《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》,配套PPT課件,經(jīng)濟(jì),數(shù)學(xué),基礎(chǔ),配套,PPT,課件 第一章 極限與連續(xù) 一.教學(xué)目標(biāo) 1.學(xué)習(xí)在解決一些實(shí)際問題時(shí)，需要研究變量的變化趨勢。 2.極限理論是微積分學(xué)的基本推理工具，微積分學(xué)中的很多概念和定理都是用極限方法推導(dǎo)出來的。 二.課時(shí)分配 本項(xiàng)目共7個(gè)小節(jié)，安排14課時(shí)。 三.教學(xué)重點(diǎn) 本章將主要學(xué)習(xí)極限與連續(xù)的基本概念，以及它們的一些性質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)；極限理論是微積分學(xué)的基本推理工具，微積分學(xué)中的很多概念和定理都是用極限方法推導(dǎo)出來的。 四.教學(xué)難點(diǎn) 極限方法推導(dǎo)概念和定理。 五.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 函數(shù) 一.函數(shù)的概念 1.函數(shù)的定義 定義1：設(shè)D是由數(shù)組成的集合.如果對于每個(gè)數(shù)x∈D，變量y按照一定的對應(yīng)法則f總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，那么將對應(yīng)法則f稱為在D上x到y(tǒng)的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為函數(shù)的定義域。 2.函數(shù)的表示法 （1）表格法 （2）圖象法。 用圖象表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如下圖所示； （3） 解析法。 用一個(gè)等式表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如y=x+3，y=lg（x+2）等. 3.函數(shù)的定義域 要使解析式有意義，我們通?？紤]以下幾點(diǎn)： （1）分式的分母不能為零； （2）偶次根式的被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)； （3）對數(shù)式中的真數(shù)必須大于零； （4）冪函數(shù).指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù).三角函數(shù).反三角函數(shù)考慮各自的定義域； （5）若函數(shù)表達(dá)式是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集； （6）分段函數(shù)的定義域是各個(gè)定義區(qū)間的并集。 二.函數(shù)的幾種特性 1.奇偶性 定義2：設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱.如果對于任意的x∈D，f（-x）=-f（x），那么f（x）為奇函數(shù)；如果對于任意的x∈D，f（-x）=f（x），那么f（x）為偶函數(shù).否則f（x）為非奇非偶函數(shù)。 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，如圖所示；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示。 2.單調(diào)性 定義3：若對于區(qū)間D內(nèi)任意的兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1）≤f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)增加，區(qū)間D稱為單調(diào)增區(qū)間；特別地，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1)＜f（x2），則稱f（x)為D上的嚴(yán)格增函數(shù)；如果恒有f（x1）＞f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)減少，區(qū)間D稱為單調(diào)減區(qū)間；特別地當(dāng)x1＞x2時(shí)，恒有f（x1)＞f（x2），則稱f（x)為D上的嚴(yán)格減函數(shù)。 單調(diào)遞增函數(shù)的圖象沿x軸正向上升，如圖所示；單調(diào)遞減函數(shù)的圖象沿x軸正向下降，如圖所示 3.有界性 定義4:設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集XD.若存在數(shù)K1，使得f（x）≤K1 對任意x∈X都成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有上界，而K1稱為函數(shù)f（x）在X上的一個(gè)上界（任何大于K1的數(shù)也是f（x)在X上的上界）；若存在數(shù)K2，使得f（x）≥K2 4.周期性 定義5:設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，對于任意的x∈D，存在不為零的數(shù)T，使f（x+T）=f（x），那么f（x）為D上的周期函數(shù)，T稱為函數(shù)的一個(gè)周期，并且nT（n為非零整數(shù)）也是它的周期.平時(shí)，我們把函數(shù)的最小正周期稱為函數(shù)的周期。 三.初等函數(shù) 1.基本初等函數(shù) 我們把常數(shù)函數(shù)y=c（c為常數(shù)）.冪函數(shù)y=xα（α為實(shí)數(shù)）.指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）.對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）.三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 2.復(fù)合函數(shù) 定義6:若函數(shù)y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定義域中，則變量y通過變量u與變量x建立了對應(yīng)關(guān)系，這個(gè)對應(yīng)關(guān)系稱為y是x的復(fù)合函數(shù)，u是中間變量，x是自變量，通常將 y=f（u），u=g（x）合并寫成y=f［g（x）］ 第二節(jié) 極限 一.數(shù)列的極限 以前我們已經(jīng)學(xué)過數(shù)列的概念，現(xiàn)在我們來考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，無窮數(shù)列{an}的變化趨勢.我們先看一個(gè)實(shí)例：一個(gè)籃球從距地面1m高處自由下落，受地心引力及空氣阻力作用，每次觸地后籃球又反彈到前一次高度的1/2處.于是，可得到表示籃球高度的一個(gè)數(shù)列： 我們知道，籃球最終會(huì)停在地面上，即反彈高度h=0，這說明，隨著反彈次數(shù)n的無限增大，數(shù)列通項(xiàng)hn=1/2n-1的值將趨向于0。 