《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件
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第八章 矩陣
一.教學(xué)目標(biāo)
1.了解矩陣是研究線性變換.向量的線性相關(guān)性及線性方程組的解法等的有力工具，在線性代數(shù)中占有重要地位。
2.學(xué)習(xí)矩陣及其運(yùn)算.逆矩陣.分塊矩陣和初等矩陣等基本概念。
二.課時(shí)分配
本項(xiàng)目共5個(gè)小節(jié)，安排10課時(shí)。
三.教學(xué)重點(diǎn)
了解矩陣是研究線性變換.向量的線性相關(guān)性及線性方程組的解法等的有力工具，在線性代數(shù)中占有重要地位；學(xué)習(xí)矩陣及其運(yùn)算.逆矩陣.分塊矩陣和初等矩陣等基本概念。
四.教學(xué)難點(diǎn)
學(xué)習(xí)矩陣及其運(yùn)算.逆矩陣.分塊矩陣和初等矩陣等基本概念。
五.教學(xué)內(nèi)容
第一節(jié) 矩陣及其運(yùn)算
一.矩陣的概念
矩陣這一概念亦如行列式一樣，是從研究線性方程組的問題中引出來的.不過行列式是從未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同這種特殊的線性方程組引出的，而矩陣則是從線性方程組的一般形式引出的，所以矩陣比行列式的應(yīng)用廣泛得多.線性方程組的一般形式為：
其中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)n與方程的個(gè)數(shù)m未必相同。
我們知道，線性方程組是完全由未知數(shù)前面的系數(shù)及其常數(shù)項(xiàng)所決定的，未知數(shù)的記號(hào)在線性方程組中是不起什么實(shí)質(zhì)性作用的.因此，為方便起見，從每一個(gè)線性方程中把未知數(shù)分離出來，剩下的系數(shù)及其常數(shù)項(xiàng)按它們?cè)谑街械南鄬?duì)位置排成矩形形狀的數(shù)表。
這種矩形數(shù)表在實(shí)際問題中應(yīng)用非常廣泛，如商店中的商品價(jià)目表。工廠中產(chǎn)品原材料的消耗表.物資調(diào)運(yùn)方案等。一般地，我們可把類似于的這種矩形數(shù)表作為一個(gè)研究對(duì)象，這就是矩陣的概念。
定義1：由m×n個(gè)數(shù)aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成的m行n列，并用方括號(hào)括起來的矩形數(shù)表，稱為m×n矩陣，記做
橫的各排稱為矩陣的行，縱的各排稱為矩陣的列，aij稱為此矩陣的第i行第j列的元素.通常用大寫黑體字母A，B，C等表示矩陣，有時(shí)為了標(biāo)明一個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)，用Am×n或A=（aij）m×n表示一個(gè)m行n列的矩陣。
定義2：若矩陣A和矩陣B的行數(shù).列數(shù)分別相等，則稱A，B為同型矩陣。
定義3：若矩陣A=（aij）和矩陣B=（bij）為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)的元素相等，即aij=bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B。
二.矩陣的運(yùn)算
1.矩陣的加法
定義4：設(shè)A=（aij）m×n，
B=（bij）m×n為同型矩陣，把矩陣A，B對(duì)應(yīng)元素相加得到新的矩陣C，則稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的和，記為C=A+B，即
這樣就引進(jìn)了矩陣的加法運(yùn)算.由定義知，只有同型矩陣才可以相加，不難驗(yàn)證，矩陣加法具有和實(shí)數(shù)加法相同的性質(zhì)。
定義5：設(shè)A=（aij），則（-aij）稱作A的負(fù)矩陣，記為-A，即
定義6：設(shè)A=（aij），B=（bij），且A，B為同型矩陣，則
第二節(jié) 分塊矩陣
一.分塊矩陣的概念
對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較多的矩陣，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成若干小矩陣間的運(yùn)算，同時(shí)也使原矩陣的結(jié)構(gòu)顯得簡(jiǎn)單而清晰。具體做法是：將大矩陣A用若干條縱線和橫線分成多個(gè)小矩陣.每個(gè)小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。矩陣的分塊有多種方式，可根據(jù)具體需要而定.例如，矩陣
可分成
也可分成
二.分塊矩陣的運(yùn)算
分塊矩陣的運(yùn)算與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相似，分塊時(shí)要注意，運(yùn)算的兩矩陣按塊可以運(yùn)算，并且參與運(yùn)算的子塊也可以運(yùn)算，即內(nèi)外都可以運(yùn)算。
