《計量經(jīng)濟(jì)學(xué)(第四版)》教學(xué)PPT課件
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3.5 3.5 可化為線性的多元非線性模型可化為線性的多元非線性模型 一、模型的類型與變換一、模型的類型與變換 二、非線性回歸實(shí)例二、非線性回歸實(shí)例 三、非線性最小二乘估計三、非線性最小二乘估計說說 明明在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動中,經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的,在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動中,經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的,直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。如著名的如著名的恩格爾曲線恩格爾曲線(Engle curves)表現(xiàn)為表現(xiàn)為冪冪函數(shù)曲線函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的形式、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的菲利普斯曲線菲利普斯曲線(Pillips cuves)表現(xiàn)為)表現(xiàn)為雙曲線雙曲線形式等。形式等。但是,大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單但是,大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單的數(shù)學(xué)處理,使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系,從的數(shù)學(xué)處理,使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系,從而可以運(yùn)用線性回歸模型的理論方法。而可以運(yùn)用線性回歸模型的理論方法。一、模型的類型與變換一、模型的類型與變換1 1、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換一般講,一般講,關(guān)于解釋變量的非線性問題(例如倒數(shù)關(guān)于解釋變量的非線性問題(例如倒數(shù)關(guān)系、多項式關(guān)系)都可以通過變量置換變成為關(guān)系、多項式關(guān)系)都可以通過變量置換變成為線性問題線性問題。例如,描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線:例如,描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線:s=a+b r+c r2,c0,s:稅收,:稅收,r:稅率:稅率設(shè)設(shè)X1=r,X2=r2,則原方程變換為:則原方程變換為:s=a+b X1+c X2,c0 2 2、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)變換法、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)變換法關(guān)于參數(shù)的非線性問題,函數(shù)變換是常用的方法。關(guān)于參數(shù)的非線性問題,函數(shù)變換是常用的方法。例如,例如,Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)為冪函數(shù):生產(chǎn)函數(shù)為冪函數(shù):Q=AK L,Q:產(chǎn)出量,:產(chǎn)出量,K:投入的資本;:投入的資本;L:投入的:投入的勞動勞動對方程進(jìn)行對數(shù)變換,得到線性模型:對方程進(jìn)行對數(shù)變換,得到線性模型:ln Q=ln A+ln K+ln L3 3、復(fù)雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法、復(fù)雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法對于不能采用變量置換和函數(shù)變換的復(fù)雜的非線性模型,對于不能采用變量置換和函數(shù)變換的復(fù)雜的非線性模型,可以采用級數(shù)展開方法將其變換為線性模型??梢圆捎眉墧?shù)展開方法將其變換為線性模型。方程兩邊取對數(shù)后,得到:(1+2=1)Q:產(chǎn)出量,K:資本投入,L:勞動投入 :替代參數(shù),1、2:分配參數(shù)例如,常替代彈性例如,常替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) 將式中l(wèi)n(1K-+2L-)在=0處展開臺勞級數(shù),取關(guān)于的線性項,即得到一個線性近似式。如取0階、1階、2階項,可得 二、實(shí)例二、實(shí)例建立中國工業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型(兩要素)建立中國工業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型(兩要素)Y為總產(chǎn)出,為總產(chǎn)出,K、L分別為資本、勞動投入要素分別為資本、勞動投入要素 變換為線性模型變換為線性模型未施加約束,未施加約束,回歸結(jié)果表明:回歸結(jié)果表明:lnY變化的變化的94.1%可由資本與勞動投入的變化來解釋??