從圖中可看出，當(dāng)n增大時(shí)，點(diǎn)（n，an）從橫軸上方無限接近于直線an=0.這表明，當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an=1/n的值無限趨近于零。 同樣，從圖中可看出，當(dāng)n增大時(shí)，點(diǎn)（n，an）從上下兩側(cè)無限接近于直線an=1.這表明，當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an=（n+（-1）n）/n的值無限趨近于常數(shù)1。 定義1:如果無窮數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，an無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作數(shù)列{an}的極限（limit） limn→∞1/2n-1=0； limn→∞1/n=0； limn→∞(n+（-1）n)/n=1 二.函數(shù)的極限 1.當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f（x）的極限 定義2:如果當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）無限趨近于確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)f（x）當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作 limx→∞f（x）=A或當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）→A 下面給出當(dāng)x→+∞或x→-∞時(shí)函數(shù)極限的定義。 定義3:如果當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的值無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)的極限，記作 limx→+∞f（x）=A，或當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→A （limx→-∞f（x）=A，或當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→A） 2.當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限 定義4:設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某空心鄰域 鄰域就是在數(shù)軸上滿足{x||x-x0|＜δ}，δ＞0的點(diǎn)的集合，即區(qū)間（x0-δ，x0+δ）內(nèi)的一切實(shí)數(shù).x0稱為鄰域的中心，δ為半徑.若這個(gè)區(qū)間不含點(diǎn)x0，則稱為x0的空心δ鄰域。 第三節(jié) 無窮小量與無窮大量 一.無窮小量 定義1:如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的極限為零，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無窮小量，簡稱無窮小。 例如，當(dāng)x→0時(shí)，sinx是無窮??；當(dāng)x→∞時(shí)，1x是無窮小。 二.無窮大量 定義2:如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的絕對值無限增大，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無窮大量，簡稱無窮大. 如果按函數(shù)極限的定義來看，f（x）的極限不存在，但是為了便于敘述，我們稱“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作 limx→x0（x→∞）f（x）=∞ 三.無窮小量與無窮大量的關(guān)系 定理:在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大，那么1f（x）為無窮?。环粗?，如果f（x）為無窮小，且f（x）≠0，那么1f（x）為無窮大. 例如，因?yàn)閘imx→∞x3=∞，所以limx→∞ 1x3=0；因?yàn)閘imx→0sinx=0，所以limx→01sinx=∞ 四.無窮小量的性質(zhì) 在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下三個(gè)性質(zhì)： 性質(zhì)1:有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小。 性質(zhì)2:有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。 性質(zhì)3:有限個(gè)無窮小的乘積為無窮小。 第四節(jié) 極限的運(yùn)算法則 法則設(shè)limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B，則有 （1） limx→x0［f（x）±g（x）］=limx→x0f（x）± limx→x0g（x）=A±B； （2） limx→x0［f（x）·g（x）］=limx→x0f（x）· limx→x0g（x）=A·B； （3） limx→x0［Cf（x）］=C·limx→x0f（x）=C·A（C為常數(shù)）； （4） limx→x0f（x）g（x）= limx→x0f（x） limx→x0g（x）=AB（B≠0） 第五節(jié) 兩個(gè)重要極限 一.判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則 準(zhǔn)則1:如果函數(shù)f（x），g（x），h（x）在同一變化過程中滿足 g（x）≤f（x）≤h（x） 且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A。 準(zhǔn)則2：若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則limn→∞xn一定存在。 二.兩個(gè)重要極限公式 1.limx→0sinx/x=1 我們考察當(dāng)x趨近于0時(shí)，函數(shù)sinx/x的變化趨勢，列表如下： 從上表中可以看出，當(dāng)x→0時(shí)，sinx/x→1，即 limx→0sinx/x=1 2.limx→∞(1+1/x)/x=e 我們考察當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)(1+1/x)x的變化趨勢，列表如下： 從上表中可以看出，當(dāng)x→+∞和x→-∞時(shí)，函數(shù)1+1xx無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是無理數(shù)e=2.718 281 828 45…，即 limx→∞1+1xx=e 在上式中，令u=1x，則當(dāng)x→∞時(shí)，u→0，于是我們可以得到另一種形式 limu→0（1+u）1u=limx→∞1+1xx=e， 即 limx→0（1+x）1x=e 第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 一.