《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件
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第六章 多元函數(shù)微分學(xué)
一.教學(xué)目標(biāo)
1.學(xué)習(xí)多元函數(shù)及多元函數(shù)的微分與積分的問(wèn)題。
2.遵循與一元函數(shù)相同的分析思路，重點(diǎn)學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限.連續(xù)及其微分學(xué)。
二.課時(shí)分配
本項(xiàng)目共3個(gè)小節(jié)，安排6課時(shí)。
三.教學(xué)重點(diǎn)
學(xué)習(xí)多元函數(shù)及多元函數(shù)的微分與積分的問(wèn)題；遵循與一元函數(shù)相同的分析思路，重點(diǎn)學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限.連續(xù)及其微分學(xué)。
四.教學(xué)難點(diǎn)
學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限.連續(xù)及其微分學(xué)。
五.教學(xué)內(nèi)容
第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念
一.多元函數(shù)的概念
在實(shí)際生活中，經(jīng)常會(huì)遇到多個(gè)變量之間的依賴關(guān)系.例如，矩形面積S與它的長(zhǎng)x.寬y之間具有關(guān)系
S=xy
這里，當(dāng)x，y在集合{（x，y）|x＞0，y＞0}內(nèi)取定一對(duì)值（x，y）時(shí)，S的對(duì)應(yīng)值就隨之確定
又如圓柱體的體積V和它的底半徑r.高h(yuǎn)之間具有關(guān)系
V=πr2h
這里，當(dāng)r，h在集合{（r，h）|r＞0，h＞0}內(nèi)取定一對(duì)值（r，h）時(shí)，V的對(duì)應(yīng)值就隨之確定
定義1：設(shè)D是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)集，若對(duì)D中的每一點(diǎn)P（x，y），變量z按照一定的法則總有確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱z為變量x，y的二元函數(shù)（或點(diǎn)P的函數(shù)），記為
z=f（x，y）（或z=f（P））
點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，x，y稱為自變量，z稱為因變量。數(shù)集
M={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}
稱為該函數(shù)的值域
z是x，y的函數(shù)，有時(shí)也記為z=z（x，y）
類似地，可定義三元函數(shù)u=f（x，y，z）及三元以上函數(shù).二元及二元以上函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。
二.二元函數(shù)的極限
定義2：設(shè)二元函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）的某鄰域鄰域：設(shè)P0（x0，y0）是平面上的一點(diǎn)，δ＞0，以P0為中心.δ為半徑的圓的內(nèi)部點(diǎn)P（x，y）的全體，即{（x，y）｜（x-x0）2+（y-y0）2＜δ}叫作點(diǎn)P0的δ鄰域.P0稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑，記作∪（P0，δ）
內(nèi)有定義（點(diǎn)P0可以除外）.如果點(diǎn)P（x，y）在該鄰域內(nèi)以任意方式無(wú)限趨于點(diǎn)P0（x0，y0）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x，y）無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A是二元函數(shù)f（x，y）當(dāng)（x，y）→（x0，y0）時(shí)的極限，記作
lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）=A或limx→x0
y→y0f（x，y）=A
與一元函數(shù)極限的定義相比較，形式上無(wú)多大區(qū)別，但二元函數(shù)的極限過(guò)程要比一元函數(shù)復(fù)雜得多，即點(diǎn)P（x，y）→P0（x0，y0）的方式有無(wú)窮多種.二元函數(shù)極限定義要求點(diǎn)P（x，y）無(wú)論以什么方式趨于點(diǎn)P0（x0，y0），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值必須無(wú)限接近于同一個(gè)常數(shù)A.因此，若點(diǎn)P（x，y）沿兩個(gè)不同的途徑趨于點(diǎn)P0（x0，y0）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值趨于兩個(gè)不同的常數(shù)，則二元函數(shù)的極限不存在。
三.二元函數(shù)的連續(xù)性
定義3：函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）的某鄰域內(nèi)有定義，若
limx→x0
y→y0
f（x，y）=f（x0，y0），
則稱函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處連續(xù)
若函數(shù)f（x，y）在區(qū)域（或閉區(qū)域）D內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f（x，y）在D內(nèi)連續(xù)，或稱f（x，y）是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。
