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《數學下冊（基礎模塊）》 配套PPT課件,數學下冊（基礎模塊）,《數學下冊（基礎模塊）》,配套PPT課件,數學,下冊,基礎,模塊,配套,PPT,課件 第 7 章平面向量（矢量）目錄Contents7.1平面向量的概念7.2平面向量的運算7.3平面向量的坐標表示7.4平面向量的內積PART 7.1平面向量的概念平面向量（矢量）7.1 平面向量的概念 如圖7-1所示，一只老鼠由O處向正西方向跑，1 min后，一只貓由O 處向西北方向追.思考：貓能否追上老鼠？情景導入平面向量（矢量）如圖7-2所示，拉木塊的力F,它是既有大小又有方向的物理量,我們稱既有大小又有方向的量為向量，物理學中又叫做矢量.例如力、速度、加速度、位移等都是向量.7.1 平面向量的概念知識探究平面向量（矢量）向量可以用一條有向線段（帶有方向的線段）來表示，用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.如圖7-3中所示的向量可以用有向線段 來表示，其中，的長度表示向量的大小，起點 A 往終點B 的方向（箭頭的方向）表示向量的方向.我們記圖中的向量為向量 ,向量 的起點為A，終點為B.7.1 平面向量的概念知識探究平面向量（矢量）通常用一個黑體的小寫英文字母 ，來表示向量，書寫為 .大小和方向是向量的兩個要素.向量 的大小，也就是向量 的長度，記作|，讀作向量 的模.a的模記作|.因此，向量的模不同于向量，它是一個非負數，可以進行大小比較.長度為零的向量叫作零向量，記作0.也可以用起點 和終點 重合的有向線段AA 或BB 等表示.顯然，零向量的模為零，它的方向是不確定的.7.1 平面向量的概念知識探究平面向量（矢量），長度等于1個單位長度的向量，叫作單位向量.與 同方向的單位向量可以記作 .觀察非零向量 與向量 ，它們大小相等方向相反，我們稱 為 的負向量（或反向量），記作 .非零向量a的負向量記作-a,0 的負向量記作 0.7.1 平面向量的概念知識探究平面向量（矢量）長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.記作 .零向量與零向量相等.任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關.例如，在圖7-4中，把有向線段AB 平移得到CD，它們的長度相等且方向相同，因此向量AB 與向量CD 相等.7.1 平面向量的概念知識探究平面向量（矢量）在同一平面內，方向相同或者相反的非零向量，叫作平行向量，也叫作共線向量.若向量 與向量 平行，記作 /,規(guī)定0 與任何向量都平行.如圖7-5所示，向量 ，是共線的，而向量 與 是不共線的.7.1 平面向量的概念知識探究 圖 7-5平面向量（矢量）例1 如圖7-6所示，D 是 的邊BC 的中點.在 中找出與向量 相等的向量、的負向量以及與 共線的非零向量.解 與向量 共線的非零向量有 7.1 平面向量的概念例題分析平面向量（矢量）例2 如圖7-7所示，設O 是正六邊形 ABCDEF 的中 心，分別找出圖中與向量 OA，OB，OC 相等的向量.解 7.1 平面向量的概念例題分析平面向量（矢量）1.把平面上所有單位向量歸結到共同的起點，那么這些向量的終點構成什么圖形？2.如圖7-8所示，D，E，F 分別是ABC 中AB，AC，BC 邊的中點，找出與向量 相等、相反、共線的非零向量.7.1 平面向量的概念課堂練習PART 7.2平面向量的運算平面向量（矢量）7.2.1 平面向量的加法 觀察圖7-9，一架飛機從A處向正北方向飛行5 km到達B處，接著又從B 處沿北偏東45方向飛行5 km，到達C 處，顯然這兩次位移 和 的總效果是飛機從A 處到達了C 處，我們稱位移 與 的和為 ，記作 情景導入平面向量（矢量）由于向量可以平行移動而且不會改變其大小和方向，當把向量b平移，使 b 的起點與 a 的終點重合，那么以向量 a 的起點為起點，以向量 b 的終點為終點的向量就叫作向量 a 與向量 b 的和.求向量和的運算，叫作向量的加法，上述關于向量和的定義稱為向量加法的三角形法則.