2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列學(xué)案 蘇教版選修5.doc

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2.1預(yù)習(xí)課本P3034，思考并完成以下問題 (1)什么是數(shù)列？什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式？ (2)怎樣求數(shù)列的通項(xiàng)公式？ (3)數(shù)列與函數(shù)有什么關(guān)系，數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)解析式有什么聯(lián)系？ 1數(shù)列的概念(1)定義：按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列(2)項(xiàng)：數(shù)列中的每個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)a1稱為數(shù)列an的第1項(xiàng)(或稱為首項(xiàng))，a2稱為第2項(xiàng)，an稱為第n項(xiàng)(3)數(shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，簡記為an點(diǎn)睛(1)數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列例如，數(shù)列4,5,6,7,8,9,10與數(shù)列10,9,8,7,6,5,4是不同的數(shù)列(2)在數(shù)列的定義中，并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)例如：1，1,1，1,1，；2,2,2，.2數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式點(diǎn)睛(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集1,2,3，n為定義域的函數(shù)解析式(2)同所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式1在函數(shù)f(x)中，令x1,2,3，得到一個(gè)數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)是_答案：1，2，2若數(shù)列an的通項(xiàng)滿足n2，那么15是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)解析：由n2可知，ann22n，令n22n15，得n5或n3(舍去)答案：53數(shù)列，的一個(gè)通項(xiàng)公式為_解析：觀察各項(xiàng)知，其通項(xiàng)公式可以為an.答案：an4數(shù)列an中，a11，an11，則a4_.解析：a11，a212，a31，a41.答案：數(shù)列的概念及分類典例下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是擺動(dòng)數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)0,1,2,3,4；(2)0,1,2,3,4；(3)0,1,2,3,4，；(4)1，1,1，1,1，1，；(5)6,6,6,6,6.解(1)是集合，不是數(shù)列；(2)(3)(4)(5)是數(shù)列，其中(3)(4)是無窮數(shù)列，(2)(5)是有窮數(shù)列，(4)是擺動(dòng)數(shù)列，(5)是常數(shù)列判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需考察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng)若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列而判斷數(shù)列的單調(diào)性，則需要從第2項(xiàng)起，觀察每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的大小關(guān)系，若滿足anan1，則是遞減數(shù)列；若滿足anan1，則是常數(shù)列；若an與an1的大小不確定時(shí)，則是擺動(dòng)數(shù)列 活學(xué)活用1數(shù)列1,3,5,7可表示為1,3,5,7；數(shù)列1,0，1，2與2，1,0,1是相同的數(shù)列；數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看是一群孤立的點(diǎn)；數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的其中正確的是_(填序號)解析：不正確，數(shù)列不能用集合表示不正確，數(shù)列中的項(xiàng)是有次序的次序不同表示不同的數(shù)列正確數(shù)列的項(xiàng)數(shù)有有限的，也有無限的答案：2已知下列數(shù)列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；(2)0，；(3)1，；(4)1，；(5)1,0，1，sin，；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有窮數(shù)列是_，無窮數(shù)列是_，遞增數(shù)列是_，遞減數(shù)列是_，常數(shù)列是_，擺動(dòng)數(shù)列是_(將合理的序號填在橫線上)解析：(1)是有窮遞增數(shù)列；(2)是無窮遞增數(shù)列；(3)是無窮遞減數(shù)列；(4)是擺動(dòng)數(shù)列，也是無窮數(shù)列；(5)是擺動(dòng)數(shù)列，也是無窮數(shù)列；(6)是常數(shù)列，也是有窮數(shù)列答案：(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(6)(4)(5)數(shù)列的通項(xiàng)公式典例根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)，；(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，；(4)3,5,3,5,3,5，.解(1)觀察數(shù)列中的數(shù)字，可以看到011，341,891,15161,24251，可發(fā)現(xiàn)ann21.(2)由觀察法知這個(gè)數(shù)列的前四項(xiàng)的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an(1)n.(3)由于數(shù)列9,99,999,9 999，的通項(xiàng)公式為an10n1.原數(shù)列的通項(xiàng)公式可記為an10n(10n1)1.(4)由于數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5，所以通項(xiàng)公式可用分段形式表示，記為an由于3與5的平均數(shù)為4,415,413.而“加1”與“減1”也就是(1)n，故通項(xiàng)公式還可記為an4(1) n.給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)時(shí)，注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號的變化關(guān)系，在所給數(shù)列的前幾項(xiàng)中，先看看哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號間的關(guān)系，主要從以下4個(gè)方面來考慮：(1)分式形式的數(shù)列，分子、分母分別求通項(xiàng)，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系(2)若n和n1項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)，那么符號用(1)n或(1)n1或(1)n1來調(diào)控(3)熟悉一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式(4)對于復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式，其項(xiàng)與序號之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn)，要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式加以變形，將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納活學(xué)活用寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)1，3,5，7,9，；(2)1，2，3，4，；(3)1,11,111,1 111，.