所以xcos ，sin .消去，得21即為線段F1P中點(diǎn)的軌跡方程.橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用：證明問題例3已知橢圓y21上任一點(diǎn)M(除短軸端點(diǎn)外)與短軸兩端點(diǎn)B1，B2的連線分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)，求證：|OP|OQ|為定值思路點(diǎn)撥利用參數(shù)方程，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并由此得到直線MB1，MB2的方程，從而得到P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|OQ|的值證明設(shè)M(2cos ，sin )，為參數(shù)，因?yàn)锽1(0，1)，B2(0,1)，則MB1的方程為y1x，令y0，則x，即|OP|.MB2的方程為y1x，令y0，則x.|OQ|.|OP|OQ|4.即|OP|OQ|4為定值利用參數(shù)方程證明定值(或恒成立)問題，首先是用參數(shù)把要證明的定值(或恒成立的式子)表示出來，然后利用條件消去參數(shù)，得到一個(gè)與參數(shù)無關(guān)的定值即可4求證：橢圓(ab0,02)上一點(diǎn)M與其左焦點(diǎn)F的距離的最大值為ac(其中c2a2b2)證明：M，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(acos ，bsin )，(c,0)|MF|2(acos c)2(bsin )2a2cos22accos c2b2b2cos2c2cos22accos a2(accos )2.當(dāng)cos 1時(shí)，|MF|2最大，|MF|最大，最大值為ac.一、選擇題1橢圓(為參數(shù))，若0,2，則橢圓上的點(diǎn)(a,0)對(duì)應(yīng)的()AB.C2 D.解析：選A在點(diǎn)(a,0)中，xa，aacos ，cos 1，.2參數(shù)方程(為參數(shù))和極坐標(biāo)方程6cos 所表示的圖形分別是()A圓和直線 B直線和直線C橢圓和直線 D橢圓和圓解析：選D對(duì)于參數(shù)方程(為參數(shù))，利用同角三角函數(shù)關(guān)系消去化為普通方程為y21，表示橢圓6cos 兩邊同乘，得26cos ，化為普通方程為x2y26x，即(x3)2y29.表示以(3,0)為圓心，3為半徑的圓3橢圓(為參數(shù))的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(，0) B(0，)C(5,0) D(4,0)解析：選A根據(jù)題意，橢圓的參數(shù)方程(為參數(shù))化成普通方程為1，其中a4，b3，則c，所以橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)4兩條曲線的參數(shù)方程分別是(為參數(shù))和(t為參數(shù))，則其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1C0或1 D2解析：選B由得xy10(1x0，1y2)，由得1.如圖所示，可知兩曲線交點(diǎn)有1個(gè)二、填空題5橢圓(為參數(shù))的離心率為_解析：由橢圓方程為1，可知a5，b4，c3，e.答案：6已知P為曲線C：(為參數(shù)，0)上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的傾斜角為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析：曲線C的普通方程為1(0y4)，易知直線OP的斜率為1，其方程為yx，聯(lián)立消去y，得x2，故x，故y，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.答案：7已知橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)的參數(shù)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為_解析：當(dāng)時(shí)，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)所以直線OM的斜率為2.答案：2三、解答題8已知兩曲線的參數(shù)方程分別為(0)和(tR)，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)解：將(0)化為普通方程得：y21(0y1，x)，將xt2，yt代入得，t4t210，解得t2，t，xt21，兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.9已知橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求橢圓上一點(diǎn)P到直線(t為參數(shù))的最短距離解：設(shè)點(diǎn)P(3cos ，2sin )，直線可化為2x3y100，點(diǎn)P到直線的距離d.因?yàn)閟in1,1，所以d，所以點(diǎn)P到直線的最短距離dmin.10橢圓1(ab0)與x軸正半軸交于點(diǎn)A，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)P，使OPAP(O為原點(diǎn))，求離心率e的取值范圍解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是(為參數(shù))(ab0)，則橢圓上的點(diǎn)P(acos ，bsin )，A(a,0)OPAP，1，即(a2b2)cos2a2cos b20.解得cos 或cos 1(舍去)ab，1cos 1，01.把b2a2c2代入得01.即011，解得e1.故橢圓的離心率e的取值范圍為.