如圖7-10所示，即c=a+b.7.2.1 平面向量的加法知識探究平面向量（矢量）我們還可以把圖7-10中的ABC 補成 ABCD,如圖7-11所示，則向量a 與b 的和可以看成是 ABCD的對角線AC，于是我們得到向量加法的平行四邊形法則：求不共線的兩個向量a，b 的和時，可以從同一起點A作有向線段AB，AD分別表示 a，b,然后以AB，AD作為鄰邊作平行四邊形ABCD，則有向線段 （平行四邊形ABCD的對角線）就表示a+b.7.2.1 平面向量的加法知識探究平面向量（矢量）7.2.1 平面向量的加法知識探究平面向量（矢量）例1 已知向量a 的長度為3，方向水平向右；向量b 的長度為2，方向水平向左.求a+b.解 如圖7-12所示，作有向線段 表示向量a，作有向線段 表示向量b，則有向線段 表示a+b,它的長度為1，方向水平向右.例題分析7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）例2 如圖7-13（a）所示，AD=a,AB=b,分別用三角形法則和平行四邊形法則求 a+b.例題分析7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）解（1）利用三角形法則.如圖7-13(b)所示，將有向線段 平移得到 ，則 =a,由三角形法則知有向線段 =a+b.（2）利用平行四邊形法則.如圖7-13(c)所示，以 AD，AB 為一組鄰邊作平行四邊形ABCD，連接對角線 AC，則由平行四邊形法則得有向線段 =a+b.例題分析7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）類似于實數運算具有運算律，向量的加法滿足下列交換律與結合律.對于任意向量a，b，c,有（1）交換律：a+b=b+a；（2）結合律：（a+b）+c=a+（b+c）.易得a+0=0+a=a,a+(-a)=(-a)+a=0.向量的加法適合交換律與結合律，如圖7-14所示，有：7.2.1 平面向量的加法知識探究平面向量（矢量）例3 利用向量加法的運算法則來求下列向量和.(1)(2)(3)解 （1）（2）（3）例題分析7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）1.已知向量a的長度為2，方向水平向右；向量b 的長度為4,向水平向左.求a+b.2.如圖7-15所示，四邊形ABCD 為平行四邊形，求 .3.已知向量a，b，c 的長度分別為2，3，1，方向分別為正東，北偏東45，北偏西30，作出有向線段表示a+b+c.課堂練習7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）4.求下列向量和.（1）（2）5.非零向量a，b 滿足|a|=|b|=|a+b|,則a 與a+b 的夾角為多少？課堂練習7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）如圖7-16所示，四邊形ABCD為平行四邊形，求：(1)；(2)你能求出 嗎？7.2.2 平面向量的減法情景導入平面向量（矢量）向量a 加上向量b 的反向量，叫作向量a 與向量b 的差，即a-b=a+（-b）.求兩個向量差的運算，叫作向量的減法.觀察圖7-17中起點相同的兩個向量 和 ，則由向量差的定義知，即 7.2.2 平面向量的減法知識探究平面向量（矢量）于是我們得到兩個向量的減法運算法則：起點相同的兩個向量的差等于減向量的終點到被減向量的終點形成的向量.例如，在圖7-18（a）中，；在圖7-18（b）中，7.2.2 平面向量的減法知識探究平面向量（矢量）例4 已知 ABC,如圖7-9所示,用向量AB和AC表示向量CB和BC.解 7.2.2 平面向量的減法例題分析平面向量（矢量）1.在圖7-20(a)(b)中，分別畫出向量差.（1）;（2）2.如圖7-21所示，在 ABCD 中，用向量 和 表示向量 ，.7.2.2 平面向量的減法課堂練習平面向量（矢量）觀察本章圖7-2中的力F,若我們在力F的方向上再作用上一個力F，而力F的大小為力F 的2倍，那么就把力F 記為2F，于是我們引入數乘向量的概念.7.2.3 平面向量的數乘運算情景導入平面向量（矢量）實數與向量a的積是一個向量，記做a,它的長度與方向規(guī)定如下：（1）向量a 的長度為|a|=|a|;（2）當0時，a 的方向與a 的方向相同；當0時,a 的方向與a 的方向相反.