《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件
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第二章 導(dǎo)數(shù)與微分
一.教學(xué)目標(biāo)
1.學(xué)習(xí)研究運(yùn)動(dòng)的各種形式時(shí)，都需要從數(shù)量上研究函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢程度。
2.學(xué)習(xí)當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)的變化幅度大小等問(wèn)題。
3.學(xué)習(xí)引入導(dǎo)數(shù)和微分的概念。
二.課時(shí)分配
本項(xiàng)目共4個(gè)小節(jié)，安排8課時(shí)。
三.教學(xué)重點(diǎn)
學(xué)習(xí)當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)的變化幅度大小等問(wèn)題；學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、微分的概念及其計(jì)算方法。
四.教學(xué)難點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)、微分的概念及其計(jì)算方法。
五.教學(xué)內(nèi)容
第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念
一.引例
1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度
我們知道在物理學(xué)中，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任何時(shí)刻的速度可由公式v=s/t來(lái)計(jì)算，其中，s為物體經(jīng)過(guò)的路程，t為時(shí)間.如果物體做非勻速運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s（t），那么在某一段時(shí)間［t0，t1］內(nèi)，物體的位移（即位置增量）s（t1）-s（t0）與所經(jīng)歷的時(shí)間（即時(shí)間增量）t1-t0的比，就是這段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度.我們把位移增量s（t1）-s（t0）記作Δs，時(shí)間增量t1-t0記作Δt，平均速度記作v，得
v=s（t1）-s（t0）/t1-t0=Δs/Δt
=s（t0+Δt）-s（t0）/Δt
2. 切線問(wèn)題
設(shè)M是曲線C上任一點(diǎn)，N是曲線上在點(diǎn)M附近的一點(diǎn)，作割線MN.當(dāng)點(diǎn)N沿著曲線C向點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，割線MN就繞著M轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N無(wú)限趨近于點(diǎn)M時(shí)，割線MN的極限位置為MT，直線MT叫作曲線在點(diǎn)M處的切線，如圖所示。
已知曲線方程y=f（x），可以求過(guò)曲線上點(diǎn)M（x0，y0）處的切線斜率。在M點(diǎn)的附近取點(diǎn)N（x0+Δx，y0+Δy），其中Δx可正可負(fù)，作割線MN，其斜率為（φ為傾斜角）
tanφ=ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx
當(dāng)Δx→0時(shí)，割線MN將繞著點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)到極限位置MT，如圖所示.根據(jù)上面切線的定義，直線MT就是曲線y=f（x）在點(diǎn)M處的切線.自然，割線MN的斜率tanφ的極限就是切線MT的斜率tanα（α是切線MT的傾斜角），即
tanα=limΔtanφ=
limΔyΔx=limΔf（x0+Δx）-f（x0）Δx
二.導(dǎo)數(shù)的概念
定義1:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y有增量
Δy=f（x0+Δx）-f（x0）
如果當(dāng)Δx→0時(shí)，ΔyΔx的極限存在，那么這個(gè)極限就稱(chēng)為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為y′|x=x0，即
y′|x=x0=limΔy/Δx=lim f（x0+Δx）-f（x0）Δx，
也可以記作
f′（x0），dy/dx或df（x）/dx
定義2:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，若
limΔyΔx=lim f（x0+Δx）-f（x0）/Δx
(lim 0Δy/Δx=lim f（x0+Δx）-f（x0）/Δx)
存在，則稱(chēng)y=f（x）在點(diǎn)x0的左（右）導(dǎo)數(shù)存在，記作f′-（x0）（f′+（x0））
三.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
由切線斜率問(wèn)題的討論及導(dǎo)數(shù)定義可知：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線斜率，即
f′（x0）=tanα
其中，α是切線的傾斜角.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程可得，曲線y=f（x）在給定點(diǎn)M（x0，y0）處的切線方程是
y-y0=f′（x0）（x-x0）
過(guò)切點(diǎn)M（x0，y0）且與切線垂直的直線叫作曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）的法線.若f′（x0）≠0，則法線方程為
y-y0=-1f′（x0）（x-x0）
四.函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系
設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，即極限
limΔyΔx=f′（x0）
存在.由函數(shù)極限存在與無(wú)窮小的關(guān)系知
ΔyΔx=f′（x0）+α（α是當(dāng)Δx→0時(shí)的無(wú)窮?。?。
上式兩端同乘以Δx，得Δy=f′（x0）Δx+αΔx.不難看出，當(dāng)Δx→0時(shí)，Δy→0.這就是說(shuō)，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處是連續(xù)的。
第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則
一.函數(shù)和.差.積.商的求導(dǎo)法則
法則1：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u（x）±v（x）也在x處可導(dǎo)，且
［u（x）±v（x）］′=u′（x）±v′（x）
法則2：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u（x）·v（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且
［u（x）·v（x）］′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）.