函數(shù)連續(xù)的概念 1.函數(shù)的增量 定義1:設(shè)函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量由初值x0變到終值x1時(shí)，我們把差值x1-x0叫作自變量的增量（或改變量），記作Δx，即 Δx=x1-x0， 因此x1=x0+Δx 這時(shí)可以說，自變量由初值x0變化到x0+Δx. 相應(yīng)地，函數(shù)值由f（x0）變化到f（x0+Δx），我們把差值 f（x0+Δx）-f（x0） 叫作函數(shù)的增量（或改變量），記作Δy，即 Δy=f（x0+Δx）-f（x0） 2.函數(shù)的連續(xù) 定義2:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量Δx趨近于零時(shí)，函數(shù)y=f（x）的相應(yīng)增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趨近于零，也就是說，有 lim Δy=0或lim［f（x0+Δx）-f（x0）］=0， 那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn) 定義3:如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0 某鄰域內(nèi)有定義，并且limf（x）=f（x0），那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn)。 定義4:設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處及其左（或右）鄰域內(nèi)有定義，如果limf（x）=f（x0）（或limf（x）=f（x0）），那么稱函數(shù)f（x）在x0處左連續(xù)（或右連續(xù)）。 定義5:如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，或稱函數(shù)f（x）為區(qū)間（a，b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間（a，b）稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間。 二.初等函數(shù)的連續(xù)性 1.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性 性質(zhì)1：如果函數(shù)f（x）與g（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，那么它們的和.差.積.商（分母在x0處不等于零）也都在x0處連續(xù).即 lim［f（x）±g（x）］=f（x0）±g（x0）； lim［f（x）·g（x）］=f（x0）g（x0）； limf（x）g（x）=f（x0）g（x0）（g（x0）≠0）. 2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 性質(zhì)2如果函數(shù)u=φ（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，且φ（x0）=u0，而函數(shù)y=f（u）在點(diǎn)u0處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f［φ（x）］在點(diǎn)x0處也連續(xù)。 3.初等函數(shù)的連續(xù)性 性質(zhì)3：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。 這個(gè)結(jié)論對于以后判定函數(shù)連續(xù)性及一些極限的運(yùn)算是非常有價(jià)值的。如果已知函數(shù)f（x）是初等函數(shù)，且x0屬于f（x）的定義區(qū)間，那么求limf（x）時(shí)，只需將x0代入函數(shù)，求函數(shù)值f（x0）即可。 三.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)4：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，那么函數(shù)f（x）在［a，b］上一定有最大值與最小值。 如圖所示，可以看出，在［a，b］上至少有一點(diǎn)ξ（a≤ξ≤b）使得f（ξ）=m為最小值，即m=f（ξ）≤f（x）（a≤x≤b），又至少有一點(diǎn)η（a≤η≤b）使f（η）=M為最大值，即M=f（η）≥f（x）（a≤x≤b）. 對于在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)的函數(shù)，其最大值.最小值不一定存在。 性質(zhì)5：如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且在兩端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f（a）=A和f（b）=B，C是A與B之間的任一數(shù)，那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得 f（ξ）=C（a＜ξ＜b） 這就是著名的介值定理，它的幾何意義是：在［a，b］上的連續(xù)曲線y=f（x）與直線y=C（C在A與B之間）至少有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（ξ，f（ξ）），其中f（ξ）=C，如圖所示。 推論如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，那么至少存在一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得f（ξ）=0。 第七節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù) 一.需求函數(shù)與供給函數(shù) 1.需求函數(shù) 一種商品的市場需求量Q與該商品的價(jià)格P密切相關(guān)，通常降低商品價(jià)格會(huì)使需求量增加；提高商品價(jià)格會(huì)使需求量減少.如果不考慮其他因素的影響，需求量Q可以看成是價(jià)格P的一元函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作 Q=Q（P）. 一般來說，需求函數(shù)為價(jià)格P的單調(diào)減少函數(shù)。 2.供給函數(shù) 某種商品的市場供給量S也受商品價(jià)格P的制約，價(jià)格上漲將刺激生產(chǎn)者向市場提供更多的商品，使供給量增加；反之，價(jià)格下跌將使供給量減少．供給量S也可看成價(jià)格P的一元函數(shù)，稱為 供給函數(shù)，記為 S=S（P） 供給函數(shù)為價(jià)格P的單調(diào)增加函數(shù)。 常見的供給函數(shù)有線性函數(shù).二次函數(shù).冪函數(shù).指數(shù)函數(shù)等。其中，線性供給函數(shù)為 S=-c+dP（c>0，d>0） 二.成本函數(shù)、平均成本函數(shù) 設(shè)Q為某種產(chǎn)品的產(chǎn)量，C為生產(chǎn)此種產(chǎn)品的成本，則用 C=C（Q） 表示該種產(chǎn)品的成本函數(shù)。 