由上可知 0a=0,0=0.7.2.3 平面向量的數乘運算知識探究平面向量（矢量）可以證明，數乘向量滿足下列運算律：設，為任意實數，對于任意a，b,有（1）（a）=（）a;（2）（+）a=a+a;（3）（a+b）=a+b.由數乘向量的定義，可知 1a=a,（-1）a=-a,a=0 =0或a=0.7.2.3 平面向量的數乘運算知識探究平面向量（矢量）例5 知向量a的長度為2，方向水平向右如圖7-22(a)所示，分別作有向線段表示 ;解 如圖 7-22（b),7-22(c)所示.7.2.3 平面向量的數乘運算例題分析平面向量（矢量）例6 化簡下列各式.（1）3（-2a+b）-（5a-b）；（2）2（a+3b-2c）+7（-a-b+3c）.7.2.3 平面向量的數乘運算例題分析平面向量（矢量）解（1）3（-2a+b）-（5a-b）=-6a+3b-5a+b=-11a+4b.（2）2（a+3b-2c）+7（-a-b+3c）=2a+6b-4c-7a-7b+21c=-5a-b+17c.7.2.3 平面向量的數乘運算例題分析平面向量（矢量）例7 如圖7-23所示，設D為ABC 的邊 BC 的中點，用向量 ，表示向量 .解 因為在 ABC 中,D為BC邊上的中點,分別過B，C 點作BEAC,CEAB，且BE 與CE 交于點E，則在平行四邊形ABEC 中，AE=2AD.故 7.2.3 平面向量的數乘運算例題分析平面向量（矢量）1.已知向量a方向為正東方向,且|a|=2,向量b方向為北偏東45，且|b|=3.以原點O為起點，分別作有向線段表示2a+b,-a+b.2.化簡下列各式.（1）5（a+b）-7（a-3b）;（2）12（a-2b+c）-2（6a+b-3c）.3.ABCD的兩條對角線交于點O，用向量 ，表示向量 ，.4.ABCD的兩條對角線分別為AC，BD，試用 ,表示 ,7.2.3 平面向量的數乘運算課堂練習PART 7.3平面向量的坐標表示平面向量（矢量）如圖7-24所示，在平面直角坐標系Oxy 中，向量 ，分別為x 軸，y 軸上的單位向量，我們記圖中的坐標系為O;,那么，平面上任何一個向量都可以由 ,表示嗎？7.3.1 平面向量的直角坐標及坐標運算情景導入平面向量（矢量）一般地，在平面直角坐標系中，分別取與x 軸、y 軸方向相同的兩個單位向量 ，則對平面內任一個向量a，都有唯一一對實數x，y，使得 我們把有序數對（x,y）稱為向量 a 的直角坐標或者a 的坐標，記作a=（x,y）,其中x 稱為橫坐標，y 稱為縱坐標.顯然有 7.3.1 平面向量的直角坐標及坐標運算知識探究平面向量（矢量）對于同一平面上的兩個向量a，b,如果取定一個直角坐標系O;,后，a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,如果滿足 ,則稱向量a 與向量b 相等，記作a=b 或者 .在同一直角坐標系中，兩個向量相等當且僅當它們的坐標相等 7.3.1 平面向量的直角坐標及坐標運算知識探究平面向量（矢量）例1 在平面直角坐標系 中，已知向量a=（n-2m,-m-n）,b=（-2,5）,且a=b,求m 和n 的值.解 由于a=b,所以可得下列方程組 n-2m=-2 -m-n=5，解得 m=-1,n=-4.7.3.1 平面向量的直角坐標及坐標運算例題分析平面向量（矢量）我們已經學過了向量的加法、減法和數乘運算，那么如何利用向量的坐標來進行上述運算呢？我們規(guī)定，若在直角坐標系O;e1,e2中，a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,則 a+b=（x1+x2,y1+y2）,a-b=（x1-x2,y1-y2）,ka=（kx1,ky1）.7.3.1 平面向量的直角坐標及坐標運算知識探究平面向量（矢量）我們只對上述第一個式子進行證明，其他兩式請同學們自己證明.證明 在直角坐標系O;e1,e2中，a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2.因此a+b=（x1e1+y1e2）+（x2e1+y2e2）=（x1e1+x2e1）+（y1e2+y2e2）=（x1+x2）e1+（y1+y2）e2,即 a+b=（x1+x2,y1+y2）.7.3.1 平面向量的直角坐標及坐標運算知識探究平面向量（矢量）于是，我們得出向量坐標的運算法則：（1）兩個向量的和（差）的坐標等于它們的坐標的和（差）.