特別地，令v（x）=c（常數(shù)），則由于c′=0，所以有［cu（x）］′=cu′（x）。
法則3：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且v（x）≠0，則函數(shù)u（x）v（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)且
u（x）v（x）′=u′（x）v（x）-u（x）v ′（x）［v（x）］2。
二.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
法則4：如果函數(shù)u=φ（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且y=f（u）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u=φ（x）處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)f［φ（x）］在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且
dy/dx=dy/du·du/dx
或f′（x）=f′（u）·φ′（x）
三.隱函數(shù)的求導(dǎo)法則
下面來(lái)討論隱函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題.如果一個(gè)隱函數(shù)能夠轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可以用以前學(xué)過(guò)的方法求得，但是，有的隱函數(shù)很難或是根本不能轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，在這種情況下，隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：
（1） 將方程F（x，y）=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)，在求導(dǎo)過(guò)程中把y看成x的函數(shù)，y的函數(shù)看成是x的復(fù)合函數(shù)；
（2） 求導(dǎo)后，解出y′即可（式子中允許有y出現(xiàn)）。
四.反函數(shù)的求導(dǎo)法則
法則5:設(shè)函數(shù)x=φ（y）在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)，在y處可導(dǎo)，且φ′（y）≠0，則其反函數(shù)y=f（x）在x=φ（y）處也可導(dǎo)，且
Dy/dx=1/dx/dy或f′（x）=1/φ′（y）
五.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)y與自變量x的關(guān)系常常通過(guò)某一參數(shù)變量t表示出來(lái)，即
x=φ（t）
y=ψ（t），t為參數(shù)
稱(chēng)為函數(shù)的參數(shù)方程.
由于y是參數(shù)t的函數(shù)，由x=φ（t）知t是x的函數(shù)，所以，y通過(guò)t確定為x的復(fù)合函數(shù).于是，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式有
dydx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′（t）φ′（t）
第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)
一.高階導(dǎo)數(shù)的概念
一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y′=f′（x）仍是x的函數(shù).若函數(shù)y′=f′（x）仍是可導(dǎo)的，則把y′=f′（x）的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，記為y″，f″（x）或d2y/dx2
類(lèi)似地，y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)y″的導(dǎo)數(shù)叫作y=f（x）的三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作y=f（x）的四階導(dǎo)數(shù)，等等.一般地，f（x）的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作y=f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，分別記作
二.二階導(dǎo)數(shù)的物理意義
設(shè)物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為s=s（t），瞬時(shí)速度為v=s′（t）.此時(shí)，若速度v仍是時(shí)間t的函數(shù)，我們可以求速度v對(duì)時(shí)間t的變化率：
v′（t）=（s′（t））′=s″（t）
在力學(xué)中把上式叫作物體在給定時(shí)刻的加速度，用a表示.也就是說(shuō)，物體的加速度a是路程s對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)，即
a=v′（t）=s″（t）=d2s/dt2
第四節(jié) 函數(shù)的微分
一.微分的概念
在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中，有時(shí)需要考慮這樣的問(wèn)題：當(dāng)自變量有一微小的增量時(shí)，函數(shù)的增量是多少.例如，一個(gè)邊長(zhǎng)為x0的正方形金屬薄片，當(dāng)受冷熱影響時(shí)，其邊長(zhǎng)由x0變到（x0+Δx），問(wèn)此時(shí)薄片的面積的改變量是多少?