設(shè)生產(chǎn)每個(gè)單位產(chǎn)品的成本為a，固定成本為C0，則成本函數(shù)為 C=C（Q）=aQ+C0 用C表示生產(chǎn)Q個(gè)單位產(chǎn)品的平均成本，則 C=C（Q）=C（Q）Q 表示每單位的平均成本函數(shù).平均成本函數(shù)也用AC表示. 三.價(jià)格函數(shù)、收入函數(shù)與利潤函數(shù) 在消費(fèi)理論中，需求函數(shù)是我們前面討論的形式 Q=f（P） 這種形式所強(qiáng)調(diào)的是既定價(jià)格下的需求量．在廠商理論中，強(qiáng)調(diào)的是既定需求下的價(jià)格．在這種情況下，價(jià)格是需求量的函數(shù)，表示為 P=P（Q） 六．課后習(xí)題 完成每章后面的復(fù)習(xí)題。 第十章 概率論初步 一.教學(xué)目標(biāo) 1.學(xué)習(xí)多元函數(shù)及多元函數(shù)的微分與積分的問題。 2.遵循與一元函數(shù)相同的分析思路，重點(diǎn)學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限.連續(xù)及其微分學(xué)。 二.課時(shí)分配 本項(xiàng)目共5個(gè)小節(jié)，安排10課時(shí)。 三.教學(xué)重點(diǎn) 學(xué)習(xí)多元函數(shù)及多元函數(shù)的微分與積分的問題；遵循與一元函數(shù)相同的分析思路，重點(diǎn)學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限.連續(xù)及其微分學(xué)。 四.教學(xué)難點(diǎn) 學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限，連續(xù)及其微分學(xué)。 五.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 隨機(jī)事件 一.隨機(jī)事件的概念 1. 隨機(jī)現(xiàn)象 自然界與人類社會(huì)存在和發(fā)生的各種現(xiàn)象，大致可歸結(jié)為兩類：一類稱為確定性現(xiàn)象，即條件完全決定結(jié)果的現(xiàn)象.例如在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水被加熱到100℃時(shí)一定沸騰.另一類稱為隨機(jī)現(xiàn)象，即條件不能完全決定結(jié)果的現(xiàn)象。 2. 隨機(jī)試驗(yàn) 為了深入研究隨機(jī)現(xiàn)象，就必須在一定的條件下對它進(jìn)行多次觀察.若把一次觀察視為一次試驗(yàn)，觀測到的結(jié)果就是試驗(yàn)結(jié)果.概率論中把滿足下列條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。 3. 隨機(jī)事件 在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們通常不僅關(guān)心某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)，更關(guān)心滿足某些條件的樣本點(diǎn)出現(xiàn)，即關(guān)心試驗(yàn)時(shí)可能出現(xiàn)的某種結(jié)果.例如，在擲骰子的試驗(yàn)E6中，我們可能關(guān)心是否出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，亦或可能關(guān)注是否出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)（即點(diǎn)數(shù)1，3，5）等結(jié)果.它們皆為樣本空間的子集（隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果），我們稱之為隨機(jī)事件，簡稱為事件。 4. 樣本空間 我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，用Ω來表示.Ω中的元素，即E的每一個(gè)可能結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)，一般用ω表示。 二.事件間的關(guān)系與運(yùn)算 1. 包含關(guān)系 若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記作AB，如圖所示 2. 和（并）事件 事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生，即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，這個(gè)事件稱為事件A與事件B的和（并）事件，記作A∪B（或A+B），如圖所示 3. 積（交）事件 事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，即事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，這個(gè)事件稱為事件A與事件B的積（交）事件，記作A∩B（或AB），如圖所示 4. 差事件 事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，這個(gè)事件稱為事件A與事件B的差事件，記作A-B（或AB），如圖所示 5. 互斥關(guān)系（互不相容） 若事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，則稱事件A與事件B互斥，或稱事件A與事件B互不相容，記作A∩B，如圖所示 6. 對立（逆）事件 對于事件A，若事件A滿足A∪A=Ω，A∩A=，則把事件A稱為事件A的對立事件，如圖所示 第二節(jié) 事件的概率 一.概率的古典定義 古典概率模型簡稱古典概型，通常是指具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ? （1） 隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果，即有限個(gè)樣本點(diǎn)（有限性）； （2） 每一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等（等可能性） 古典概型又稱為等可能性概型.在概率論產(chǎn)生和發(fā)展的過程中，它是最早的研究對象，在實(shí)際應(yīng)用中它也是最常用的一種概率模型。 對于古典概型，以Ω={ω1，…，ωn}表示樣本空間，ωi（i=1，2，…，n）表示樣本點(diǎn)，對于任一隨機(jī)事件A={ωi1，…，ωin}，下面給出古典概型的定義。 定義：（概率的古典概型定義）對于給定的古典概型，若樣本空間中有n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A含有m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率為 P（A）=mn=事件A所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)樣本空間Ω中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 二.