（2）實數 與向量a 的乘積a 的坐標等于 乘以a 的坐標.7.3.1 平面向量的直角坐標及坐標運算知識探究平面向量（矢量）例2 已知向量a=（2,-1）,b=（-5,4）,c=（0,-2）,求a+b,3b,2c-3b,a+b-c 的坐標.解 a+b=（2,-1）+（-5,4）=（-3,3）,3b=3（-5,4）=（-15,12）,2c-3b=2（0,-2）-3（-5,4）=（0,-4）-（-15,12）=（15,-16）,a+b-c=（2,-1）+（-5,4）-（0,-2）=（-3,5）.因此，向量a+b,3b,2c-3b,a+b-c 的坐標分別為 （-3,3）,（-15,12）,（15,-16）,（-3,5）.7.3.1 平面向量的直角坐標及坐標運算例題分析平面向量（矢量）1.寫出下列向量的坐標表示.（1）（2)（3）（4）2.已知 a=(2,-3)，b=（3，4），求：(1)a+b;(2)a-b;(3)3a-b;7.3.1 平面向量的直角坐標及坐標運算課堂練習平面向量（矢量）觀察圖7-25，在平面直角坐標系 中，已知P 點坐標為 ，那么點P 的坐標與向量 的坐標有什么關系？7.3.2 平面向量的坐標與點的坐標關系情景導入平面向量（矢量）由于 ,所以向量 的坐標為 ，它與點P 的坐標相同.像圖7-25中的向量 那樣，起點在原點的向量叫作定位向量.每個定位向量都被它的終點唯一確定，并且定位向量的坐標等于它的終點坐標.7.3.2 平面向量的坐標與點的坐標關系知識探究平面向量（矢量）因此向量 的坐標為（x2-x1,y2-y1）,它等于終點坐標與起點坐標的差.即向量的坐標等于終點的坐標與起點坐標的差.不難驗證，圖7-25中的定位向量 的坐標也可以看成是用終點坐標減去起點坐標得到的.如圖7-26所示的向量 ，從點M作 x 軸的垂線，垂足為點A，則向量稱為向量 在 x 軸上的射影；的坐標稱為 在e1方向上的分量.容易看出，在e1方向上的分量等于 的橫坐標，在e2方向上的分量等于 的縱坐標.7.3.2 平面向量的坐標與點的坐標關系知識探究平面向量（矢量）例3 已知A，B 兩點的坐標，求 ，的坐標.（1）A（1,2），B（4,5）；（2）A（-7,0），B（6,-1）.解（1），（2）7.3.2 平面向量的坐標與點的坐標關系例題分析平面向量（矢量）例4 已知 ABCD 的三個頂點A（-2,1）,B（2,2）,C（3,4）,求頂點D的坐標.解 如圖7-27所示.=（-2,1）+（3,4）-（2,2）=（-1,3）.因此,頂點D 的坐標為（-1,3）.2）7.3.2 平面向量的坐標與點的坐標關系例題分析平面向量（矢量）1.已知 A（3，-4），B（-2，3），求 ，的坐標.2.已知點 B（3，-2），=（-2，4），求點A 的坐標.3.已知三角形的三個頂點A（4，0），B（-1，2），C（-2，1），求 ，的坐標.7.3.2 平面向量的坐標與點的坐標關系課堂練習平面向量（矢量）如果向量 ，和向量 平行，那么 之間有怎樣的關系？.7.3.3 平面向量平行的坐標表示情景導入平面向量（矢量）設 ,其中b0,那么a 與b 平行的充要條件是存在唯一實數，使a=b.如果用坐標表示，可寫為 即 消去 后得亦即ab（b0）的充要條件是7.3.3 平面向量平行的坐標表示知識探究平面向量（矢量）例5 已知a=（4,2）,b=（6,y），且ab，求 y.解 由于ab,所以 4y-26=0，即 y=3.7.3.3 平面向量平行的坐標表示例題分析平面向量（矢量）例6 已知A（-1,-1）,B（1,3）,C（2,5），求證：A，B，C 三點共線.證明 由于 =（1-（-1），3-（-1）=（2，4）,=（2-（-1），5-（-1）=（3，6）,又 26-34=0,得 因為直線 AB、直線AC 有公共點A,所以A，B，C 三點共線.7.3.3 平面向量平行的坐標表示例題分析平面向量（矢量）1.已知a=(3,4),b=(x,-16),且ab，求x.2.已知點A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)，求證：ABCD.7.3.3 平面向量平行的坐標表示課堂練習PART 7.4平面向量的內積平面向量（矢量）在物理課中，我們學過功的概念，即如果一個物體在力F 的作用下產生的位移為s，如圖7-8所示，那么力F 所做的功W 可用下式計算.W=|F|s|cos.