2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題45 直線與方程.doc
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專題45 直線與方程【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】高考對直線與方程的考查要求較低,以小題的形式考查直線與方程,一般難度不大,但呈現(xiàn)綜合性較強(qiáng)的趨勢,與充要條件、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等相結(jié)合.較多年份在大題中與其它知識綜合考查.要求考生熟練掌握直線方程的基礎(chǔ)知識,熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、平行直線間的距離等.其中兩直線的平行與垂直的判斷、兩直線的平行與垂直的條件的應(yīng)用,是高考的熱點(diǎn),另外,兩直線的位置關(guān)系與向量的結(jié)合,也應(yīng)予以足夠的重視本專題通過例題說明關(guān)于直線問題的解法與技巧.(一)直線與方程:1、傾斜角:若直線與軸相交,則以軸正方向?yàn)槭歼?,繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角,通常用表示(1)若直線與軸平行(或重合),則傾斜角為(2)傾斜角的取值范圍 2、斜率:設(shè)直線的傾斜角為,則的正切值稱為直線的斜率,記為 (1)當(dāng)時(shí),斜率不存在;所以豎直線是不存在斜率的(2)所有的直線均有傾斜角,但是不是所有的直線均有斜率(3)斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度,但就其應(yīng)用范圍,斜率適用的范圍更廣(與直線方程相聯(lián)系)(4)越大,直線越陡峭(5)斜率的求法:已知直線上任意兩點(diǎn),則,即直線的斜率是確定的,與所取的點(diǎn)無關(guān).3、截距:若直線與坐標(biāo)軸分別交于,則稱分別為直線的橫截距,縱截距(1)截距:可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡記形式,其取值可正,可負(fù),可0(不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān))(2)橫縱截距均為0的直線為過原點(diǎn)的非水平非豎直直線4、直線方程的五種形式:首先在直角坐標(biāo)系中確定一條直線有兩種方法:一種是已知直線上一點(diǎn)與直線的方向(即斜率),另一種是已知兩點(diǎn)(兩點(diǎn)確定一條直線),直線方程的形式與這兩種方法有關(guān)(1)一點(diǎn)一方向: 點(diǎn)斜式:已知直線的斜率,直線上一點(diǎn),則直線的方程為:證明:設(shè)直線上任意一點(diǎn),根據(jù)斜率計(jì)算公式可得:,所以直線上的每一點(diǎn)都應(yīng)滿足:,即為直線方程 斜截式:已知直線的斜率,縱截距,則直線的方程為: 證明:由縱截距為可得直線與軸交點(diǎn)為,從而利用點(diǎn)斜式得: 化簡可得: (2)兩點(diǎn)確定一條直線: 兩點(diǎn)式:已知直線上的兩點(diǎn),則直線的方程為: 截距式:若直線的橫縱截距分別為,則直線的方程為:證明:從已知截距可得:直線上兩點(diǎn),所以 一般式:由前幾類直線方程可知:直線方程通常由的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成,所以可將直線的通式寫為:(不同時(shí)為0),此形式稱為直線的一般式一般式方程的作用:可作為直線方程的最終結(jié)果 可用于判定直線的平行垂直關(guān)系 點(diǎn)到直線距離公式與平行線間距離公式需要用直線的一般式5、五種直線形式所不能表示的直線:(1)點(diǎn)斜式,斜截式:與斜率相關(guān),所以無法表示斜率不存在的直線(即豎直線)(2)截距式: 截距不全的直線:水平線,豎直線 截距為0的直線:過原點(diǎn)的直線6、求曲線(或直線)方程的方法:在已知曲線類型的前提下,求曲線(或直線)方程的思路通常有兩種:(1)直接法:尋找決定曲線方程的要素,然后直接寫出方程,例如在直線中,若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn),或者一點(diǎn)一斜率(2)間接法:若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密,則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程,然后再利用條件解出參數(shù)的值(通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致)(二)直線位置關(guān)系:1、在解析幾何中直線的位置關(guān)系有三種:平行,相交(包含垂直),重合如果題目中提到“兩條直線”,則不存在重合的情況,如果只是,則要考慮重合的情況.2、直線平行的條件(1)斜截式方程:設(shè)直線 若直線的斜率存在,則(2)一般式方程:設(shè),則 當(dāng)時(shí), ,且和中至少一個(gè)成立,則(此條件適用于所有直線)3、直線垂直的條件:(1)斜截式方程:設(shè)直線,則(2)一般式方程:設(shè),則:4、一般式方程平行與垂直判定的規(guī)律: 