概率的統(tǒng)計(jì)定義 頻率描述了事件發(fā)生的頻繁程度。 頻率的定義若在同一組條件下將試驗(yàn)E重復(fù)N次，事件A發(fā)生了m次，則稱比值mN為事件A在N次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fN（A），即 fN（A）=mN 概率的統(tǒng)計(jì)定義在觀察某一隨機(jī)事件A的隨機(jī)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率fn（A）會(huì)越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，這時(shí)就以常數(shù)p作為事件A的概率，并稱其為統(tǒng)計(jì)概率，即P（A）=p 由頻率和概率的統(tǒng)計(jì)定義，可以得到統(tǒng)計(jì)概率的性質(zhì)： （1）非負(fù)性：0≤P（A）≤1； （2）規(guī)范性：P（Ω）=1； （3）有限可加性：若事件A1，A2，…，An互不相容，則P（∪ni=1Ai）=∑ni=1P（Ai） 第三節(jié) 條件概率.乘法公式與事件的獨(dú)立性 一.條件概率 前面我們討論了一個(gè)事件A的概率P（A）的計(jì)算.但在實(shí)際生活中，我們常常需要求在事件B已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，我們記為P（A|B）.一般來說，這兩個(gè)概率是不同的。 現(xiàn)在考慮：已知事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，則 P（A|B）=23=2434=P（AB）P（B），即P（A|B）=P（AB）P（B）. 定義1：設(shè)A，B為試驗(yàn)E的兩個(gè)事件，且P（B）＞0，則稱 P（A|B）=P（AB）P（B） 為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，簡稱條件概率。 二.乘法公式 若已知P（B），P（A|B），也可以求P（AB）.這就是概率的乘法公式 定理1設(shè)P（B）＞0，則有 P（AB）=P（B）P（A|B）.（101） 設(shè)P（A）＞0，則有 P（AB）=P（A）P（B|A）.（102） 式（101）.式（102）稱為概率的乘法公式。 概率的乘法公式可以推廣到任意n個(gè)事件的情形。 若事件 三.事件的獨(dú)立性 一般情況下，條件概率P（B|A）與P（B）是不同的.但在某些特殊情況下，條件概率P（B|A）等于無條件概率P（B），這時(shí)事件B發(fā)生與否不影響事件A的概率.這表明事件A與事件B之間存在某種獨(dú)立性。 定義2：設(shè)A與B為兩事件，若 P（AB）=P（A）P（B） 成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。 由定義2，可以推出如下定理和性質(zhì)成立。 定理2：設(shè)A，B為兩事件，且P（A）＞0，則A與B相互獨(dú)立的充要條件是P（B|A）=P（B） 證明設(shè)A，B相互獨(dú)立，即P（AB）=P（A）P（B），則 P（B|A）=P（AB）P（A）=P（A）P（B）P（A）=P（B）； 反之，設(shè)P（B|A）=P（B），則 P（AB）=P（A）P（B|A）=P（A）P（B） 顯然，當(dāng)P（B）＞0時(shí)，定理2中的充要條件可改為P（A|B）=P（A）.而當(dāng)P（A），P（B）至少有一個(gè)為零時(shí)，由ABA及ABB易知，此時(shí)仍有P（AB）=P（A）P（B）成立.這表明，概率為零的事件與任一事件相互獨(dú)立。 性質(zhì)（1）不可能事件與任何事件獨(dú)立。 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布 一.隨機(jī)變量的概念 我們發(fā)現(xiàn)在討論隨機(jī)事件及其概率時(shí)，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)值有密切的關(guān)聯(lián).試驗(yàn)的結(jié)果可以用某些實(shí)數(shù)值加以刻畫.許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是一個(gè)數(shù)值.雖然有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不直接表現(xiàn)為數(shù)值，但卻可以將其數(shù)量化。 定義1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E，它的樣本空間Ω={ω}.若對任一ω∈Ω，都有實(shí)數(shù)X（ω）與之對應(yīng)，則稱X（ω）為隨機(jī)變量，簡記為X 引進(jìn)隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件就可以表示為隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的取值.例如，在擲骰子實(shí)驗(yàn)中{恰出現(xiàn)5點(diǎn)}表示為{X=5}，{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不少于3}表示為{X≥3} 二.分布函數(shù) 定義2：設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù) F（x）=P{X≤x} 為X的分布函數(shù) 分布函數(shù)F（x）的性質(zhì)： （1） F（x）單調(diào)不減，即當(dāng)x1＜x2時(shí)，F(xiàn)（x1）≤F（x2）； （2） 0≤F（x）≤1，且F（-∞）=limx→-∞F（x）=0，F(xiàn)（+∞）= limF（x）=1； （3） F（x）在任意一點(diǎn)x處右連續(xù)，即F（x+0）=limF（t） 三.離散型隨機(jī)變量及其分布的定義 1.離散型隨機(jī)變量及其分布 定義3：若隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)或可列無窮多個(gè)數(shù)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。 定義4：設(shè)xk（k=1，2，…）為離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值，pk（k=1，2，…）是X取值xk時(shí)相應(yīng)的概率，即 P{X=xk}=pk，k=1，2，…， 則上式叫作離散型隨機(jī)變量X的概率分布，其中pk≥0且∑pk=1 離散型隨機(jī)變量X的概率分布也可以用表的形式來表示，稱其為離散型隨機(jī)變量X的分布律。 四.連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 1.連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)的定義 定義5：對于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)可積函數(shù)f（x）（-∞＜x＜+∞），對于任意的實(shí)數(shù)a，b（a＜b），都有 P{a＜X≤b}=∫baf（x）dx.