《偏導(dǎo)數(shù)與全微分》PPT課件.ppt

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1,§7.2,偏導(dǎo)數(shù) 與 全微分,2,一．偏導(dǎo)數(shù),1. 一元函數(shù)變化率與多元函數(shù)變化率 ① 一元函數(shù)y=f(x)只存在y隨x變化的變化率， 即點(diǎn)x沿x軸移動(dòng)的一個(gè)方式下的變化率（變化快慢）,,,,,,o,x,y,P,x,● 二元函數(shù)z=f(x,y)存在z隨x變化的變化率﹑隨y變化的變化率﹑隨x﹑y同時(shí)變化的變化率。,即點(diǎn)P(x,y)在域D內(nèi)可沿x軸﹑沿y軸﹑沿其它直線方向移動(dòng)的多個(gè)方式下的變化率。因而研究二元函數(shù)的變化率問題，需區(qū)別沿哪一個(gè)方向的變化，比一元函數(shù)時(shí)復(fù)雜得多。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,o,x,y,z,M,P,D,4,2．偏導(dǎo)數(shù)定義,定義8.4 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果固定 后，一元函數(shù) 在 點(diǎn) 處可導(dǎo)，即極限,存在，則稱A為函數(shù) 在點(diǎn) 處關(guān)于自變量 的偏導(dǎo)數(shù)，記為 或,5,記為 或,類似地， 在點(diǎn) 處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為,6,3．偏導(dǎo)函數(shù)概念,① 偏導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)z=f(x,y)在域內(nèi)每一點(diǎn) (x,y)處對(duì) x（ y ）的偏導(dǎo)數(shù)都存在， 則它就是x,y的函數(shù)，稱為偏導(dǎo)函數(shù)。 ② 記號(hào)：,或,或,④ 在不至混淆時(shí)常稱偏導(dǎo)函數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)。,③ z=f(x,y)在(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)函數(shù)在(x0,y0)處的函數(shù)值.,7,4. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,——切線M0Ty對(duì)y軸的斜率,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,o,x,y,z,M0,P0,x0,y0,Ty,Tx,z=f(x0,y),z=f(x,y0),,,——切線M0Tx對(duì)x軸的斜率,8,5．偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法,對(duì)哪一個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，就把其它自 變量視為常數(shù)，按一元函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算： 求 時(shí)，只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)x求導(dǎo)數(shù)； 求 時(shí)，只要把x暫時(shí)看作常量而對(duì)y求導(dǎo)數(shù)。,9,例 1求 在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)。,解,10,例2 求 的偏導(dǎo)數(shù)。,解：,11,解:,例3 設(shè) 求證：,12,例4 求 的偏導(dǎo)數(shù)。,解:,13,6.高階偏導(dǎo)數(shù),二階偏導(dǎo)數(shù)： 設(shè) 為D上的二元函數(shù) ，則其在 D上的偏導(dǎo)數(shù)為 若二元函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)也存在， 則稱其是函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。,14,z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù),記號(hào)：,15,例5 求二階偏導(dǎo)數(shù),解：,16,解：,17,[注記]：,① 若 在D內(nèi)連續(xù)，則在D內(nèi) （二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的充分條件！）,② 類似二階偏導(dǎo)數(shù)，可得三階、四階、…、n階 偏導(dǎo)數(shù)，二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階偏導(dǎo)數(shù)；,③ 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有4個(gè)，三階有8個(gè)， n階有2n個(gè)；三元函數(shù)的n階偏導(dǎo)數(shù)有3n個(gè)； 等等。,18,7. 偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義,邊際需求:,偏彈性:,兩種商品，價(jià)格分別為 和 需求函數(shù)：,稱為邊際需求,發(fā)生變化，而 不變時(shí),其中：,19,發(fā)生變化，而 不變時(shí),其中：,稱為1商品需求量 對(duì)自身價(jià)格 的直接價(jià)格偏 彈性； 稱為1商品需求量 對(duì)相關(guān)價(jià)格 的交叉價(jià)格偏彈性。,20,二．全微分,1．全增量 ⑴偏增量：對(duì)于z=f(x,y)若兩個(gè)自變量中只有一 個(gè)變化時(shí)，函數(shù)z的增量稱為偏增量。 如：矩形板在長為x0，寬為y0時(shí)，若僅當(dāng)長增加 ?x(或?qū)捲黾?y)，則面積的增量是偏增量。,21,如：矩形金屬板受熱噴膨脹時(shí)，長和寬都要發(fā)生改變，這時(shí)面積的改變量（增量）就是全增量。,⑵全增量：對(duì)于z=f(x,y)，若兩個(gè)自變量都取得增量時(shí)，函數(shù)z的增量稱為全增量。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,o,x,y,x0,y0,y0+△y,x0+△x,x0△y,y0△x,△x△y,,22,2．全微分,定義8.5 如果函數(shù) 在點(diǎn) 處的改變量 可表示為 其中 與 無關(guān)， 為 時(shí)的無窮小量，即 則稱表達(dá)式中的線性主部 為函數(shù) 在點(diǎn) 處的全微分，記為 即 并稱函數(shù) 在點(diǎn) 處可微分或可微。,23,定理8.1：若z=f(x,y)在點(diǎn) 可微分，則 z=f(x,y)在 的偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且,24,例6 求 的全微分,解：,25,定理8.3： 若函數(shù) 在點(diǎn) 的某 鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則該函 數(shù)在點(diǎn)處可微。,定理8.2 若函數(shù) 在點(diǎn) 處可微， 則該函數(shù)在點(diǎn) 處連續(xù)。,26,,多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的關(guān)系,,,,,27,3．全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,★ ★,28,1、偏導(dǎo)數(shù)的定義,2、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,（偏增量比的極限）,小結(jié),3、多元函數(shù)全微分的概念；,4、多元函數(shù)全微分的求法；,5、多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的關(guān)系．,（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）,