其中 為F 與s 的夾角.從力所做的功出發(fā)，我們引入向量內積的概念.7.4.1 內積的定義及其性質情景導入平面向量（矢量）設a，b 為兩個非零向量，從O 點引兩條有向線段 ，分別表示 a，b,則我們把射線OA 與射線O B所組成的不大于的角叫作a 與b 的夾角，記做a,b，于是 0a,b,a,b=b,a.用符號0,a或a,0表示0與向量a 的夾角，由于零向量的方向不確定，我們可以把0與a的夾角看成任意一個角.現在給出內積的定義.7.4.1 內積的定義及其性質知識探究平面向量（矢量）任給兩個向量a，b,實數|a|b|cosa,b稱為向量a與b的內積（或數量積），記做ab,讀作“a 點乘b”，即ab=|a|b|cosa,b.由內積的定義可得，對于任意向量 a,有 0a=0,a 0=0.7.4.1 內積的定義及其性質知識探究平面向量（矢量）由此可以看出，兩個向量的內積是一個數量，這個數量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關.因此，前面提到的力所做的功，就等于力F 與其作用下物體產生的位移s 的內積Fs.7.4.1 內積的定義及其性質知識探究平面向量（矢量）設a，b為兩個非零向量，我們由ab=|a|b|cosa,b可得出以下性質：（1）a,b=時，a 與b 垂直，此時ab=0,即 ab ab=0;（2）（3）7.4.1 內積的定義及其性質知識探究平面向量（矢量）向量的內積還具有以下的運算律，對于任意向量a，b，c，任意實數,有（1）ab=ba;（2）（a）b=（ab）;（3）（a+b）c=ac+bc.7.4.1 內積的定義及其性質知識探究平面向量（矢量）例1 已知|a|=4,|b|=2,且a 與b 的夾角為30,求ab.解 ab=|a|b|cosa,b=42cos30=832=43.例2 已知兩非零向量a，b，|a|=3，a,b=60，ab=6,求b 的大小解 由ab=|a|b|cosa,b=3|b|cos60=|b|=6,得|b|=4,即b的大小為4.7.4.1 內積的定義及其性質例題分析平面向量（矢量）1.求下列條件下的ab.（1）|a|=3,|b|=2,a,b=60；（2）|a|=4,|b|=7,a,b=；（3）|a|=1,|b|=10a,b=.2.求下列條件下的|a|.（1）aa=425;（2）a,b=，|b|=3,ab=32.7.4.1 內積的定義及其性質課堂練習平面向量（矢量）平面上我們建立一個直角坐標系 ，設a，b 的坐標分別為 ，那么此時ab 的值為多少呢？7.4.2 內積的坐標表示情景導入平面向量（矢量）由于|e1|=|e2|=1，且e1e2=e2e1=0，因此ab=（x1e1+y1e2）（x2e1+y2e2）=x1x2e1e1+x1y2e1e2+y1x2e2e1+y1y2e2e2 =x1x2|e1|2+y1y2|e2|2 =x1x2+y1y2.7.4.2 內積的坐標表示知識探究平面向量（矢量）兩個向量的內積（數量積）等于它們的橫坐標的乘積與縱坐標的乘積的和.即 ，則有設a，b 為兩個非零向量，且 ，由內積的坐標計算公式可以推出下列性質：（1）（2）（3）7.4.2 內積的坐標表示知識探究平面向量（矢量）例4 在平面直角坐標系中，求下列兩個向量的數量積.（1）a=（0,-4）,b=；（2）c=（-2,5）,d=（7,2）.解 （1）.（2）cd=-27+52=-4 7.4.2 內積的坐標表示例題分析平面向量（矢量）例5 在平面直角坐標系中，判斷下列每一對向量是否垂直.（1）a=（5,-2）,b=（2,-3）;（2）c=（-3,-4）,d=（4,-3）.解（1）ab=52+（-2）（-3）=160，因此a 與b 不垂直.（2）cd=（-3）4+（-4）（-3）=0，因此c 與d 垂直.7.4.2 內積的坐標表示例題分析平面向量（矢量）1 在平面直角坐標系中，求下列向量的內積.（1）a=（2,3）,b=（-4,1）;（2）2 在平面直角坐標系中，求下列向量的長度.（1）a=（3,4）;（2）7.4.2 內積的坐標表示課堂練習平面向量（矢量）3.已知兩點的直角坐標，求這兩點間的距離.（1）（2）4.已知a=（,-1）,b=（-3,），求 a,b.7.4.2 內積的坐標表示課堂練習THANK YOU