（108） 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f（x）稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).有時(shí)也可用其他函數(shù)符號如p（x）等表示。 五.隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 在一些試驗(yàn)中，所關(guān)心的隨機(jī)變量往往不能由直接測量得到，但它卻是某個(gè)能直接測量隨機(jī)變量的函數(shù).本小節(jié)主要討論如何由已知隨機(jī)變量X的分布去求它的函數(shù)Y=g（X）的分布。 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 定理設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如表所示。 X的分布律 六.二維隨機(jī)變量及分布的幾個(gè)相關(guān)概念 定義6：設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x，y，二元函數(shù) F（x，y）=P（X≤x，Y≤y） 稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 定義7：設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x，y），如果讓其中一個(gè)隨機(jī)變量的取值趨于無窮，就能得到X或Y的分布函數(shù)，則有 FX（x）=P（X≤x）=P（{X≤x}∩Ω） =P（{X≤x}∩{Y＜+∞}） =P（X≤x，Y＜+∞）=F（x，+∞）， 即 FX（x）=F（x，+∞）. 同理，有 FY（y）=F（+∞，y）， 分別稱FX（x）和FY（y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù). 定義8：設(shè)F（x，y）及FX（x），F(xiàn)Y（y）分別為隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對于任意實(shí)數(shù)x，y，有 P（X≤x，Y≤y）=P（X≤x）P（Y≤y）， 即 F（x，y）=FX（x）FY（y） 成立，則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立. 定義9：若二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值為有限或可列對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量。 對于二維離散型隨機(jī)變量（X，Y），若它至多只能取有限或可數(shù)無限對不同值（xi，yj）（i，j=1，2，…），則稱（X，Y）取各可能值的相應(yīng)的概率 P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，… 為（X，Y）的分布律或概率分布，或稱為X與Y的聯(lián)合分布律。 第五節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 一.數(shù)學(xué)期望 1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xi}=pi（i=1，2，…），則稱和式∑xipi為離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作 或記EX，即數(shù)學(xué)期望等于離散型隨機(jī)變量的所有可能取值與其對應(yīng)概率乘積之和。 2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 對于連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望概念的引入，大體上可以在離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望基礎(chǔ)上，沿用高等數(shù)學(xué)中生成定積分的思路，改求和為求積分即可。 定義2：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）（-∞＜x＜+∞），若積分∫+∞-∞xf（x）dx絕對收斂，則稱積分∫f（x）dx的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.記為 3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 在實(shí)踐中，我們經(jīng)常會(huì)遇到已知隨機(jī)變量X的概率分布，求其隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g（X）的數(shù)學(xué)期望E［g（X）］的問題.例如，已知圓盤半徑X的概率分布，需要求其面積Y=πX2的數(shù)學(xué)期望E（πX2）.我們當(dāng)然可以先求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g（X）的分布，然后求其數(shù)學(xué)期望E（Y）.而由前面所學(xué)內(nèi)容知，求隨機(jī)變量函數(shù)的分布是個(gè)相當(dāng)復(fù)雜甚至困難的問題，尤其是對于連續(xù)型的情形。 二.方差 1.方差的概念 為不使正.負(fù)偏差互相抵消，易得到量 E［|X-EX|］ 能度量隨機(jī)變量X與其均值EX的偏離程度.但由于上式含絕對值，在運(yùn)算上不方便，通常是用量 E（X-EX）2取而代之 定義3：設(shè)X是隨機(jī)變量，若E（X-EX）2存在，則稱它為隨機(jī)變量X的方差，記為D（X），即 D（X）=E（X-EX）2 與隨機(jī)變量X具有相同量綱的量D（X）稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。 2.切比雪夫大數(shù)定律 設(shè)X1，X2，…，Xn，…是一個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，每個(gè)Xi的數(shù)學(xué)期望E（Xi）存在，且方差D（Xi）有限，公共上界為c，即D（Xi）≤c（i=1，2，…），則對任意ε＞0，都有 切比雪夫大數(shù)定律說明相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均X=1n ∑ni=1Xi依概率收斂于它們數(shù)學(xué)期望的平均值μ=1n∑ni=1E（Xi）=E（X） 六．課后習(xí)題 完成每章后面的復(fù)習(xí)題。 第十一章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步 一.教學(xué)目標(biāo) 1.學(xué)習(xí)以隨機(jī)現(xiàn)象為研究對象。 2.學(xué)習(xí)概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的實(shí)際應(yīng)用。 3.主要學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容。 