可選擇與一般式方程對應(yīng)的向量:,即有:,從而的關(guān)系即可代表的關(guān)系,例如:(注意驗(yàn)證是否會出現(xiàn)重合的情況)(三)距離問題:1、兩點(diǎn)間距離公式:設(shè),則2、點(diǎn)到直線距離公式:設(shè)則點(diǎn)到直線的距離3、平行線間的距離:則的距離為(四)對稱問題1、中心對稱:(1)幾何特點(diǎn):若關(guān)于點(diǎn)中心對稱,則為線段的中點(diǎn)(2)解析特征:設(shè),則與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)滿足:2、軸對稱(1)幾何特點(diǎn):若若關(guān)于直線軸對稱,則為線段的中垂線,即,且的中點(diǎn)在上(2)解析特征:設(shè),則與點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)滿足: ,解出即可(3)求軸對稱的直線:設(shè)對稱軸為直線,直線關(guān)于的對稱直線為 若,則,且到對稱軸的距離與到對稱軸的距離相等 若與相交于 ,則取上一點(diǎn),求出關(guān)于的對稱點(diǎn),則即為對稱直線(五)直線系方程:滿足某種特征的一類直線組成的集合稱為直線系,直線系的方程通常含有參數(shù)(以參數(shù)的不同取值確定直線)1、平行線系:集合中的直線呈兩兩平行關(guān)系參數(shù)不會影響斜率的取值(1)與直線平行的直線系方程為:(為參數(shù),且)(2)與直線垂直的直線系方程為:(為參數(shù))2、過定點(diǎn)的直線:(1)若參數(shù)的取值影響直線的斜率,則可尋找該直線是否圍繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn):即把含參數(shù)的項(xiàng)劃為一組并提取參數(shù),只需讓參數(shù)所乘的因式為0即可(2)已知(與不重合),則過交點(diǎn)的直線系方程為:(該直線無法表示)3、直線系方程的用途:主要是在求直線方程時(shí)可充分利用平行,垂直或過定點(diǎn)的條件,將直線設(shè)為只含一個(gè)參數(shù)的方程,從而在思路上就可圍繞如何求參數(shù)配置資源,尋找條件解出參數(shù),即可得到所求直線方程【經(jīng)典例題】例1.過點(diǎn)和 的直線的斜率為1,則實(shí)數(shù)的值為( )A1 B2 C1或4 D1或2【答案】A【解析】依題意有例2.已知直線方程為則直線的傾斜角為( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線方程為所以直線的斜率為因?yàn)橹本€傾斜角的范圍所以傾斜角為故答案為.例3. 坐標(biāo)平面內(nèi)有相異兩點(diǎn),經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的的傾斜角的取值范圍是( )A B C D【答案】【解析】,且.設(shè)直線的傾斜角為,當(dāng)時(shí),則,所以傾斜角的范圍為.當(dāng)時(shí),則,所以傾斜角的范圍為.例4. 直線過點(diǎn),若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線的方程.【答案】或.例5. 已知直線,其中,則“”是“”的 ( )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】直線的充要條件是 或 .故選A.例6.【2018屆四川省南充高級中學(xué)高三9月檢測】已知直線.若,則實(shí)數(shù)的值是( )A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A【解析】,則 即 經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意故選A.例7已知兩點(diǎn),直線過點(diǎn)且與線段相交,直線的斜率的取值范圍是 .【答案】 例8. 設(shè)直線l的方程為(1)若在兩坐標(biāo)軸上截距相等,求的方程;(2)若不經(jīng)過第二象限,求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1).(2)【解析】 (1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),該直線在x軸和y軸上的截距為零,方程即為.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),截距存在且均不為0,即方程即為.綜上,的方程為.(2)將的方程化為或,綜上可知的取值范圍是點(diǎn)睛:涉及直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等問題,要特別注意截距均為的情況;另外,某些涉及直線問題中,往往要討論直線的斜率是否存在的情況,也應(yīng)特別注意.例9.【2018屆黑龍江省伊春市第二中學(xué)高三上第一次月考】已知直線與直線,為它們的交點(diǎn),點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn).求(1)過點(diǎn)且與平行的直線方程;(2)過點(diǎn)的直線,且到它的距離為2的直線方程.【答案】(1)(2)或【解析】試題分析:(1)先求,寫出直線點(diǎn)斜式方程,整理得解(2)先求兩條直線的交點(diǎn),設(shè)出直線方(2),當(dāng)斜率不存在,則方程為,不合題意當(dāng)斜率存在,設(shè)方程,而,,或,方程為或.