（1） 加法運(yùn)算：設(shè)矩陣A與矩陣B是同型矩陣，如果采用同樣的方式分塊，即
其中Aij與Bij是同型矩陣（i=1，2，…，r； j=1，2，…，s），易證
也就是說，分塊矩陣A與B相加，只需要把對(duì)應(yīng)的子矩陣相加即可。不過，A與B的分塊結(jié)構(gòu)要一樣。
第三節(jié) 逆矩陣
一.逆矩陣的概念
回顧實(shí)數(shù)的乘法逆元，對(duì)于數(shù)a（a≠0），總存在唯一乘法逆元a-1，使得
a·a-1=1且a-1·a=1
數(shù)的逆元在解方程中起著重要作用，例如，線性方程ax=b，當(dāng)a≠0時(shí)，其解為x=a-1b
定義1：對(duì)于n階矩陣A，如果存在一個(gè)n階矩陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣A為可逆矩陣，而矩陣B稱為A的逆矩陣。
命題若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的。
事實(shí)上，設(shè)B和C都是A的逆矩陣，則有
AB=BA=E，AC=CA=E，
B=EB=（CA）B=C（AB）=CE=C
故A的逆矩陣唯一，記為A-1。
定義2：如果n階矩陣A的行列式|A|≠0，則稱A為非奇異的，否則稱A為奇異的。
二.伴隨矩陣及其與逆矩陣的關(guān)系
定義3：行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式
Aij所構(gòu)成的矩陣
稱為矩陣A的伴隨矩陣.它是將A的每個(gè)元素?fù)Q成其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式，然后再轉(zhuǎn)置得到的。
第四節(jié) 矩陣的秩
一.矩陣秩的概念
定義1：在m×n矩陣A中，任取k行k列
（1≤k≤min{m，n}），位于這些行列相交處的元素按原順序構(gòu)成k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。
定義2：矩陣A中不為零的子式的最高階數(shù)稱為矩陣A的秩，記為r（A）.
零矩陣的秩規(guī)定為0。
二.用初等變換求矩陣的秩
用定義求矩陣的秩，需計(jì)算許多個(gè)行列式的值，如果行列式元素較為復(fù)雜或階數(shù)較高，則計(jì)算量龐大，因此引入初等變換的方法。
求矩陣的秩主要是判斷k階行列式是否為零，例1中矩陣A或C的形式，易于判斷子式是否為零，從而求得矩陣的秩。
形如
的矩陣稱為階梯形矩陣，其中a1，a2，…，ar均不為零。
定義3：對(duì)矩陣的行實(shí)施下述三種變換：
（1） 交換i，j兩行的位置（i≠j）；
（2） 用非零數(shù)k乘第i行的所有元素；
（3） 第j行所有元素的k倍加到第i行的對(duì)應(yīng)元素上去。
這三種變換稱為矩陣的初等行變換，分別用記號(hào)rirj，ri×k，ri+krj表示。
相應(yīng)地，對(duì)矩陣的列實(shí)施對(duì)應(yīng)的三種變換，稱為矩陣的初等列變換，分別用記號(hào)ci，cj，ci×k，ci+kcj表示.矩陣的初等行.列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。
第五節(jié) 初等矩陣
一.初等矩陣的概念
定義單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣，稱為初等矩陣。
對(duì)應(yīng)于三種初等變換，初等矩陣也有三種。
（1） 將E的第i，j行互換，記為
（2）將E的第i行乘以非零數(shù)k，記為
（3）將E的第j行的k倍加到第i行，記為
矩陣Rij，Ri（k），Rij（k）叫作行初等矩陣.同樣對(duì)E的列做三種變換，所對(duì)應(yīng)的初等矩陣叫作列初等矩陣，分別記為Cij，Ci（k），Cij（k）.讀者可按上面形式寫出列變換的初等矩陣，行初等矩陣和列初等矩陣有如下關(guān)系：
Cij=Rij，Ci（k）=Ri（k），Cij（k）=Rji（k）
定理設(shè)m×n矩陣A，對(duì)A實(shí)施一次初等行變換，就相當(dāng)于對(duì)A左乘一相應(yīng)的m階行初等矩陣；對(duì)A實(shí)施一次初等列變換，就相當(dāng)于對(duì)A右乘一相應(yīng)的n階列初等矩陣，即
RijA——將A的i， j行對(duì)換。
Ri（k）A——用非零數(shù)k乘A的第i行的所有元素。
Rij（k）A——將A的j行的k倍加到i行上。
ACij——將A的i， j列對(duì)換。
ACi（k）——用非零數(shù)k乘A的第i列的所有元素。
ACij（k）——將A的j列的k倍加到i列上。
二.初等變換求逆法
設(shè)方陣A可逆，則A-1亦可逆，由推論3，設(shè)A-1=P1P2…Pr，其中Pi（i=1，2，…，r）為初等矩陣，將其代入A-1A=E及A-1E=A-1有
上面式子表示A經(jīng)一系列初等行變換化為單位矩陣E時(shí)，相同的初等行變換就把E化為A的逆矩陣A-1，即
（A|E）初等行變換（E|A-1）
這給出了用初等行變換求逆矩陣的方法。
六．課后習(xí)題
完成每章后面的復(fù)習(xí)題。
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