二.課時(shí)分配 本項(xiàng)目共4個(gè)小節(jié)，安排8課時(shí)。 三.教學(xué)重點(diǎn) 學(xué)習(xí)以隨機(jī)現(xiàn)象為研究對象；學(xué)習(xí)概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的實(shí)際應(yīng)用；主要學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容。 四.教學(xué)難點(diǎn) 學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限.連續(xù)及其微分學(xué)。 五.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 一.總體與個(gè)體 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們把研究對象的全體稱為總體，而把組成總體的每個(gè)基本元素稱為個(gè)體。 對于總體概念進(jìn)行隨機(jī)化處理，為的是把概率論的一套方法引進(jìn)到數(shù)理統(tǒng)計(jì)中來，并作為研究數(shù)理統(tǒng)計(jì)的工具。 二.樣本與樣本容量 從總體X中隨機(jī)抽出的n個(gè)個(gè)體X1，X2，…，Xn，其全體（X1，X2，…，Xn）便為總體X的樣本.其中Xi（i=1，2，…，n）稱為樣本的第i個(gè)樣品.樣本中所含樣品個(gè)數(shù)n稱為樣本容量。 由于對總體特征的考察，其信息來自從中抽取的樣本，因此要求樣本應(yīng)滿足下述兩條基本要求： （1）獨(dú)立性——X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量； （2）代表性——X1，X2，…，Xn中的每一個(gè)個(gè)體都與總體X有相同分布。 三.幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量 1.常用統(tǒng)計(jì)量 假設(shè)（X1，X2，…，Xn）是總體X的樣本，則稱 （1） vk=1/n∑Xki為樣本的k階原點(diǎn)矩.其中，k為正整數(shù).特別地，當(dāng)k=1時(shí)，樣本的一階原點(diǎn)矩稱為樣本均值，記為X （2） uk=1/n∑（Xi-X）k為樣本的k階中心矩。 （3） S*2n=1/( n-1)∑（Xi-X）2為樣本方差。 2.常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征 設(shè)（X1，X2，…，Xn）是總體X的樣本，且X~N（μ，σ2），則 （1） E（X）=μ，D（X）=σ2 /n （2） E（S2n）=(n-1)/nσ2，E（S*2n）=σ2 四.幾個(gè)重要分布 1.χ2分布 定義1:設(shè)X1，X2，…，Xn為n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則稱隨機(jī)變量 所服從的分布是自由度為n的χ2分布，記為χ2（n） 根據(jù)卷積公式和數(shù)學(xué)歸納法，可以證明χ2（n）的概率密度為 性質(zhì)1:（可加性）設(shè)Y1～χ2（m），Y2～χ2（n），且Y1與Y2相互獨(dú)立，則 Y1+Y2～χ2（m+n） 性質(zhì)2:（χ2分布的數(shù)字特征）若χ2～χ2（n），則 E（χ2）=n，D（χ2）=2n 2.t分布 定義2:設(shè)隨機(jī)變量X～N（0，1），Y～χ2（n），且X與Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為n的t分布，記為T～t（n）.隨機(jī)變量T亦稱為t變量.利用獨(dú)立隨機(jī)變量商的密度公式，不難由已知的N（0，1），χ2（n）的密度公式得到t（n）的密度： 下面介紹t分布具有的性質(zhì) 性質(zhì)3:設(shè)隨機(jī)變量T～t（n），則當(dāng)n＞2時(shí)，有 E（T）=0，D（T）=n/n-2 性質(zhì)4:設(shè)隨機(jī)變量T～t（n），p（t）是T的分布密度，則 3.F分布 性質(zhì)5:設(shè)X～χ2（n1），Y～χ2（n2），且X與Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為n1和n2的F分布，記為F～F（n1，n2） F分布的密度函數(shù)為 第二節(jié) 參數(shù)點(diǎn)估計(jì) 一.點(diǎn)估計(jì)的概念 設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x，θ），這里x是變量.分布函數(shù)的類型，可以為已知也可以為未知；θ是參數(shù)，可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)向量.在這里，θ或θ的某函數(shù)是我們要估計(jì)的對象，假定θ是未知的，以后為書寫方便起見，就用θ來表示θ本身（θ的真值）或θ的某函數(shù)g（θ）。 二.估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn) 1.估計(jì)量的無偏性 定義：設(shè) 是參數(shù)θ的估計(jì)量， 2.估計(jì)量的有效性 僅僅要求估計(jì)的無偏性還是很不夠的，有的估計(jì)雖然無偏，但是取偏離θ很遠(yuǎn)的值的概率很大.這種無偏估計(jì)顯然是不理想的.為了使估計(jì)有更好的優(yōu)良性，應(yīng)在無偏性的基礎(chǔ)上進(jìn)一步達(dá)到方差盡量小。 定義：設(shè) 都是總體未知參數(shù)θ的無偏估計(jì)量，若對任意的θ，恒有 3.估計(jì)量的一致性 無偏性和有效性是在樣本容量n固定的情況下建立起來的評判估計(jì)量優(yōu)劣的準(zhǔn)則，然而估計(jì)量θ∧（X1，X2，…，Xn）依賴于樣本容量n，當(dāng)樣本容量n增大時(shí)，由樣本提供的總體的信息量也隨之增多.因而用θ∧對θ進(jìn)行估計(jì)時(shí)，隨著n的增大，這種估計(jì)也應(yīng)更加準(zhǔn)確有效.也就是說，我們有理由要求當(dāng)樣本容量n無限增大時(shí)，估計(jì)量能在某種意義上越來越接近于被估計(jì)的參數(shù)的真值，這就是估計(jì)量的一致性。 定義：設(shè) 是未知參數(shù)θ的估計(jì)量，若當(dāng)n→∞時(shí)，θ∧依概率收斂于θ，即對任意ε＞0，有 則稱θ∧為參數(shù)θ的一致估計(jì)或相合估計(jì)。 第三節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 一.置信區(qū)間 設(shè)總體分布含有一個(gè)未知參數(shù)θ，若由樣本所確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量θ1，θ2，對于給定的α（0＜α＜1），能滿足條件 P{θ1＜θ＜θ2}=1-α， 則區(qū)間（θ1，θ2）稱為θ的1-α置信區(qū)間.θ1為置信下限，θ2為置信上限，它們統(tǒng)稱為置信限，1-α稱為置信水平，在一般情況下，α取0.01，0.05，0.10等。 二.正態(tài)總體均值的置信區(qū)間 為了計(jì)算置信區(qū)間的上.