設(shè)正方形薄片的邊長(zhǎng)為x0，面積為y，則上面問(wèn)題就是求當(dāng)函數(shù)y=x2的自變量由x0變到（x0+Δx）時(shí)函數(shù)y的改變量Δy，也就是面積的改變量，即
Δy=（x0+Δx）2-x20
=2x0·Δx+（Δx）2
由此可見(jiàn)，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，（Δx）2的作用非常小，可以忽略不計(jì)。
因此，函數(shù)y=x2在x0有微小改變量Δx時(shí)，函數(shù)的改變量Δy約為2x0·Δx，即
Δy≈2x0·Δx
從圖中不難看出，Δy表示的是以x0為邊長(zhǎng)的正方形外圍的陰影部分面積，它為圖示的Ⅰ.Ⅱ.Ⅲ部分的面積之和，即2（x0·Δx）+（Δx）2，顯然當(dāng)|Δx|相對(duì)于x0很小時(shí)，（Δx）2是微乎其微的。
當(dāng)f（x）=x2時(shí)，f′（x0）=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以寫(xiě)成
Δy≈f′（x0）·Δx
由于f′（x0）·Δx是Δx的線性函數(shù)，所以通常把f′（x0）·Δx叫作Δy的線性主部。
一般地，對(duì)于給定的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量在x0處有微小的改變量Δx時(shí)，函數(shù)值y的改變量Δy可用下式近似計(jì)算，即
Δy≈f′（x0）·Δx
我們把f′（x0）·Δx稱(chēng)為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的微分。
定義如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)f′（x0），那么f′（x0）·Δx就叫作函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的微分，記作dyx=x0，即
dy =f′（x0）·Δx
二.微分的幾何意義
如圖所示，設(shè)曲線y=f（x）上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，f（x0）），過(guò)P點(diǎn)作割線PQ交曲線于點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（x0+Δx，f（x0+Δx）），則dx=Δx=PR，Δy=RQ
三.微分的運(yùn)算
從函數(shù)微分的表達(dá)式
dy=f′（x）dx
可以直接推出微分的基本公式和運(yùn)算法則。
1. 微分的基本公式
（1） d（C）=0（C為常數(shù)）；
（2） d（xα）=αxα-1dx；
（3） d（ax）=axlnadx（a＞0，a≠1）；
（4） d（ex）=exdx；
（5） d（logax）=(1/xlna)dx（a＞0，a≠1）；
2. 函數(shù)和.差.積.商的微分法則
由函數(shù)的和.差.積.商的求導(dǎo)法則，可以求得函數(shù)和.差.積.商的微分法則：
（1） d（u±v）=du±dv；
（2） d（uv）=vdu+udv；
（3） d（Cu）=Cdu（C為常數(shù)）；
（4） duv=(vdu-udv)/v2（v≠0）
3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則
若函數(shù)y=f（u）及u=φ（x）都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f［φ（x）］的微分為
dy=y′xdx=f′（u）φ′（x）dx，
由于φ′（x）dx=du，故上式為
dy=f′（u）du
所以復(fù)合函數(shù)的微分法則為
dy=f′（u）du
將這個(gè)公式與x為自變量的微分公式dy=f′（x）dx相比較，可以發(fā)現(xiàn)它們的形式完全相同，這表明無(wú)論u是自變量還是中間變量（即自變量的函數(shù)），函數(shù)y=f（u）的微分形式dy=f′（u）du都保持不變，微分的這種性質(zhì)叫作一階微分形式的不變性。
四.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用
函數(shù)y=f（x）在x=x0處的增量Δy，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，可用微分dy來(lái)代替，即
Δy≈dy=f′（x0）Δx，
于是
Δy=f（x0+Δx）-f（x0）≈f′（x0）Δx，
或
f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx
在上式中，令x0=0，Δx=x，得
f（x）≈f（0）+f′（0）x
六．課后習(xí)題
完成每章后面的復(fù)習(xí)題。
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