若函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處不連續(xù)，則稱點(diǎn)P0為函數(shù)f（x，y）的間斷點(diǎn)。
第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)
一.一階偏導(dǎo)數(shù)
1. 一階偏導(dǎo)數(shù)的概念
定義設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量y保持y0不變，而自變量x有改變量Δx時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地有關(guān)于x的改變量（偏增量）
Δxf=f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0），
2. 一階偏導(dǎo)函數(shù)
如果函數(shù)z=f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)P（x，y）處對(duì)x或y的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果還是x，y的函數(shù)，稱為函數(shù)z=f（x，y）對(duì)自變量x或y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作
偏導(dǎo)函數(shù)fx′（x，y），fy′（x，y）中，x，y仍然是變量，求偏導(dǎo)數(shù)fx′（x，y）或fy′（x，y）時(shí)，暫時(shí)只讓y或x變動(dòng)，另一個(gè)變量相對(duì)地看作常量，求偏導(dǎo)完成后，x，y仍然是變量。
二.高階偏導(dǎo)數(shù)
若二元函數(shù)z=f（x，y）的一階偏導(dǎo)數(shù)z/x=fx′（x，y），z/y=fy′（x，y）仍存在對(duì)x，y的一階偏導(dǎo)數(shù)，則可以繼續(xù)對(duì)它們求一階偏導(dǎo)，并稱求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果為函數(shù)z=f（x，y）的二階偏導(dǎo)數(shù).依照對(duì)變量求偏導(dǎo)數(shù)的次序不同，二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有下列四個(gè)：
并分別用下列記號(hào)來(lái)表示：
依此類推，函數(shù)z=f（x，y）的n-1階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，就稱為該函數(shù)的n階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。
第三節(jié) 多元函數(shù)的極值與最值
一.多元函數(shù)的極值
定義設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)（x，y），有
f（x，y）≤f（x0，y0）（或f（x，y）≥f（x0，y0）），
則稱f（x0，y0）為函數(shù)f（x，y）的極大值（或極小值），而稱（x0，y0）為函數(shù)的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)。
定理1：（極值存在的必要條件）設(shè)二元函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處具有一階偏導(dǎo)數(shù)且取得極值，則必有
fx′（x0，y0）=fy′（x0，y0）=0
定理2：（極值存在的充分條件）若函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的某鄰域有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且點(diǎn)（x0，y0）是它的駐點(diǎn)，記A=fxx″（x0，y0），B=fxy″（x0，y0），C=fyy″（x0，y0），則
（1） 當(dāng)B2-AC＜0時(shí)，f（x0，y0）是極值，且當(dāng)A＜0時(shí)為極大值，A＞0時(shí)為極小值；
（2） 當(dāng)B2-AC＞0時(shí)，f（x0，y0）不是極值；
（3） 當(dāng)B2-AC=0時(shí)，f（x0，y0）可能是極值，也可能不是極值。
二.二元函數(shù)的最值
如果二元函數(shù)z=f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f（x，y）在D上一定有最大值和最小值.但是，最大值和最小值可能在D的內(nèi)部取得，也可能在D的邊界上取得。
因此，需要求出f（x，y）在D內(nèi)部的所有駐點(diǎn)和使一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，如果這些點(diǎn)是有限個(gè)，將這些點(diǎn)的函數(shù)值與函數(shù)在D的邊界上的最大值和最小值作比較，其中最大的就是二元函數(shù)f（x，y）的最大值，最小的就是f（x，y）的最小值，可見(jiàn)，求二元函數(shù)的最大值和最小值比一元函數(shù)復(fù)雜多了。
但是，如果根據(jù)實(shí)際問(wèn)題知道二元函數(shù)在D的內(nèi)部存在最大值（或最小值），同時(shí)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，且有唯一的一個(gè)駐點(diǎn)，則函數(shù)在駐點(diǎn)處必取得最大值（或最小值）。
六．課后習(xí)題
完成每章后面的復(fù)習(xí)題。
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