下限θ2和θ1，必須引進(jìn)一個(gè)估計(jì)量.我們知道正態(tài)總體參數(shù)μ的估計(jì)量為 對于已知σ2來說，當(dāng)α=0.05時(shí)，根據(jù)題意需要計(jì)算滿足條件 于是 即 于是， 推廣到一般，如果已知正態(tài)總體N（μ，σ2），其中，σ2為已知，μ未知，（x1，x2，…，xn）為來自總體的一個(gè)樣本，則μ的1-α置信區(qū)間為 三.正態(tài)總體方差的置信區(qū)間 求σ2的置信區(qū)間的步驟與求μ的置信區(qū)間相仿，即引進(jìn)一個(gè)隨機(jī)變量，且它的分布依賴于σ2的估計(jì)量S2，而和σ2無關(guān)。 若總體X~N（μ，σ2），（x1，x2，…，xn）為來自總體X的一個(gè)樣本，S2為樣本方差，則統(tǒng)計(jì)量χ2=（n-1）S*2n/σ2服從自由度（n-1）的χ2分布，記為χ2~χ2（n-1）。 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn) 一.假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念 1.假設(shè)檢驗(yàn)的問題舉例 【例1】某廠有一批產(chǎn)品200件，按規(guī)定次品率不超過3％才能出廠.今在其中任意抽取10件，發(fā)現(xiàn)10件產(chǎn)品中有兩件次品.問這批產(chǎn)品能否出廠? 【解】這一批產(chǎn)品可看作一個(gè)總體，次品率設(shè)為p，其為總體的一個(gè)參數(shù).實(shí)際上所要解決的問題是：判斷是否有p≤0.03。 【例2】某廠生產(chǎn)的滾球直徑服從正態(tài)分布N（15.1，0.05）.現(xiàn)從某天生產(chǎn)的滾球中隨機(jī)抽取6個(gè)，測得其平均直徑為x=14.95mm，假定方差不變，問這天生產(chǎn)的滾球是否符合要求？ 【解】依題意，這天生產(chǎn)的滾球直徑服從正態(tài)分布N（μ，0.05）.如果這天的滾球生產(chǎn)符合要求，滾球直徑應(yīng)該在15.1mm附近波動(dòng)，即隨機(jī)變量X的期望μ=15.1；否則認(rèn)為不符合要求.這樣所要解決的問題是：判斷是否有μ=15.1. 【例3】在針織品的漂白工藝過程中，要考慮溫度對針織品斷裂強(qiáng)力的影響.為了比較70℃和80℃的影響有無差別，在這兩個(gè)溫度下，分別重復(fù)做了8次試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下（單位：kg）： 70℃時(shí)的斷裂強(qiáng)力 20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2； 80℃時(shí)的斷裂強(qiáng)力 17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1. 設(shè)斷裂強(qiáng)力服從正態(tài)分布，若方差不變，問70℃時(shí)的斷裂強(qiáng)力與80℃時(shí)的斷裂強(qiáng)力有沒有顯著差別？ 【解】如果設(shè)在70℃和80℃時(shí)的斷裂強(qiáng)力分別為X和Y，則X～N（μ1，σ2），Y～N（μ2，σ2）。 要考察70℃時(shí)的斷裂強(qiáng)力和80℃時(shí)的斷裂強(qiáng)力有沒有顯著差別，只要看看這兩個(gè)溫度下斷裂強(qiáng)力的期望μ1和μ2是否相等即可，因此所要解決的問題是：判斷是否有μ1=μ2 2.假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 概率小到什么程度的事件才算作小概率事件，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，是根據(jù)具體情況在檢驗(yàn)之前事先指定的.通常選0.1，0.05，0.01等，這種界定小概率的值常用α表示，稱其為顯著性水平或檢驗(yàn)水平.所提出的假設(shè)用H0表示，稱H0為原假設(shè)或零假設(shè)，并把原假設(shè)的對立假設(shè)用H1表示，稱H1為備擇假設(shè)。 下面利用上述基本方法對例1做假設(shè)檢驗(yàn)。 為解決問題方便，將原假設(shè)H0：p≤0.03分成：p=0.03及p<0.03兩種情況，并取α=0.05，即概率小于0.05的事件為小概率事件。 對于假設(shè)H0：p=0.03的情況，依此假設(shè)，可知200件產(chǎn)品中有6件次品.設(shè)“任意抽取10件，有2件次品”的事件為A，則 因?yàn)?.0287<0.05，所以按事先取的標(biāo)準(zhǔn)，這是小概率事件。 對于假設(shè)p<0.03的情況，依此假設(shè)，此時(shí)200件產(chǎn)品中的次品數(shù)少于6件，則事件A的概率更小.依據(jù)小概率原理，拒絕p≤0.03的假設(shè)，認(rèn)為這批產(chǎn)品不能出廠。 再來解例2.由于例1中的總體為離散型隨機(jī)變量，而例2中的總體為連續(xù)型隨機(jī)變量，為解決連續(xù)型隨機(jī)變量在單點(diǎn)處概率為0所帶來的問題，我們采取以下的解法。 （1）提出假設(shè).原假設(shè)H0：μ=μ0=15.1，備擇假設(shè)可取H1：μ≠15.1. （2）選取與原假設(shè)μ=15.1有關(guān)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 由此可知U～N（0，1） 二.正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 1.正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn) （1） 方差已知時(shí)，正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)（U檢驗(yàn)）.設(shè)X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體N（μ，σ20）的一個(gè)樣本，其中，μ未知，-∞＜μ＜+∞，σ20已知，要檢驗(yàn)假設(shè) 其中μ0為已知常數(shù)，取檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為 當(dāng)H0成立時(shí)，U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），且當(dāng)H0成立時(shí)，|X-μ0|的值應(yīng)較小，故|U|的值也應(yīng)較小，若根據(jù)一次抽樣結(jié)果發(fā)現(xiàn)|U|的值較大，自然懷疑H0不成立.對于給定的檢驗(yàn)水平α（0＜α＜1），查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得分位數(shù)uα2，使得 P{|U|≥uα2}=α， 2.正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn) 這里只討論μ未知時(shí)σ2的假設(shè)檢驗(yàn)問題（關(guān)于μ已知時(shí)的情況，一是比較少見，二是與μ未知時(shí)的討論類似）.首先討論如下的三種假設(shè)檢驗(yàn)問題： 三．課后習(xí)題 完成每章后面的課后習(xí)題。