概念1高等數學微積分

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1、第 6章 常 微 分 方 程對 自 然 界 的 深 刻 研 究 傅 里 葉微 積 分 研 究 的 對 象 是 函 數 關 系 , 但 在 實 際 問 題 中 ,往 往 很 難 直 接 得 到 所 研 究 的 變 量 之 間 的 函 數 關 系 ,卻 比 較 容 易 建 立 起 這 些 變 量 與 它 們 的 導 數 或 微 分 之間 的 聯 系 ,從 而 得 到 一 個分 的 方 程 ,即 微 分 方 程 . 通 過 求 解 這 種 方 程 , 同 樣 可以 找 到 指 定 未 知 量 之 間 的 函 數 關 系 .因 此 ,微 分 方 程 是 數 學 聯關 于 未 知 函 數 的 導 數 或

2、 微是 數 學 最 富 饒 的 源 泉 .系 實 際 ,并 應 用 于 實 際 并 應 用 于 實 際 的 重 要 途 徑 和 橋 梁 ,是 各 個 學 科 進 行科 學 研 究 的 強 有 力 的 工 具 .如 果 說 “ 數 學 是 一 門 理 性 思 維 的 科 學 , 是 研 究 、了 解 和 知 曉 現 實 世 界 的 工 具 ” , 那 么 微 分 方 程 就 是顯 示 數 學 的 這 種 威 力 和 價 值 的 一 種 體 現 .現 實 世 界 中 的 許 多 實 際 問 題 都 可 以 抽 象 為 微 分方 程 問 題 .例 如 , 物 體 的 冷 卻 、 琴 弦 的震 動 、

3、 電 磁 波 的 傳 播 等 , 都 可 以 歸 結 為 微 分 方 程 的 問 題 . 人 口 的 增 長 、 微 分 方 程 是 一 門 獨 立 的 數 學 學 科 , 有 完 整 的理 論 體 系 .本 章 我 們 主 要 介 紹 微 分 方 程 的 一 些 基 本 概 念 ,種 常 用 的 微 分 方 程 的 求 解 方 法 , 線 性 微 分 方 程解 的 理 論 .幾這 時 微 分 方 程 也 稱 為 所 研 究 問 題 的 數 學 模 型 . 例 1 一 曲 線 通 過 點 (1,2),且 在 該 曲 線 上 任 一 點),( yxM 處 的 切 線 的 斜 率 為 x2 ,求

4、這 曲 線 的 方 程 .解 )(xyy 設 所 求 曲 線 為xdxdy 2 xdxy 2 2,1 yx 時其 中 ,2 Cxy 即 ,1C求 得.12 xy所 求 曲 線 方 程 為一 、 問 題 的 提 出 6.1 微 分 方 程 的 基 本 概 念 例 2 列 車 在 平 直 的 線 路 上 以 20 米 /秒 的 速 度 行 駛 ,當 制 動 時 列 車 獲 得 加 速 度 4.0 米 /秒 2,問 開 始 制 動 后 多 少 時 間 列 車 才 能 停 住 ？ 以 及 列 車 在 這 段 時 間 內行 駛 了 多 少 路 程 ？解 )(, tssst 米秒 鐘 行 駛設 制 動 后

5、 4.022 dtsd ,20,0,0 dtdsvst 時14.0 Ctdtdsv 2122.0 CtCts 代 入 條 件 后 知 0,20 21 CC,202.0 2 tts ,204.0 tdtdsv故 ),(504.020 秒t 列 車 在 這 段 時 間 內 行 駛 了 ).(5005020502.0 2 米s 開 始 制 動 到 列 車 完 全 停 住 共 需 微 分 方 程 :凡 含 有 未 知 函 數 的 導 數 或 微 分 的 方 程 叫 微 分 方 程 .例 ,xyy ,0)( 2 xdxdtxt ,32 xeyyy ,yxxz 實 質 : 聯 系 自 變 量 ,未 知 函

6、 數 以 及 未 知 函 數 的某 些 導 數 (或 微 分 )之 間 的 關 系 式 .二 、 微 分 方 程 的 定 義 微 分 方 程 的 階 : 微 分 方 程 中 出 現 的 未 知 函 數 的 最高 階 導 數 的 階 數 稱 之 .分 類 1: 常 微 分 方 程 , 偏 常 微 分 方 程 .,0),( yyxF一 階 微 分 方 程 );,( yxfy 高 階 (n)微 分 方 程 ,0),( )( nyyyxF ).,( )1()( nn yyyxfy 分 類 2: 分 類 3: 線 性 與 非 線 性 微 分 方 程 .),()( xQyxPy ;02)( 2 xyyyx

