《偏導(dǎo)數(shù)與全微分》PPT課件.ppt

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1,§7.2,偏導(dǎo)數(shù) 與 全微分,2,一．偏導(dǎo)數(shù),1. 一元函數(shù)變化率與多元函數(shù)變化率 ① 一元函數(shù)y=f(x)只存在y隨x變化的變化率， 即點x沿x軸移動的一個方式下的變化率（變化快慢）,,,,,,o,x,y,P,x,● 二元函數(shù)z=f(x,y)存在z隨x變化的變化率﹑隨y變化的變化率﹑隨x﹑y同時變化的變化率。,即點P(x,y)在域D內(nèi)可沿x軸﹑沿y軸﹑沿其它直線方向移動的多個方式下的變化率。因而研究二元函數(shù)的變化率問題，需區(qū)別沿哪一個方向的變化，比一元函數(shù)時復(fù)雜得多。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,o,x,y,z,M,P,D,4,2．偏導(dǎo)數(shù)定義,定義8.4 設(shè)函數(shù) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義，如果固定 后，一元函數(shù) 在 點 處可導(dǎo)，即極限,存在，則稱A為函數(shù) 在點 處關(guān)于自變量 的偏導(dǎo)數(shù)，記為 或,5,記為 或,類似地， 在點 處對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為,6,3．偏導(dǎo)函數(shù)概念,① 偏導(dǎo)函數(shù)：當z=f(x,y)在域內(nèi)每一點 (x,y)處對 x（ y ）的偏導(dǎo)數(shù)都存在， 則它就是x,y的函數(shù)，稱為偏導(dǎo)函數(shù)。 ② 記號：,或,或,④ 在不至混淆時常稱偏導(dǎo)函數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)。,③ z=f(x,y)在(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)函數(shù)在(x0,y0)處的函數(shù)值.,7,4. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,——切線M0Ty對y軸的斜率,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,o,x,y,z,M0,P0,x0,y0,Ty,Tx,z=f(x0,y),z=f(x,y0),,,——切線M0Tx對x軸的斜率,8,5．偏導(dǎo)數(shù)的計算法,對哪一個自變量求偏導(dǎo)數(shù)時，就把其它自 變量視為常數(shù)，按一元函數(shù)求導(dǎo)法則計算： 求 時，只要把y暫時看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)； 求 時，只要把x暫時看作常量而對y求導(dǎo)數(shù)。,9,例 1求 在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)。,解,10,例2 求 的偏導(dǎo)數(shù)。,解：,11,解:,例3 設(shè) 求證：,12,例4 求 的偏導(dǎo)數(shù)。,解:,13,6.高階偏導(dǎo)數(shù),二階偏導(dǎo)數(shù)： 設(shè) 為D上的二元函數(shù) ，則其在 D上的偏導(dǎo)數(shù)為 若二元函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)也存在， 則稱其是函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。,14,z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù),記號：,15,例5 求二階偏導(dǎo)數(shù),解：,16,解：,17,[注記]：,① 若 在D內(nèi)連續(xù)，則在D內(nèi) （二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的充分條件?。?② 類似二階偏導(dǎo)數(shù)，可得三階、四階、…、n階 偏導(dǎo)數(shù)，二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階偏導(dǎo)數(shù)；,③ 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有4個，三階有8個， n階有2n個；三元函數(shù)的n階偏導(dǎo)數(shù)有3n個； 等等。,18,7. 偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義,邊際需求:,偏彈性:,兩種商品，價格分別為 和 需求函數(shù)：,稱為邊際需求,發(fā)生變化，而 不變時,其中：,19,發(fā)生變化，而 不變時,其中：,稱為1商品需求量 對自身價格 的直接價格偏 彈性； 稱為1商品需求量 對相關(guān)價格 的交叉價格偏彈性。,20,二．全微分,1．全增量 ⑴偏增量：對于z=f(x,y)若兩個自變量中只有一 個變化時，函數(shù)z的增量稱為偏增量。 如：矩形板在長為x0，寬為y0時，若僅當長增加 ?x(或?qū)捲黾?y)，則面積的增量是偏增量。,21,如：矩形金屬板受熱噴膨脹時，長和寬都要發(fā)生改變，這時面積的改變量（增量）就是全增量。,⑵全增量：對于z=f(x,y)，若兩個自變量都取得增量時，函數(shù)z的增量稱為全增量。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,o,x,y,x0,y0,y0+△y,x0+△x,x0△y,y0△x,△x△y,,22,2．全微分,定義8.5 如果函數(shù) 在點 處的改變量 可表示為 其中 與 無關(guān)， 為 時的無窮小量，即 則稱表達式中的線性主部 為函數(shù) 在點 處的全微分，記為 即 并稱函數(shù) 在點 處可微分或可微。,23,定理8.1：若z=f(x,y)在點 可微分，則 z=f(x,y)在 的偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且,24,例6 求 的全微分,解：,25,定理8.3： 若函數(shù) 在點 的某 鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則該函 數(shù)在點處可微。,定理8.2 若函數(shù) 在點 處可微， 則該函數(shù)在點 處連續(xù)。,26,,多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的關(guān)系,,,,,27,3．全微分在近似計算中的應(yīng)用,★ ★,28,1、偏導(dǎo)數(shù)的定義,2、偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,（偏增量比的極限）,小結(jié),3、多元函數(shù)全微分的概念；,4、多元函數(shù)全微分的求法；,5、多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的關(guān)系．,（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）,