捎少Y本與勞動投入的變化來解釋。變換后,模型的線性關(guān)系顯著成立。變換后,模型的線性關(guān)系顯著成立。lnK、lnL參數(shù)顯著地異于零。參數(shù)顯著地異于零。資本投入與勞動投入的產(chǎn)出彈性之和為資本投入與勞動投入的產(chǎn)出彈性之和為0.967,接近于,接近于1。施加規(guī)模報酬不變約束,施加規(guī)模報酬不變約束,回歸結(jié)果表明:回歸結(jié)果表明:Ln(K/L)前的參數(shù)在前的參數(shù)在1%的顯著性水平下顯著地異于零,的顯著性水平下顯著地異于零,表明勞均資本增加,會促使勞均工業(yè)總產(chǎn)值的增加,表明勞均資本增加,會促使勞均工業(yè)總產(chǎn)值的增加,勞均產(chǎn)出關(guān)于勞均資本投入的彈性值為勞均產(chǎn)出關(guān)于勞均資本投入的彈性值為0.687。將回歸函數(shù)展開,與未加約束的估計結(jié)果比較,差別將回歸函數(shù)展開,與未加約束的估計結(jié)果比較,差別很小,表明施加規(guī)模報酬不變約束是可行的。很小,表明施加規(guī)模報酬不變約束是可行的。三、非線性最小二乘估計三、非線性最小二乘估計 普通最小二乘原理普通最小二乘原理 殘差平方和殘差平方和 取極小值的取極小值的一階條件一階條件 如何求解非如何求解非線性方程?線性方程?高斯牛頓高斯牛頓(Gauss-Newton)(Gauss-Newton)迭代法迭代法 高斯牛頓迭代法的原理高斯牛頓迭代法的原理 對原始模型展開臺勞級數(shù),取一階近似值對原始模型展開臺勞級數(shù),取一階近似值 構(gòu)造并估計線性偽模型構(gòu)造并估計線性偽模型構(gòu)造線性模型構(gòu)造線性模型估計得到參數(shù)的第估計得到參數(shù)的第1次迭代值次迭代值迭代迭代高斯牛頓迭代法的步驟高斯牛頓迭代法的步驟 牛頓拉夫森牛頓拉夫森(Newton-(Newton-RaphsonRaphson)迭代法迭代法 自學(xué),掌握以下自學(xué),掌握以下2個要點(diǎn)個要點(diǎn)牛頓拉夫森迭代法的原理牛頓拉夫森迭代法的原理 對殘差平方和展開臺勞級數(shù),取二階近似值;對殘差平方和展開臺勞級數(shù),取二階近似值;對殘差平方和的近似值求極值;對殘差平方和的近似值求極值;迭代。迭代。與高斯牛頓迭代法的區(qū)別與高斯牛頓迭代法的區(qū)別直接對殘差平方和展開臺勞級數(shù),而不是對其中的原直接對殘差平方和展開臺勞級數(shù),而不是對其中的原模型展開;模型展開;取二階近似值,而不是取一階近似值取二階近似值,而不是取一階近似值。應(yīng)用中的一個困難應(yīng)用中的一個困難如何保證迭代所逼近的是總體極小值(即最小值)如何保證迭代所逼近的是總體極小值(即最小值)而不是局部極小值?而不是局部極小值?一般方法是模擬試驗(yàn):隨機(jī)產(chǎn)生初始值一般方法是模擬試驗(yàn):隨機(jī)產(chǎn)生初始值估計估計改改變初始值變初始值再估計再估計反復(fù)試驗(yàn),設(shè)定收斂標(biāo)準(zhǔn)(例反復(fù)試驗(yàn),設(shè)定收斂標(biāo)準(zhǔn)(例如如100次連續(xù)估計結(jié)果相同)次連續(xù)估計結(jié)果相同)直到收斂。直到收斂。非線性普通最小二乘法在軟件中的實(shí)現(xiàn)非線性普通最小二乘法在軟件中的實(shí)現(xiàn)給定初值給定初值寫出模型寫出模型估計模型估計模型改變初值改變初值反復(fù)估計反復(fù)估計例題例題估計例估計例3.5.1 建立中國工業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型建立中國工業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型與原雙與原雙對數(shù)數(shù)線性模型的估性模型的估計結(jié)果相比,無果相比,無論是常數(shù)是常數(shù)項、還是是資本投入本投入K或勞動投入或勞動投入L項,相應(yīng)參項,相應(yīng)參數(shù)的估計結(jié)果數(shù)的估計結(jié)果都較為接近,都較為接近,且都通過了且都通過了1%顯著性水顯著性水平的檢驗(yàn)。平的檢驗(yàn)。7、討論、討論一般情況下,線性化估計和非線性估計結(jié)果差異一般情況下,線性化估計和非線性估計結(jié)果差異不大。如果差異較大,在確認(rèn)非線性估計結(jié)果為不大。如果差異較大,在確認(rèn)非線性估計結(jié)果為總體最小時,應(yīng)該懷疑和檢驗(yàn)線性模型??傮w最小時,應(yīng)該懷疑和檢驗(yàn)線性模型。非線性估計確實(shí)存在局部極小問題。非線性估計確實(shí)存在局部極小問題。根據(jù)參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義和數(shù)值范圍選取迭代初值。根據(jù)參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義和數(shù)值范圍選取迭代初值。NLS估計的異方差和序列相關(guān)問題。估計的異方差和序列相關(guān)問題。NLS不能直接處理。不能直接處理。應(yīng)用最大似然估計。應(yīng)用最大似然估計。
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