7、分 類 4: 單 個 微 分 方 程 與 微 分 方 程 組 . ,2 ,23 zydxdz zydxdy 微 分 方 程 的 解 :代 入 微 分 方 程 能 使 方 程 成 為 恒 等 式 的 函 數 稱 之 . ,)( 階 導 數上 有在 區(qū) 間設 nIxy .0)(,),(),(,( )( xxxxF n微 分 方 程 的 解 的 分 類 ：三 、 主 要 問 題 -求 方 程 的 解(1)通 解 : 微 分 方 程 的 解 中 含 有 任 意 常 數 ,且 任意 常 數 的 個 數 與 微 分 方 程 的 階 數 相 同 . (2)特 解 : 確 定 了 通 解 中 任 意 常 數

8、以 后 的 解 .,yy 例 ;xcey 通 解,0 yy ;cossin 21 xcxcy 通 解解 的 圖 象 : 微 分 方 程 的 積 分 曲 線 .通 解 的 圖 象 : 積 分 曲 線 族 .初 始 條 件 : 用 來 確 定 任 意 常 數 的 條 件 . 過 定 點 的 積 分 曲 線 ; 00 ),( yy yxfy xx一 階 :二 階 : 00 00 , ),( yyyy yyxfy xxxx過 定 點 且 在 定 點 的 切 線 的 斜 率 為 定 值 的 積 分 曲 線 .初 值 問 題 : 求 微 分 方 程 滿 足 初 始 條 件 的 解 的 問 題 . 求所滿足

9、的微分方程 .例2. 已知曲線上點 P(x, y) 處的法線與 x 軸交點為 Q PQ xyo x解: 如圖所示, yY y 1 )( xX 令 Y = 0 , 得 Q 點的橫坐標yyxX ,xyyx 即02 xyy點 P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, 解 ,cossin 21 ktkCktkCdtdx ,sincos 221222 ktCkktCkdtxd ,22 的 表 達 式 代 入 原 方 程和將 xdtxd .0)sincos()sincos( 212212 ktCktCkktCktCk .sincos 21 是 原 方 程 的 解故 ktCktCx ,0

10、, 00 tt dtdxAx .0, 21 CAC所 求 特 解 為 .cosktAx 補 充 : 微 分 方 程 的 初 等 解 法 : 初 等 積 分 法 .求 解 微 分 方 程 求 積 分(通 解 可 用 初 等 函 數 或 積 分 表 示 出 來 ) 例 5 求 曲 線 族 122 Cyx 滿 足 的 微 分 方 程 , 其 中 C為 任 意 常 數 .解 求 曲 線 族 所 滿 足 的 方 程 , 就 是 求 一 微 分 方 程 ,所 給 的 曲 線 族 正 好 是 該 微 分 方 程 的 積 分 曲 線 族 .此 所 求 的 微 分 方 程 的 階 數 應 與常 數 的 個 數

11、相 等 . 這 里 ,法 來 得 到 所 求 的 微 分 方 程 . 已 知 曲 線 族 中 的 任 意我 們 通 過 消 去 任 意 常 數 的 方對 x求 導 , 得 .022 yCyx再 從 122 Cyx 解 出 ,1 2 2yxC 代 入 上 式 得,0122 2 2 yyyxx 使因在 等 式 122 Cyx 兩 端化 簡 即 得 到 所 求 的 微 分 方 程 .0)1( 2 yxxy 微 分 方 程 ; 微 分 方 程 的 階 ; 微 分 方 程 的 解 ;通 解 ; 初 始 條 件 ; 特 解 ; 初 值 問 題 ; 積 分 曲 線 ;四 、 小 結 思 考 題 函 數 xe

12、y 23 是 微 分 方 程 04 yy的 什 么 解 ? 思 考 題 解 答 ,6 2xey ,12 2xey yy 4 ,03412 22 xx eexey 23 中 不 含 任 意 常 數 ,故 為 微 分 方 程 的 特 解 . 三 、 設 曲 線 上 點 ),( yxP 處 的 法 線 與 x軸 的 交 點 為 Q,且 線 段 PQ被 y軸 平 分 ,試 寫 出 該 曲 線 所 滿 足 的 微 分 方 程 . 一 、 填 空 題 : 1、 02 2 yxyyx 是 _階 微 分 方 程 ； 2、 022 cQdtdQRdtQdL 是 _階 微 分 方 程 ； 3、 2sindd 是 _階 微 分 方 程 ；4、 一 個 二 階 微 分 方 程 的 通 解 應 含 有 _個 任 意 常 數 . 二 、 確 定 函 數 關 系 式 )sin( 21 cxcy 所 含 的 參 數 ,使 其 滿 足 初 始 條 件 1xy , 0 xy . 練 習 題 四 、 已 知 函 數 1 xbeaey xx ,其 中 ba , 為 任 意 常 數 ,試 求 函 數 所 滿 足 的 微 分 方 程 . 練 習 題 答 案 一 、 1、 3； 2、 2； 3、 1； 4、 2. 二 、 .2,1 21 CC 三 、 02 xyy .四 、 xyy 1 .