解：(1)數(shù)列各項(xiàng)的絕對值為1,3,5,7,9，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n1(2n1)(2)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，恰好是序號n，分?jǐn)?shù)部分與序號n的關(guān)系為，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為ann.(3)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?，99，999，9 999，易知數(shù)列9,99,999,9 999，的一個(gè)通項(xiàng)公式為an10n1.所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(10n1).求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)題點(diǎn)一：利用單調(diào)性求最值項(xiàng)1已知an，則數(shù)列an中的最小項(xiàng)為_解析：an1，點(diǎn)(n，an)在函數(shù)y1的圖象上，在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y1的圖象，由圖象易知，當(dāng)x(0，)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減a9a8a7a1a111.所以，數(shù)列an中最大的項(xiàng)是a10，最小的項(xiàng)是a9.答案：a9題點(diǎn)二：利用圖象求最值項(xiàng)2在數(shù)列an中，an2n229n3，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是_解析：根據(jù)題意并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：an2n229n323223，所以，n7時(shí)，an取得最大值，最大項(xiàng)a7的值為108.答案：108題點(diǎn)三：比較法求最值項(xiàng)3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann，試問該數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的序號；若沒有，請說明理由解：法一：an1an(n2)n1(n1)n，當(dāng)n0，即an1an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an.則a1a2a3a11a12，故數(shù)列an有最大項(xiàng)，為第9項(xiàng)和第10項(xiàng)，且a9a10109.法二：根據(jù)題意，令(n1)即(n1)解得9n10.又nN*，則n9或n10.故數(shù)列an有最大項(xiàng)，為第9項(xiàng)和第10項(xiàng)，且a9a10109.(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集1,2，n這一條件(2)可以利用不等式組(n1)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；利用不等式組(n1)找到數(shù)列的最小項(xiàng) 層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1數(shù)列0，的通項(xiàng)公式為_解析：數(shù)列可化為，觀察可得：an.答案：an2根據(jù)下列4個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個(gè)圖形中有_個(gè)點(diǎn)解析：由圖形可得，圖形中的點(diǎn)數(shù)為1,4,9,16，則其通項(xiàng)公式為ann2，故第n個(gè)圖形中的點(diǎn)數(shù)為n2.答案：n23數(shù)列an滿足a1a21，an2an1an(nN*)，則a6_.解析：由題意得a3a2a12，a4a3a23，a5a4a35，a6a5a48.答案：84數(shù)列an中，a11，對于所有的n2，nN*都有a1a2a3ann2，則a3a5的值為_解析：由a1a2a3ann2，a1a24，a1a2a39，a3，同理a5.a3a5.答案：5已知數(shù)列an滿足amnaman(m，nN*)，且a23，則a8_.解析：由amnaman，得a4a22a2a29，a8a24a2a43927.答案：276數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann25n，則an的第_項(xiàng)最小解析：an2.nN*，當(dāng)n2或3時(shí)，an最小，an的第2或3項(xiàng)最小答案：2或37下面五個(gè)結(jié)論：數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)；數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的；數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的；數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式；將數(shù)列看做函數(shù)，其定義域是N*(或它的有限子集1,2，n)其中正確的是_(填序號)解析：中數(shù)列的項(xiàng)數(shù)也可以是有限的，中數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一答案：8已知函數(shù)f(x)由下表定義：x12345f(x)41352若a15，an1f(an)(n1,2，)，則a2 016_.解析：a2f(a1)f(5)2，a3f(a2)f(2)1，a4f(a3)f(1)4，a5f(a4)f(4)5，可知數(shù)列an是循環(huán)數(shù)列周期為4，所以a2 016a4504a44.答案：49數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann27n6.(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？解：(1)當(dāng)n4時(shí)，a4424766.(2)是令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng)10已知函數(shù)f(x)2x2x，數(shù)列an滿足f(log2an)2n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：數(shù)列an是遞減數(shù)列解：(1)因?yàn)閒(x)2x2x，f(log2an)2n，所以2log2an2log2an2n，所以，an2n，所以a2nan10，解得ann.因?yàn)閍n0，所以ann.(2)證明：0，所以an10對nN*恒成立得.答案：5已知數(shù)列an對任意的p，qN*滿足apqapaq且a26，那么a10_.解析：a4a2a212，a6a4a218，a10a6a430.答案：306在數(shù)列an中，a12，nan1(n1)an2，則a4_.解析：當(dāng)n1時(shí)，a22a122226；當(dāng)n2時(shí)，2a33a2236220，a310；當(dāng)n3時(shí)，3a44a32410242，a414.答案：147已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anpnq(p，qR)，且a1，a2.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)是an中的第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？解：(1)anpnq，又a1，a2，解得因此an的通項(xiàng)公式是ann1.(2)令an，即n1，所以n，解得n8.故是an中的第8項(xiàng)(3)由于ann1，且n隨n的增大而減小，因此an的值隨n的增大而減小，故an是遞減數(shù)列8已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(1)求證：0an3，所以01，所以011，即0an1.(2)令an，即1.所以，所以3n19，所以n.因?yàn)閚N*，所以n2，即在區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有1項(xiàng)，此項(xiàng)為第2項(xiàng)