例10. 已知直線,直線,若直線關(guān)于直線的對稱直線為,求直線的方程【答案】.【解析】直線關(guān)于直線對稱,所以與與間的距離相等由兩平行直線間的距離公式得,解得或(舍去),所以直線的方程為.法二:由題意知,設(shè)直線,在直線上取點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,于是有,解得,即把點(diǎn)代入的方程,得,所以直線的方程為【精選精練】1.【2018屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考卷(二)】已知直線的傾斜角為,直線經(jīng)過,兩點(diǎn),且直線與垂直,則實(shí)數(shù)的值為( )A. -2 B. -3 C. -4 D. -52.已知直線與直線平行,則實(shí)數(shù)的值為 ( )A. B C. D. 【答案】A【解析】由題意,即,選A.3.平行于直線且與圓相切的直線的方程是( ) A或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】4.已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為4,則該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最大值是 ( )A. B. C. D. 2【答案】D【解析】直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為4,所以,即 ,則該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最大值是 .5若直線與以,為端點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A B C. D【答案】D【解析】直線過定點(diǎn),所以,選D.6.直線經(jīng)過點(diǎn),則傾斜角與直線的傾斜角互為補(bǔ)角的一條直線方程是( )A B C D【答案】C【解析】將點(diǎn)代入得,直線方程為,斜率為,傾斜角為.故和其垂直的直線斜率為,故選C.7.點(diǎn),若線段和有相同的垂直平分線,則點(diǎn)的坐標(biāo)是( )(A) (B)(C) (D)【答案】A8. 如圖所示,已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過的路程是()A2 B6 C3 D2【答案】A【解析】由題意知點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D(4,2),關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(2,0),則光線所經(jīng)過的路程為|CD|2故選A9.若直線: 經(jīng)過點(diǎn),則直線在軸和軸的截距之和的最小值是 【答案】【解析】由題意得,截距之和為,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立,即的最小值為10.已知兩直線和試確定的值,使(1)與相交于點(diǎn);(2);(3),且在軸上的截距為1【答案】(1),;(2),或,;(3),.【解析】試題分析:(1)將點(diǎn)代入兩直線方程,解出和的值;(2)由得斜率相等,求出值,再把直線可能重合的情況排除;(3)先檢驗(yàn)斜率不存在的情況,當(dāng)斜率存在時(shí),看斜率之積是否等于,或即,時(shí)或,時(shí),(3)當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),又,即,時(shí),且在軸上的截距為11.【2018屆黑龍江省伊春市第二中學(xué)高三上第一次月考】已知直線的方程為,求的方程,使得:(1)與平行,且過點(diǎn);(2)與垂直,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4.【答案】(1)(2)【解析】試題分析:(1)由與平行可設(shè),再代點(diǎn)得.(2)由與垂直可設(shè),再得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),根據(jù)面積公式得,最后解方程得試題解析:解:(1)設(shè),過點(diǎn),.方程為.方程為或.12已知,直線, 相交于點(diǎn)P,交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B(1)證明:;(2)用m表示四邊形OAPB的面積S,并求出S的最大值;(3)設(shè)S= f (m), 求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)見解析;(2)1;(3)在(1,0)上為減函數(shù),在(0,1)上為增函數(shù).【解析】(1)證明:可把兩條直線化為(3), 又是單調(diào)遞減的函數(shù),而在(1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,在(1,0)上為減函數(shù),在(0,1)上為增函數(shù)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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