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【十年高考】（浙江專版）高考數(shù)學分項版解析 專題03 導數(shù)與應用 理
一．基礎題組
1. 【2007年.浙江卷.理8】設是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是
二．能力題組
1. 【2013年.浙江卷.理8】)已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則( )．
A．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值
B．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值
C．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值
D．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值
【答案】：C
【解析】：當k＝1時，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，
∵f′(1)＝e－1≠0，
∴f(x)在x＝1處不能取到極值；
當k＝2時，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
令H(x)＝xex＋ex－2，
則H′(x)＝xex＋2ex＞0，x∈(0，＋∞)．
說明H(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
且H(1)＝2e－2＞0，H(0)＝－1＜0，
因此當x0＜x＜1(x0為H(x)的零點)時，f′(x)＜0，f(x)在(x0,1)上為減函數(shù)．
當x＞1時，f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．
∴x＝1是f(x)的極小值點，故選C．
2. 【2012年.浙江卷.理17】設a∈R，若x＞0時均有(a－1)x－1］(x2－ax－1)≥0，則a＝__________．
【答案】
三．拔高題組
22. 1. 已知函數(shù)
（1） 若在上的最大值和最小值分別記為，求；
（2） 設若對恒成立，求的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范圍．
于，因此，當時，，當時，，
（iii）當時，有，故，此時在上是減函數(shù)，因此，，故，綜上；
（II）令，則，，因為，對恒成立，即對恒成立，所以由（I）知， 2. 【2013年.浙江卷.理22】(本題滿分14分)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.
(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)當x∈0,2]時，求|f(x)|的最大值．
【答案】
【解析】：(1)由題意f′(x)＝3x2－6x＋3a，
故f′(1)＝3a－3.
又f(1)＝1，所以所求的切線方程為y＝(3a－3)x－3a＋4.
(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，
故①當a≤0時，有f′(x)≤0，此時f(x)在0,2]上單調遞減，
故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.
②當a≥1時，有f′(x)≥0，此時f(x)在0,2]上單調遞增，
故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.
③當0＜a＜1時，設x1＝1－，x2＝1＋，
則0＜x1＜x2＜2，f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)．
列表如下：
x
0
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
3－3a
單調遞增
極大值f(x1)
單調遞減
極小值f(x2)
單調遞增
3a－1
由于f(x1)＝1＋2(1－a)，f(x2)＝1－2(1－a)，
故f(x1)＋f(x2)＝2＞0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a)＞0，
從而f(x1)＞|f(x2)|.
故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1.
綜上所述，
|f(x)|max＝
3. 【2012年.浙江卷.理22】已知a＞0，b∈R，函數(shù)f(x)＝4ax3－2bx－a＋b．
(1)證明：當0≤x≤1時，
①函數(shù)f(x)的最大值為|2a－b|＋a；
②f(x)＋|2a－b|＋a≥0；
(2)若－1≤f(x)≤1對x∈0,1］恒成立，求a＋b的取值范圍．
于是
x
0
(0，)
(，1)
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
減
極小值
增
1
所以，g(x)min＝g()＝1－＞0，
在直角坐標系aOb中，不等式組所表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分，其中不包括線段BC．
作一組平行直線a+b=t(t∈R)，
得－1＜a+b≤3，
所以a+b的取值范圍是(－1,3］．
4. 【2011年.浙江卷.理22】（本題滿分14分）設函數(shù)
（I）若的極值點，求實數(shù)；
（II）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立，注：為自然對數(shù)的底數(shù)。
【命題意圖】本題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用，不等式等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論分析問題和解決問題的能力.
【解析】（I）求導得
∵的極值點， ∴
解得經(jīng)檢驗，符合題意， ∴
（Ⅱ）①當時， 對于任意實數(shù)，恒有 成立
②當 時，由題意，首先有
解得 由（Ⅰ）知
令 則，
且
5. 【2010年.浙江卷.理22】(本題滿分14分)已知是給定的實常數(shù)，設函數(shù)，，
是的一個極大值點．
(Ⅰ)求的取值范圍；
(Ⅱ)設是的3個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由．
（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)
令
于是，假設
（1） 當x1=a 或x2=a時，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意。
（2） 當x1a且x2a時，由于x=a是f(x)的極大值點，故x1
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